[9급 지방직 응용역학개론] 12년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

보의 중앙점 C의 휨모멘트 크기는 PL이다.
D점의 두 힘 P는 수직거리 2L만큼 떨어진 크기가 같고 방향이 반대인 힘이므로 우력 $M=P\times2L=2PL$(반시계)을 만든다.
$\Sigma M_A=0:\ R_B\times8L+2PL=0\ \Rightarrow\ R_B=-\dfrac{P}{4}$(하향), $R_A=\dfrac{P}{4}$(상향)
C는 A에서 4L 위치이고 A~C 사이에 하중이 없으므로
$M_C=R_A\times4L=\dfrac{P}{4}\times4L=PL$
PL/4는 반력에 지간 4L을 곱하지 않고 하나의 L만 곱한 값이다.
PL/2는 우력을 PL로 절반만 잡은 결과이다.
2PL은 우력 크기 자체를 C점 모멘트로 착각한 값이다.

최대 휨모멘트는 30.0 kN·m이다.
휨모멘트의 최댓값은 전단력이 0인 점에서 생기며, 그 값은 왼쪽 끝부터 그 점까지의 전단력도 넓이와 같다.
경사 구간의 등분포하중: $w=\dfrac{5-(-10)}{9}=\dfrac{5}{3}\ \mathrm{kN/m}$
전단력 0 위치: 4 m 지점에서 $\dfrac{5}{5/3}=3\ \mathrm{m}$ 더 간 곳
$M_{max}=7.5\times1+5\times3+\dfrac{1}{2}\times5\times3=7.5+15+7.5=30\ \mathrm{kN\cdot m}$
22.5는 삼각형 부분 넓이를 빠뜨린 값이다.
45.0과 60.0은 음(−) 쪽 넓이까지 더하거나 전단력 0 위치를 잘못 잡아 과대 산정한 값이다.

경사면의 응력은 σ = 75 MPa, |τ| = 25√3 MPa이다.
축응력 $\sigma_x=\dfrac{P}{A}=\dfrac{10000\ \mathrm{N}}{100\ \mathrm{mm^2}}=100\ \mathrm{MPa}$이고, θ는 경사면의 법선이 봉축과 이루는 각이다.
$\sigma=\sigma_x\cos^2\theta=100\times\dfrac{3}{4}=75\ \mathrm{MPa}$
$|\tau|=\sigma_x\sin\theta\cos\theta=100\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}\ \mathrm{MPa}$
σ 25√3, |τ| 25 조합은 수직응력에 sinθcosθ를, 전단응력에 $sin^{2}\theta$를 쓴 것이다.
σ 25√3, |τ| 25√3 조합은 수직응력에 $cos^{2}\theta$ 대신 sinθcosθ를 쓴 것이다.
σ 75, |τ| 25 조합은 전단응력에 $sin^{2}\theta$ 꼴을 적용한 결과로 크기가 맞지 않는다.

항복모멘트는 200 kN·m이다.
최외단 응력이 항복강도에 도달할 때의 모멘트이므로 $M_y=\sigma_y\dfrac{I}{y_{max}}$, $y_{max}=\dfrac{h}{2}=250\ \mathrm{mm}$이다.
$M_y=250\times\dfrac{2.0\times10^{8}}{250}=2.0\times10^{8}\ \mathrm{N\cdot mm}=200\ \mathrm{kN\cdot m}$
100은 연단거리를 h(500 mm)로 잡아 절반이 된 값이다.
150과 175는 단면계수 $I/y_{max}=8\times10^{5}\ \mathrm{mm^3}$에 항복강도를 곱한 결과와 맞지 않는다.

정정 구조물은 나와 라이다.
라는 힌지 3개로 된 삼각형 트러스가 힌지+롤러(반력 3)로 지지되어 $m+r=3+3=2j=6$이므로 안정·정정이다. 나는 트러스와 양단 힌지 기둥(링크)을 합쳐 부재 14, 반력 4, 절점 9로 $14+4=18=2\times9$이므로 정정이다.
가는 하나의 강절 라멘이 힌지 2개와 고정 1개(반력 7)로 지지되어 부정정이다.
다는 왼쪽 롤러에 이어진 수평부재와 양단 힌지 수직부재가 수평 방향으로 구속되지 않아 기구가 되는 불안정 구조이다.
따라서 가나 다를 포함한 조합은 모두 성립하지 않는다.

