12년 1회차

보의 중앙점 C의 휨모멘트 크기는 PL이다.

D점의 두 힘 P는 수직거리 2L만큼 떨어진 크기가 같고 방향이 반대인 힘이므로 우력 $M=P\times2L=2PL$(반시계)을 만든다.
$\Sigma M_A=0:\ R_B\times8L+2PL=0\ \Rightarrow\ R_B=-\dfrac{P}{4}$(하향), $R_A=\dfrac{P}{4}$(상향)

C는 A에서 4L 위치이고 A~C 사이에 하중이 없으므로
$M_C=R_A\times4L=\dfrac{P}{4}\times4L=PL$

• PL/4는 반력에 지간 4L을 곱하지 않고 하나의 L만 곱한 값이다.
• PL/2는 우력을 PL로 절반만 잡은 결과이다.
• 2PL은 우력 크기 자체를 C점 모멘트로 착각한 값이다.

최대 휨모멘트는 30.0 kN·m이다.

휨모멘트의 최댓값은 전단력이 0인 점에서 생기며, 그 값은 왼쪽 끝부터 그 점까지의 전단력도 넓이와 같다.

경사 구간의 등분포하중: $w=\dfrac{5-(-10)}{9}=\dfrac{5}{3}\ \mathrm{kN/m}$
전단력 0 위치: 4 m 지점에서 $\dfrac{5}{5/3}=3\ \mathrm{m}$ 더 간 곳
$M_{max}=7.5\times1+5\times3+\dfrac{1}{2}\times5\times3=7.5+15+7.5=30\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 22.5는 삼각형 부분 넓이를 빠뜨린 값이다.
• 45.0과 60.0은 음(−) 쪽 넓이까지 더하거나 전단력 0 위치를 잘못 잡아 과대 산정한 값이다.

경사면의 응력은 σ = 75 MPa, |τ| = 25√3 MPa이다.

축응력 $\sigma_x=\dfrac{P}{A}=\dfrac{10000\ \mathrm{N}}{100\ \mathrm{mm^2}}=100\ \mathrm{MPa}$이고, θ는 경사면의 법선이 봉축과 이루는 각이다.

$\sigma=\sigma_x\cos^2\theta=100\times\dfrac{3}{4}=75\ \mathrm{MPa}$
$|\tau|=\sigma_x\sin\theta\cos\theta=100\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}\ \mathrm{MPa}$

• σ 25√3, |τ| 25 조합은 수직응력에 sinθcosθ를, 전단응력에 $sin^{2}\theta$를 쓴 것이다.
• σ 25√3, |τ| 25√3 조합은 수직응력에 $cos^{2}\theta$ 대신 sinθcosθ를 쓴 것이다.
• σ 75, |τ| 25 조합은 전단응력에 $sin^{2}\theta$ 꼴을 적용한 결과로 크기가 맞지 않는다.

항복모멘트는 200 kN·m이다.

최외단 응력이 항복강도에 도달할 때의 모멘트이므로 $M_y=\sigma_y\dfrac{I}{y_{max}}$, $y_{max}=\dfrac{h}{2}=250\ \mathrm{mm}$이다.

$M_y=250\times\dfrac{2.0\times10^{8}}{250}=2.0\times10^{8}\ \mathrm{N\cdot mm}=200\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 100은 연단거리를 h(500 mm)로 잡아 절반이 된 값이다.
• 150과 175는 단면계수 $I/y_{max}=8\times10^{5}\ \mathrm{mm^3}$에 항복강도를 곱한 결과와 맞지 않는다.

정정 구조물은 나와 라이다.

라는 힌지 3개로 된 삼각형 트러스가 힌지+롤러(반력 3)로 지지되어 $m+r=3+3=2j=6$이므로 안정·정정이다. 나는 트러스와 양단 힌지 기둥(링크)을 합쳐 부재 14, 반력 4, 절점 9로 $14+4=18=2\times9$이므로 정정이다.

• 가는 하나의 강절 라멘이 힌지 2개와 고정 1개(반력 7)로 지지되어 부정정이다.
• 다는 왼쪽 롤러에 이어진 수평부재와 양단 힌지 수직부재가 수평 방향으로 구속되지 않아 기구가 되는 불안정 구조이다.
• 따라서 가나 다를 포함한 조합은 모두 성립하지 않는다.

