[9급 지방직 응용역학개론] 13년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

강봉 ABC의 변형에너지는 14,000 N·mm이다.
축하중 부재의 변형에너지는 구간별로 $U=\dfrac{P^2L}{2EA}$를 더한다.
$A_{AB}=\dfrac{3\times20^2}{4}=300\ \mathrm{mm^2},\ A_{BC}=\dfrac{3\times10^2}{4}=75\ \mathrm{mm^2}$
$\dfrac{P^2}{2E}=\dfrac{(20000)^2}{2\times200000}=1000\ \mathrm{N^2/MPa}$
$U=1000\left(\dfrac{1000}{300}+\dfrac{800}{75}\right)=1000\times14=14000\ \mathrm{N\cdot mm}$
12,000은 가는 BC 구간의 기여($1000\times\dfrac{800}{75}\approx10667$)를 과소평가한 값이다.
13,000은 계산값보다 작아 단면적 대입을 잘못한 값이다.
15,000은 계산값보다 커 길이나 단면적을 잘못 대입한 값이다.

영부재는 4개이다.
하중이 없는 절점에서 세 부재 중 두 부재가 일직선이면 나머지 한 부재는 영부재이다.
좌·우 상현재 중간 절점은 상현재가 일직선이므로 하현으로 내려가는 사재가 각각 영부재(2개)이다. 이를 제거하면 하현재 절점에는 일직선 하현재와 정점으로 가는 사재만 남으므로 그 사재도 영부재(2개)이다.
1개는 한쪽 상현 절점의 사재만 센 결과이다.
2개는 상현 절점의 사재만 세고, 이를 제거한 뒤 하현 절점에서 생기는 영부재를 놓친 결과이다.
3개는 대칭인 반대편 부재 하나를 빠뜨린 결과이다.

합력은 2상한에 작용한다.
각 힘을 x·y 성분으로 분해해 더한다(P1은 -x축과 60°, P3는 -x축과 30°).
$R_x=-30\cos60^\circ+30-30\cos30^\circ=-15+30-25.98=-10.98\ \mathrm{kN}$
$R_y=30\sin60^\circ-30\sin30^\circ=25.98-15=10.98\ \mathrm{kN}$
$R_x\lt 0,\ R_y\gt 0$이므로 합력은 2상한을 향한다.
1상한은 x성분이 양이어야 하나 실제로는 음이다.
3상한은 y성분이 음이어야 하나 실제로는 양이다.
4상한은 두 성분의 부호가 모두 반대이다.

A점의 수직응력은 2.5 MPa(인장)이다.
하중이 모서리에 작용하므로 양방향 편심 $e_x=e_y=100\ \mathrm{mm}$인 2축 편심하중이다(압축 −, 인장 +).
$\dfrac{P}{A}=\dfrac{20000}{200\times200}=0.5\ \mathrm{MPa},\ \dfrac{6e}{b}=\dfrac{6\times100}{200}=3$
A점은 하중 모서리의 대각선 반대편이므로 두 방향 휨응력이 모두 인장으로 작용한다.
$\sigma_A=-0.5(1-3-3)=+2.5\ \mathrm{MPa}$
0.5는 축방향 압축응력만 고려한 값이다.
1.5는 한 방향 휨응력($0.5\times3$)만 본 값이다.
3.5는 하중이 작용하는 모서리의 압축응력 $0.5(1+3+3)$로, A점이 아니다.

모멘트선도는 AB 기둥은 삼각형, BC 보는 하중점에서 끊긴 두 개의 삼각형, CD 기둥은 0인 형태이다.
D는 이동지점이므로 수평반력이 없고, A의 수평반력이 P를 모두 받는다. 따라서 CD 기둥에는 휨모멘트가 생기지 않는다.
AB 기둥은 A에서 0, B에서 P×기둥높이로 직선 증가한다. P는 보 위로 솟은 짧은 연결재에 작용하므로 하중점에 집중모멘트가 생겨 BC 보의 선도가 그 점에서 불연속이 된다.
AB 기둥이 직사각형인 선도는 기둥 하단 힌지에서 모멘트가 0이어야 한다는 조건에 어긋난다.
CD 기둥에 모멘트가 있는 선도는 이동지점의 수평반력을 가정한 것이다.
BC 보가 하나의 삼각형인 선도는 연결재가 만드는 집중모멘트를 무시한 것이다.