부재력은 F_AB = 3 kN(인장), F_BC = 1 kN(압축)이다.
마찰 없는 도르래이므로 B점의 수평 케이블 장력은 매달린 하중과 같은 $\sqrt{2}\ \mathrm{kN}$(오른쪽)이다. 두 부재를 인장으로 가정하고 절점 B의 평형을 세운다(45° 성분은 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$배).
$\Sigma F_x=0:\ -\dfrac{F_{AB}}{\sqrt{2}}-\dfrac{F_{BC}}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}=0\ \Rightarrow\ F_{AB}+F_{BC}=2$
$\Sigma F_y=0:\ \dfrac{F_{AB}}{\sqrt{2}}-\dfrac{F_{BC}}{\sqrt{2}}-2\sqrt{2}=0\ \Rightarrow\ F_{AB}-F_{BC}=4$
$F_{AB}=3,\ F_{BC}=-1$(음수 → 압축)
AB 1(인장)·BC 1(압축) 조합은 수직하중 성분을 빠뜨린 값이다.
AB 1(압축)·BC 1(인장) 조합은 크기와 방향이 모두 맞지 않는다.
AB 3(압축)·BC 1(인장) 조합은 인장·압축을 뒤바꾼 것이다.

미지의 힘은 F1 = 150 kN(상향), F2 = 150 kN(하향)이다.
F1, F2를 상향(+)으로 가정하고 왼쪽 끝을 기준으로 평형식을 세운다(F1은 1 m, F2는 3 m, R은 5 m, 200 kN은 6 m 위치).
$\Sigma F_y=0:\ -100+F_1+F_2+300-200=0\ \Rightarrow\ F_1+F_2=0$
$\Sigma M=0:\ F_1\times1+F_2\times3+300\times5-200\times6=0\ \Rightarrow\ F_1+3F_2=-300$
$F_2=-150\ \mathrm{kN}$(하향), $F_1=150\ \mathrm{kN}$(상향)
크기 100인 조합들은 모멘트 평형을 만족하지 않는다.
F1 하향·F2 상향 조합은 그림의 화살표 방향을 그대로 답으로 본 것으로, 이때 모멘트 합이 0이 되지 않는다.

총 길이 변화량은 4PL/EA(압축)이다.
구간별 축력을 구해 합산한다. AC 구간에는 상단 하중 P만, CB 구간에는 $P+2P=3P$가 압축으로 작용한다.
$\delta=\dfrac{PL}{EA}+\dfrac{3PL}{EA}=\dfrac{4PL}{EA}$
PL/EA는 AC 구간만 계산한 값이다.
2PL/EA는 C점 하중만 고려한 값이다.
3PL/EA는 CB 구간만 계산한 값이다.

세 점에 대한 모멘트는 모두 같다(ΣM_A = ΣM_B = ΣM_C).
크기가 같고 방향이 반대인 두 평행력은 우력이며, 우력의 모멘트는 두 힘 사이 거리 d에 대해 $M=Pd$로 기준점 위치와 무관하다.
예컨대 임의의 점에서 두 힘까지의 거리를 $x$, $x+d$라 하면 $P(x+d)-Px=Pd$로 x가 소거된다.
두 힘 사이의 B가 다르다고 보는 관계는 우력의 성질과 맞지 않는다.
C 쪽이 크거나 작다고 보는 관계 역시 거리에 따라 모멘트가 변한다는 오해이다.

부재 BC의 부재력은 8 kN(압축)이다.
단면법으로 EF, BF, BC를 절단하고 왼쪽 부분(A·B·E)을 본다. EF와 BF가 만나는 F점에 대한 모멘트를 잡으면 BC만 남는다.
F는 A에서 수평 4 m, 높이 2 m 위치이다.
$\Sigma M_F=0:\ 4\times4=F_{BC}\times2\ \Rightarrow\ F_{BC}=8\ \mathrm{kN}$
오른쪽 지점에 고정된 캔틸레버형 트러스 끝에 하중이 매달려 하현재는 압축을 받는다.
8(인장)은 크기는 같지만 하현재의 응력 방향을 반대로 본 것이다.
16(압축)은 하중 모멘트 16 kN·m를 높이 2 m로 나누지 않은 값이다.
16(인장)은 크기와 응력 방향이 모두 맞지 않는다.