부재력은 F_AB = 3 kN(인장), F_BC = 1 kN(압축)이다.

마찰 없는 도르래이므로 B점의 수평 케이블 장력은 매달린 하중과 같은 $\sqrt{2}\ \mathrm{kN}$(오른쪽)이다. 두 부재를 인장으로 가정하고 절점 B의 평형을 세운다(45° 성분은 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$배).

$\Sigma F_x=0:\ -\dfrac{F_{AB}}{\sqrt{2}}-\dfrac{F_{BC}}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}=0\ \Rightarrow\ F_{AB}+F_{BC}=2$
$\Sigma F_y=0:\ \dfrac{F_{AB}}{\sqrt{2}}-\dfrac{F_{BC}}{\sqrt{2}}-2\sqrt{2}=0\ \Rightarrow\ F_{AB}-F_{BC}=4$
$F_{AB}=3,\ F_{BC}=-1$(음수 → 압축)

• AB 1(인장)·BC 1(압축) 조합은 수직하중 성분을 빠뜨린 값이다.
• AB 1(압축)·BC 1(인장) 조합은 크기와 방향이 모두 맞지 않는다.
• AB 3(압축)·BC 1(인장) 조합은 인장·압축을 뒤바꾼 것이다.

미지의 힘은 F1 = 150 kN(상향), F2 = 150 kN(하향)이다.

F1, F2를 상향(+)으로 가정하고 왼쪽 끝을 기준으로 평형식을 세운다(F1은 1 m, F2는 3 m, R은 5 m, 200 kN은 6 m 위치).

$\Sigma F_y=0:\ -100+F_1+F_2+300-200=0\ \Rightarrow\ F_1+F_2=0$
$\Sigma M=0:\ F_1\times1+F_2\times3+300\times5-200\times6=0\ \Rightarrow\ F_1+3F_2=-300$
$F_2=-150\ \mathrm{kN}$(하향), $F_1=150\ \mathrm{kN}$(상향)

• 크기 100인 조합들은 모멘트 평형을 만족하지 않는다.
• F1 하향·F2 상향 조합은 그림의 화살표 방향을 그대로 답으로 본 것으로, 이때 모멘트 합이 0이 되지 않는다.

총 길이 변화량은 4PL/EA(압축)이다.

구간별 축력을 구해 합산한다. AC 구간에는 상단 하중 P만, CB 구간에는 $P+2P=3P$가 압축으로 작용한다.

$\delta=\dfrac{PL}{EA}+\dfrac{3PL}{EA}=\dfrac{4PL}{EA}$

• PL/EA는 AC 구간만 계산한 값이다.
• 2PL/EA는 C점 하중만 고려한 값이다.
• 3PL/EA는 CB 구간만 계산한 값이다.

세 점에 대한 모멘트는 모두 같다(ΣM_A = ΣM_B = ΣM_C).

크기가 같고 방향이 반대인 두 평행력은 우력이며, 우력의 모멘트는 두 힘 사이 거리 d에 대해 $M=Pd$로 기준점 위치와 무관하다.

예컨대 임의의 점에서 두 힘까지의 거리를 $x$, $x+d$라 하면 $P(x+d)-Px=Pd$로 x가 소거된다.

• 두 힘 사이의 B가 다르다고 보는 관계는 우력의 성질과 맞지 않는다.
• C 쪽이 크거나 작다고 보는 관계 역시 거리에 따라 모멘트가 변한다는 오해이다.

부재 BC의 부재력은 8 kN(압축)이다.

단면법으로 EF, BF, BC를 절단하고 왼쪽 부분(A·B·E)을 본다. EF와 BF가 만나는 F점에 대한 모멘트를 잡으면 BC만 남는다.

F는 A에서 수평 4 m, 높이 2 m 위치이다.
$\Sigma M_F=0:\ 4\times4=F_{BC}\times2\ \Rightarrow\ F_{BC}=8\ \mathrm{kN}$
오른쪽 지점에 고정된 캔틸레버형 트러스 끝에 하중이 매달려 하현재는 압축을 받는다.

• 8(인장)은 크기는 같지만 하현재의 응력 방향을 반대로 본 것이다.
• 16(압축)은 하중 모멘트 16 kN·m를 높이 2 m로 나누지 않은 값이다.
• 16(인장)은 크기와 응력 방향이 모두 맞지 않는다.