최대 전단응력 요소의 수직응력은 4 MPa, 전단응력은 13 MPa이다.
그림에서 $\sigma_x=-8\ \mathrm{MPa}$(압축), $\sigma_y=16\ \mathrm{MPa}$(인장), 전단응력 크기 $5\ \mathrm{MPa}$이다.
최대 전단응력면의 수직응력은 평균응력이다.
$\sigma_{avg}=\dfrac{-8+16}{2}=4\ \mathrm{MPa}$
$\tau_{max}=\sqrt{\left(\dfrac{-8-16}{2}\right)^2+5^2}=\sqrt{144+25}=13\ \mathrm{MPa}$
수직응력 0, 전단응력 13은 최대 전단응력면에도 평균응력이 작용함을 무시한 것이다.
수직응력 0, 전단응력 6.4는 평균응력을 무시하고 Mohr 원 반지름도 잘못 구한 것이다.
수직응력 4, 전단응력 6.4는 평균응력은 맞으나 Mohr 원 반지름을 잘못 구한 것이다.

B점과 C점의 전단력은 모두 1.5 kN이다.
전단력은 휨모멘트선도의 기울기이다. BC구간은 직선이므로 전단력이 일정하다.
$V_{BC}=\dfrac{10-7}{2}=1.5\ \mathrm{kN}$
AB구간으로 검산하면 $M_B=5.5\times2-\dfrac{w\times2^2}{2}=7$에서 $w=2\ \mathrm{kN/m}$, $V_B=5.5-2\times2=1.5\ \mathrm{kN}$로 일치한다.
B점 1.5, C점 2.5는 직선인 BC구간에서 전단력이 일정하다는 점을 놓친 것이다.
B점 2.5, C점 2.5는 AB구간 분포하중을 잘못 계산하고 BC구간 기울기도 반영하지 않은 것이다.
B점 2.5, C점 1.5는 B점에 집중하중이 없어 전단력이 연속이라는 점을 놓친 것이다.

C점의 반력은 10 kN이다.
B는 내부힌지이므로 $M_B=0$이며, B~D 부분을 자유물체로 잡는다.
등분포하중 합력 $3\times2=6\ \mathrm{kN}$(B에서 5 m), 시계방향 모멘트하중 $10\ \mathrm{kN\cdot m}$
$\Sigma M_B=0:\ R_C\times4-10-6\times5=0$
$R_C=\dfrac{40}{4}=10\ \mathrm{kN}$
12 kN을 넣으면 $48-10-30=8\neq0$으로 평형이 성립하지 않는다.
14 kN을 넣으면 $56-10-30=16\neq0$으로 평형이 성립하지 않는다.
16 kN을 넣으면 $64-10-30=24\neq0$으로 평형이 성립하지 않는다.

휨모멘트선도는 전 구간이 음(-)이며 최솟값 이후 기울기가 한 번 줄어든 뒤 0으로 돌아오는 꺾인 삼각형 형태이다.
휨모멘트선도의 기울기는 전단력이고, 모멘트하중이 없으므로 선도는 연속이다. 각 구간 전단력이 일정하므로 모멘트선도는 직선이다.
왼쪽 음의 전단력 구간에서 모멘트가 0에서 음으로 감소하고, 이후 양의 전단력(큰 값→작은 값) 구간에서 기울기가 한 번 완만해진 뒤 단순보 끝단에서 0이 된다.
양(+)의 삼각형 선도는 왼쪽 구간이 음의 전단력이라는 점과 맞지 않는다.
음에서 양으로 넘어갔다가 0으로 내려오는 선도는 마지막 구간 기울기가 음이 되어 양의 전단력과 맞지 않는다.
오른쪽 끝에서 0이 아닌 선도는 단순보 지점의 모멘트 0 조건에 어긋난다.

옳지 않은 것은 최대 전단응력이 평균 전단응력의 4/3배라는 설명이다.
직사각형 단면의 최대 전단응력은 $\tau_{max}=\dfrac{3}{2}\dfrac{V}{bh}$로 평균의 1.5배이며, 4/3배는 원형 단면의 값이다.
단면1차모멘트 $Q=b\left(\dfrac{h}{2}-y\right)\cdot\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{h}{2}+y\right)=\dfrac{b}{2}\left(\dfrac{h^2}{4}-y^2\right)$는 옳다.
전단응력 $\tau=\dfrac{VQ}{Ib}=\dfrac{V}{2I}\left(\dfrac{h^2}{4}-y^2\right)$는 옳다.
Q가 y=0에서 최대이므로 최대 전단응력이 중립축에서 생긴다는 설명은 옳다.