옳지 않은 설명은 E점이 아래쪽으로 이동한다는 것이다.
강체 BDE에서 $\Sigma M_D=0:\ F_B\times a=P\times a\ \Rightarrow\ F_B=P$이므로 수직부재는 B점에서 P만큼 위로 당겨진다. 수직부재의 BC 구간 축력은 2P(인장), AB 구간은 $2P-P=P$(인장)이다.
AB 구간이 늘어나 B점이 내려가면 D를 중심으로 회전하는 강체 BDE의 반대편 E점은 위로 올라간다.
반력 수가 평형방정식으로 모두 구해지므로 정정구조물이라는 설명은 옳다.
A 지점 수직반력은 $2P-P=P$(상향)이므로 옳다.
길이가 같은 두 구간의 축력비가 2P : P이므로 BC 구간 길이 변화량이 AB 구간의 2배라는 설명은 옳다.

B점의 절대 최대전단력은 50 kN이다.
B점 전단력의 영향선은 A~B 구간에서 $-\dfrac{x}{10}$(B에서 −0.8), B~D 구간에서 $\dfrac{10-x}{10}$(B에서 0.2, C에서 0, D에서 −0.6)이다.
음(−) 영역 넓이: $\dfrac{1}{2}\times8\times0.8+\dfrac{1}{2}\times6\times0.6=3.2+1.8=5.0$
양(+) 영역 넓이: $\dfrac{1}{2}\times2\times0.2=0.2$
절대 최대: $10\times5.0=50\ \mathrm{kN}$
52는 양·음 영역 넓이를 부호 없이 함께 더한 값이다.
48은 음(−) 영역에서 양(+) 영역을 뺀 값으로, 이동하중은 음 영역에만 재하하므로 해당하지 않는다.
68은 영향선 넓이로 얻을 수 있는 값이 아니다.

임계좌굴하중은 4k/L이다.
두 강체 부재(각 길이 L/2)가 B에서 미소변위 δ만큼 옆으로 밀리면 각 부재 회전각은 $\theta=\dfrac{\delta}{L/2}$이고, 스프링의 상대회전각은 2θ이다.
B점 모멘트 평형: $k(2\theta)=P\delta=P\theta\dfrac{L}{2}$
$P_{cr}=\dfrac{4k}{L}$
k/L은 상대회전을 θ로, 부재 길이를 L로 잡은 값이다.
2k/L은 상대회전각 2θ를 θ로 본 값이다.
k/2L은 스프링 저항모멘트를 지나치게 작게 잡은 값이다.

C점의 처짐량은 25/18 mm이다.
강체 ABC의 A점 모멘트 평형으로 현 BD 장력을 구한다.
$\Sigma M_A=0:\ T\times3=10\times5\ \Rightarrow\ T=\dfrac{50}{3}\ \mathrm{kN}$
현의 신장(B점 처짐): $\delta_B=\dfrac{T}{k}=\dfrac{50/3}{20000}\ \mathrm{m}=\dfrac{5}{6}\ \mathrm{mm}$
강체이므로 거리에 비례: $\delta_C=\delta_B\times\dfrac{5}{3}=\dfrac{25}{18}\ \mathrm{mm}$
20/20(=1.00 mm)은 계산값 약 1.39 mm보다 작다.
25/20(=1.25 mm)은 B점 처짐에 거리비 5/3을 곱한 값과 맞지 않는다.
20/18(약 1.11 mm)은 장력 50/3 kN에서 나오는 값과 맞지 않는다.

내부힌지 B점의 처짐은 20 mm이다.
힌지 B에서 BD는 단순보로 거동한다. 30 kN이 D에서 2 m 위치이므로 B에 전달되는 힘은
$R_B=\dfrac{30\times2}{10}=6\ \mathrm{kN}$
AB는 길이 10 m 캔틸레버로서 끝단 B에 6 kN을 받으므로 캔틸레버 자유단 처짐 공식을 쓴다.
$\delta_B=\dfrac{PL^3}{3EI}=\dfrac{6000\times(10^{4})^3}{3\times200000\times5\times10^{8}}=20\ \mathrm{mm}$
10은 공식 분모를 6EI로 잡은 값이다.
30은 전달력을 9 kN으로 본 값이다.
40은 전달력을 12 kN으로 크게 본 값이다.