옳지 않은 설명은 E점이 아래쪽으로 이동한다는 것이다.

강체 BDE에서 $\Sigma M_D=0:\ F_B\times a=P\times a\ \Rightarrow\ F_B=P$이므로 수직부재는 B점에서 P만큼 위로 당겨진다. 수직부재의 BC 구간 축력은 2P(인장), AB 구간은 $2P-P=P$(인장)이다.

AB 구간이 늘어나 B점이 내려가면 D를 중심으로 회전하는 강체 BDE의 반대편 E점은 위로 올라간다.

• 반력 수가 평형방정식으로 모두 구해지므로 정정구조물이라는 설명은 옳다.
• A 지점 수직반력은 $2P-P=P$(상향)이므로 옳다.
• 길이가 같은 두 구간의 축력비가 2P : P이므로 BC 구간 길이 변화량이 AB 구간의 2배라는 설명은 옳다.

B점의 절대 최대전단력은 50 kN이다.

B점 전단력의 영향선은 A~B 구간에서 $-\dfrac{x}{10}$(B에서 −0.8), B~D 구간에서 $\dfrac{10-x}{10}$(B에서 0.2, C에서 0, D에서 −0.6)이다.

음(−) 영역 넓이: $\dfrac{1}{2}\times8\times0.8+\dfrac{1}{2}\times6\times0.6=3.2+1.8=5.0$
양(+) 영역 넓이: $\dfrac{1}{2}\times2\times0.2=0.2$
절대 최대: $10\times5.0=50\ \mathrm{kN}$

• 52는 양·음 영역 넓이를 부호 없이 함께 더한 값이다.
• 48은 음(−) 영역에서 양(+) 영역을 뺀 값으로, 이동하중은 음 영역에만 재하하므로 해당하지 않는다.
• 68은 영향선 넓이로 얻을 수 있는 값이 아니다.

임계좌굴하중은 4k/L이다.

두 강체 부재(각 길이 L/2)가 B에서 미소변위 δ만큼 옆으로 밀리면 각 부재 회전각은 $\theta=\dfrac{\delta}{L/2}$이고, 스프링의 상대회전각은 2θ이다.

B점 모멘트 평형: $k(2\theta)=P\delta=P\theta\dfrac{L}{2}$
$P_{cr}=\dfrac{4k}{L}$

• k/L은 상대회전을 θ로, 부재 길이를 L로 잡은 값이다.
• 2k/L은 상대회전각 2θ를 θ로 본 값이다.
• k/2L은 스프링 저항모멘트를 지나치게 작게 잡은 값이다.

C점의 처짐량은 25/18 mm이다.

강체 ABC의 A점 모멘트 평형으로 현 BD 장력을 구한다.
$\Sigma M_A=0:\ T\times3=10\times5\ \Rightarrow\ T=\dfrac{50}{3}\ \mathrm{kN}$

현의 신장(B점 처짐): $\delta_B=\dfrac{T}{k}=\dfrac{50/3}{20000}\ \mathrm{m}=\dfrac{5}{6}\ \mathrm{mm}$
강체이므로 거리에 비례: $\delta_C=\delta_B\times\dfrac{5}{3}=\dfrac{25}{18}\ \mathrm{mm}$

• 20/20(=1.00 mm)은 계산값 약 1.39 mm보다 작다.
• 25/20(=1.25 mm)은 B점 처짐에 거리비 5/3을 곱한 값과 맞지 않는다.
• 20/18(약 1.11 mm)은 장력 50/3 kN에서 나오는 값과 맞지 않는다.

내부힌지 B점의 처짐은 20 mm이다.

힌지 B에서 BD는 단순보로 거동한다. 30 kN이 D에서 2 m 위치이므로 B에 전달되는 힘은
$R_B=\dfrac{30\times2}{10}=6\ \mathrm{kN}$

AB는 길이 10 m 캔틸레버로서 끝단 B에 6 kN을 받으므로 캔틸레버 자유단 처짐 공식을 쓴다.
$\delta_B=\dfrac{PL^3}{3EI}=\dfrac{6000\times(10^{4})^3}{3\times200000\times5\times10^{8}}=20\ \mathrm{mm}$

• 10은 공식 분모를 6EI로 잡은 값이다.
• 30은 전달력을 9 kN으로 본 값이다.
• 40은 전달력을 12 kN으로 크게 본 값이다.