B점에 작용하는 모멘트는 20 kN·m이다.
수직반력이 같으므로 $R_A=R_B=\dfrac{10}{2}=5\ \mathrm{kN}$이다.
B점에 대한 모멘트 평형(반시계 +, M은 시계방향):
$\Sigma M_B=0:\ -5\times10+10\times7-M=0$
$M=70-50=20\ \mathrm{kN\cdot m}$
10은 $-50+70-10=10\neq0$으로 평형을 만족하지 않는다.
30은 $-50+70-30=-10\neq0$으로 평형을 만족하지 않는다.
40은 $-50+70-40=-20\neq0$으로 평형을 만족하지 않는다.

최대 수면 높이는 $h=\sqrt[3]{300}\ \mathrm{m}$이다.
하류측 하단 모서리를 회전축으로 전도모멘트 = 저항모멘트로 둔다(폭 1 m 기준).
정수압 합력 $P=\dfrac{1}{2}\times10\times h^2=5h^2$, 작용점 높이 $\dfrac{h}{3}$ → $M_o=\dfrac{5h^3}{3}$
자중 $W=25\times2\times10=500\ \mathrm{kN}$, 팔길이 1 m → $M_r=500$
$\dfrac{5h^3}{3}=500\ \Rightarrow\ h^3=300$
$\sqrt[3]{100}$은 수압 합력의 작용점을 바닥에서 h(팔길이 h)로 잡은 결과이다.
$\sqrt[3]{200}$은 작용점을 $\dfrac{h}{2}$로 잡은 결과이다.
$\sqrt[3]{400}$에서는 전도모멘트 $\dfrac{5\times400}{3}\approx667$이 저항모멘트 500을 넘어 전도된다.

최대처짐의 비 (가):(나):(다)는 8 : 5 : 24이다.
(가) 중앙 집중하중 $\delta=\dfrac{PL^3}{48EI}=\dfrac{wL^4}{48EI}$
(나) 등분포하중 $\delta=\dfrac{5wL^4}{384EI}$
(다) 양단 크기가 같고 방향이 반대인 모멘트(순수굽힘) $\delta=\dfrac{ML^2}{8EI}=\dfrac{wL^4}{16EI}$
$\dfrac{1}{48}:\dfrac{5}{384}:\dfrac{1}{16}=8:5:24$(384를 곱함)
1 : 1 : 1은 하중 조건별 처짐 계수 차이를 무시한 것이다.
5 : 8 : 12는 (가)와 (나)를 뒤바꾸고 (다)를 절반으로 잡은 것이다.
8 : 5 : 12는 (다)의 처짐을 $\dfrac{ML^2}{16EI}$로 잘못 계산한 것이다.

BD부재력은 30 kN(압축)이다.
지점반력: $\Sigma M_A=0:\ R_F\times20-30\times14-30\times6=0\ \Rightarrow\ R_F=30\ \mathrm{kN}$
BD·BE·CE를 자르는 단면법으로, 나머지 두 부재가 만나는 E점에 대해 오른쪽 자유물체의 모멘트를 잡는다(BD 인장 가정).
$\Sigma M_E=0:\ R_F\times6+F_{BD}\times6=0\ \Rightarrow\ F_{BD}=-30\ \mathrm{kN}$
20 kN(인장)은 크기와 부호가 모두 맞지 않는다.
20 kN(압축)은 반력 또는 팔길이를 잘못 잡은 값이다.
30 kN(인장)은 크기는 맞으나 부호(압축)를 반대로 판단한 것이다.

C점의 처짐은 $\dfrac{9P}{2EI}$이다.
내부힌지 C를 경계로 CB는 지간 6 m 단순보이고 P가 중앙에 있으므로 $R_C=\dfrac{P}{2}$가 캔틸레버 AC의 끝에 하중으로 전달된다.
$\delta_C=\dfrac{(P/2)L^3}{3EI}=\dfrac{P\times3^3}{2\times3EI}=\dfrac{9P}{2EI}$
$\dfrac{9P}{EI}$는 C에 P 전체가 전달된다고 본 값이다.
$\dfrac{9P}{4EI}$는 전달 하중을 P/4로 본 값이다.
$\dfrac{9P}{8EI}$는 전달 하중이나 처짐 공식 계수를 잘못 쓴 값이다.