1축 응력을 받는 정육면체의 체적 변형률은 축방향 변형률에 (1−2ν)를 곱한 값이다.
축방향 변형률이 $\varepsilon$이면 직각 두 방향은 포아송 효과로 각각 $-\nu\varepsilon$만큼 변형한다.
미소변형에서 체적 변형률은 세 방향 변형률의 합이다.
$\varepsilon_v=\varepsilon+(-\nu\varepsilon)+(-\nu\varepsilon)$
$\varepsilon_v=(1-2\nu)\varepsilon$
E/[2(1+ν)]는 전단탄성계수 G의 식으로, 응력 단위를 가지므로 무차원인 체적 변형률이 될 수 없다.
(1−2ν)E는 탄성계수를 곱해 응력 차원이 되므로 체적 변형률과 차원이 맞지 않는다.
ε/[2(1+ν)]는 포아송비가 커질수록 값이 줄어드는 형태로, 세 방향 변형률의 합이라는 체적 변형률의 정의에서 나오지 않는다.

스프링 강성은 400 kN/m이다.
지점 반력: $R_A=\dfrac{12\times3}{9}=4\ \mathrm{kN}$, $R_C=\dfrac{12\times6}{9}=8\ \mathrm{kN}$
A 처짐: $\delta_A=\dfrac{4}{100}=0.04\ \mathrm{m}$
같은 스프링 2개의 직렬 연결 등가강성은 $\dfrac{k_2}{2}$이다.
$\delta_C=\dfrac{8}{k_2/2}=0.04\ \Rightarrow\ k_2=400\ \mathrm{kN/m}$
200이면 등가강성 100 kN/m로 C 처짐이 0.08 m가 되어 A와 같지 않다.
100이면 등가강성 50 kN/m로 C 처짐이 0.16 m이다.
300이면 등가강성 150 kN/m로 C 처짐이 약 0.053 m이다.

감소 길이는 δ1 = νεL, 필요한 수직 인장응력은 σ1 = νσ이다.
수평 변형률 ε에 의해 수직방향 변형률은 $-\nu\varepsilon$이고, 수직방향 길이는 L이므로 $\delta_1=\nu\varepsilon L$이다.
수직방향으로 같은 변형률 νε를 되돌리려면 $\dfrac{\sigma_1}{E}=\nu\varepsilon=\nu\dfrac{\sigma}{E}\ \Rightarrow\ \sigma_1=\nu\sigma$이다.
2νεL은 수평 길이 2L을 곱한 값이다.
(1/2)νσ는 길이비를 응력에 잘못 반영한 값이다.

두 재료의 온도응력은 같다(σ_A = σ_B).
A와 B는 양단 고정벽 사이에 직렬로 연결되어 있으므로 경계면의 평형상 두 재료에 작용하는 축력 N이 같다.
단면적이 같으므로 $\sigma_A=\dfrac{N}{A}=\sigma_B$이며, 열팽창계수·길이 차이는 N의 크기만 바꿀 뿐 두 응력의 비에는 영향이 없다.
부호가 반대라는 관계는 직렬 부재에 같은 압축력이 걸린다는 점과 맞지 않는다.
열팽창계수 비 2를 응력비로 옮긴 관계들은 직렬 부재의 평형 조건을 무시한 것이다.

기초 중앙부 C점의 모멘트는 0이다.
전체 하향 하중은 $20\times40+100\times2=1000\ \mathrm{kN}$이므로 등분포 토압은 $q=\dfrac{1000}{40}=25\ \mathrm{kN/m}$이고, 자중을 뺀 순 상향 분포하중은 $5\ \mathrm{kN/m}$이다.
왼쪽 절반(A~C, 20 m)에 대해
$M_C=5\times20\times10-100\times10=1000-1000=0$
1,000(부모멘트)은 순 상향 분포하중의 기여를 빠뜨린 값이다.
1,000(정모멘트)은 집중하중의 기여를 빠뜨린 값이다.
2,000(정모멘트)은 좌우 대칭 하중에서 두 기여가 상쇄되는 점을 무시한 값이다.