1축 응력을 받는 정육면체의 체적 변형률은 축방향 변형률에 (1−2ν)를 곱한 값이다.

축방향 변형률이 $\varepsilon$이면 직각 두 방향은 포아송 효과로 각각 $-\nu\varepsilon$만큼 변형한다.
미소변형에서 체적 변형률은 세 방향 변형률의 합이다.

$\varepsilon_v=\varepsilon+(-\nu\varepsilon)+(-\nu\varepsilon)$
$\varepsilon_v=(1-2\nu)\varepsilon$

• E/[2(1+ν)]는 전단탄성계수 G의 식으로, 응력 단위를 가지므로 무차원인 체적 변형률이 될 수 없다.
• (1−2ν)E는 탄성계수를 곱해 응력 차원이 되므로 체적 변형률과 차원이 맞지 않는다.
• ε/[2(1+ν)]는 포아송비가 커질수록 값이 줄어드는 형태로, 세 방향 변형률의 합이라는 체적 변형률의 정의에서 나오지 않는다.

스프링 강성은 400 kN/m이다.

지점 반력: $R_A=\dfrac{12\times3}{9}=4\ \mathrm{kN}$, $R_C=\dfrac{12\times6}{9}=8\ \mathrm{kN}$
A 처짐: $\delta_A=\dfrac{4}{100}=0.04\ \mathrm{m}$

같은 스프링 2개의 직렬 연결 등가강성은 $\dfrac{k_2}{2}$이다.
$\delta_C=\dfrac{8}{k_2/2}=0.04\ \Rightarrow\ k_2=400\ \mathrm{kN/m}$

• 200이면 등가강성 100 kN/m로 C 처짐이 0.08 m가 되어 A와 같지 않다.
• 100이면 등가강성 50 kN/m로 C 처짐이 0.16 m이다.
• 300이면 등가강성 150 kN/m로 C 처짐이 약 0.053 m이다.

감소 길이는 δ1 = νεL, 필요한 수직 인장응력은 σ1 = νσ이다.

수평 변형률 ε에 의해 수직방향 변형률은 $-\nu\varepsilon$이고, 수직방향 길이는 L이므로 $\delta_1=\nu\varepsilon L$이다.

수직방향으로 같은 변형률 νε를 되돌리려면 $\dfrac{\sigma_1}{E}=\nu\varepsilon=\nu\dfrac{\sigma}{E}\ \Rightarrow\ \sigma_1=\nu\sigma$이다.

• 2νεL은 수평 길이 2L을 곱한 값이다.
• (1/2)νσ는 길이비를 응력에 잘못 반영한 값이다.

두 재료의 온도응력은 같다(σ_A = σ_B).

A와 B는 양단 고정벽 사이에 직렬로 연결되어 있으므로 경계면의 평형상 두 재료에 작용하는 축력 N이 같다.

단면적이 같으므로 $\sigma_A=\dfrac{N}{A}=\sigma_B$이며, 열팽창계수·길이 차이는 N의 크기만 바꿀 뿐 두 응력의 비에는 영향이 없다.

• 부호가 반대라는 관계는 직렬 부재에 같은 압축력이 걸린다는 점과 맞지 않는다.
• 열팽창계수 비 2를 응력비로 옮긴 관계들은 직렬 부재의 평형 조건을 무시한 것이다.

기초 중앙부 C점의 모멘트는 0이다.

전체 하향 하중은 $20\times40+100\times2=1000\ \mathrm{kN}$이므로 등분포 토압은 $q=\dfrac{1000}{40}=25\ \mathrm{kN/m}$이고, 자중을 뺀 순 상향 분포하중은 $5\ \mathrm{kN/m}$이다.

왼쪽 절반(A~C, 20 m)에 대해
$M_C=5\times20\times10-100\times10=1000-1000=0$

• 1,000(부모멘트)은 순 상향 분포하중의 기여를 빠뜨린 값이다.
• 1,000(정모멘트)은 집중하중의 기여를 빠뜨린 값이다.
• 2,000(정모멘트)은 좌우 대칭 하중에서 두 기여가 상쇄되는 점을 무시한 값이다.