x축에 대한 단면2차모멘트는 $\dfrac{23a^4}{3}$이다.
도형을 두 개의 직사각형으로 나눈다. 왼쪽 $2a\times2a$ 정사각형과 오른쪽 위 $a\times a$ 정사각형(y=a~2a)이다.
$I_1=\dfrac{2a(2a)^3}{3}=\dfrac{16a^4}{3}$
$I_2=\dfrac{a\left[(2a)^3-a^3\right]}{3}=\dfrac{7a^4}{3}$
$I_x=\dfrac{16a^4}{3}+\dfrac{7a^4}{3}=\dfrac{23a^4}{3}$
$\dfrac{25a^4}{3}$는 작은 정사각형의 위치(y=a~2a)를 잘못 잡은 값이다.
$\dfrac{23a^4}{12}$는 밑변축 계수 1/3 대신 도심축 계수 1/12를 쓴 값이다.
$\dfrac{25a^4}{12}$는 위치와 계수를 모두 잘못 쓴 값이다.

C점의 최대 휨응력은 30 MPa이다.
반력: $\Sigma M_B=0:\ R_A\times6-5\times4-(2\times2)\times1=0\ \Rightarrow\ R_A=4\ \mathrm{kN}$
$M_C=4\times4-5\times2=6\ \mathrm{kN\cdot m}$
단면계수(폭 120 mm, 높이 100 mm): $Z=\dfrac{120\times100^2}{6}=2\times10^5\ \mathrm{mm^3}$
$\sigma=\dfrac{M}{Z}=\dfrac{6\times10^6}{2\times10^5}=30\ \mathrm{MPa}$
15 MPa는 모멘트를 절반으로 계산한 값이다.
45 MPa는 반력이나 단면 치수를 잘못 대입한 값이다.
60 MPa는 모멘트를 두 배로 잡거나 단면계수를 절반으로 계산한 값이다.

필요한 내부힌지는 3개이다.
지점은 회전지점 1개(반력 2)와 이동지점 4개(반력 각 1)이므로 반력 수는 $2+4=6$, 평형방정식은 3개이다.
따라서 부정정차수 = 6 - 3 = 3이고, 내부힌지 1개가 조건식 1개를 추가하므로 힌지 3개가 있어야 정정보가 된다.
4개는 이동지점 수를 그대로 센 결과로, 힌지가 3개를 넘으면 불안정 구조가 된다.
5개는 지점 수를 그대로 센 결과이다.
6개는 반력 수를 그대로 센 결과이다.

원형강체판의 수평변위는 $\delta=\dfrac{2\alpha L\Delta T}{3}$이다.
튜브는 늘어나려 하고 실린더가 이를 구속하므로 튜브에는 압축력 F, 실린더에는 인장력 F가 생긴다(힘의 평형). 강체판이므로 두 부재의 변위는 같다(적합조건).
$\delta=\dfrac{F}{k}=\alpha\Delta TL-\dfrac{F}{2k}$
$F\left(\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{2k}\right)=\alpha\Delta TL\ \Rightarrow\ F=\dfrac{2k\alpha\Delta TL}{3}$
$\delta=\dfrac{F}{k}=\dfrac{2\alpha L\Delta T}{3}$
$\dfrac{3\alpha L\Delta T}{4}$는 튜브 강성을 3k로 본 결과이다.
$\dfrac{4\alpha L\Delta T}{5}$는 튜브 강성을 4k로 본 결과이다.
$\dfrac{5\alpha L\Delta T}{6}$는 튜브 강성을 5k로 본 결과이다.

B점의 수직처짐은 $\dfrac{3}{8}qL^2\left(\dfrac{1}{kL+\dfrac{3EI}{L^2}}\right)$이다.
스프링 반력 R을 미지수로 두고, 캔틸레버 끝 처짐이 스프링 변형과 같다는 변위일치를 쓴다.
$\dfrac{qL^4}{8EI}-\dfrac{RL^3}{3EI}=\dfrac{R}{k}$
$R=\dfrac{qL^4/8EI}{1/k+L^3/3EI}$이므로
$\delta_B=\dfrac{R}{k}=\dfrac{qL^4/8EI}{1+kL^3/3EI}=\dfrac{3qL^2/8}{kL+3EI/L^2}$
계수 1/8은 분모에 $3EI/L^{2}$을 만들 때 곱한 3을 분자에 반영하지 않은 결과이다.
계수 2/8은 계수 정리를 잘못한 결과이다.
계수 5/8은 고정-이동지점 보의 반력 계수(5qL/8)를 처짐 계수로 착각한 것이다.