13년 1회차

강봉 ABC의 변형에너지는 14,000 N·mm이다.

축하중 부재의 변형에너지는 구간별로 $U=\dfrac{P^2L}{2EA}$를 더한다.
$A_{AB}=\dfrac{3\times20^2}{4}=300\ \mathrm{mm^2},\ A_{BC}=\dfrac{3\times10^2}{4}=75\ \mathrm{mm^2}$

$\dfrac{P^2}{2E}=\dfrac{(20000)^2}{2\times200000}=1000\ \mathrm{N^2/MPa}$
$U=1000\left(\dfrac{1000}{300}+\dfrac{800}{75}\right)=1000\times14=14000\ \mathrm{N\cdot mm}$

• 12,000은 가는 BC 구간의 기여($1000\times\dfrac{800}{75}\approx10667$)를 과소평가한 값이다.
• 13,000은 계산값보다 작아 단면적 대입을 잘못한 값이다.
• 15,000은 계산값보다 커 길이나 단면적을 잘못 대입한 값이다.

영부재는 4개이다.

하중이 없는 절점에서 세 부재 중 두 부재가 일직선이면 나머지 한 부재는 영부재이다.

좌·우 상현재 중간 절점은 상현재가 일직선이므로 하현으로 내려가는 사재가 각각 영부재(2개)이다. 이를 제거하면 하현재 절점에는 일직선 하현재와 정점으로 가는 사재만 남으므로 그 사재도 영부재(2개)이다.

• 1개는 한쪽 상현 절점의 사재만 센 결과이다.
• 2개는 상현 절점의 사재만 세고, 이를 제거한 뒤 하현 절점에서 생기는 영부재를 놓친 결과이다.
• 3개는 대칭인 반대편 부재 하나를 빠뜨린 결과이다.

합력은 2상한에 작용한다.

각 힘을 x·y 성분으로 분해해 더한다(P1은 -x축과 60°, P3는 -x축과 30°).
$R_x=-30\cos60^\circ+30-30\cos30^\circ=-15+30-25.98=-10.98\ \mathrm{kN}$
$R_y=30\sin60^\circ-30\sin30^\circ=25.98-15=10.98\ \mathrm{kN}$

$R_x\lt 0,\ R_y\gt 0$이므로 합력은 2상한을 향한다.

• 1상한은 x성분이 양이어야 하나 실제로는 음이다.
• 3상한은 y성분이 음이어야 하나 실제로는 양이다.
• 4상한은 두 성분의 부호가 모두 반대이다.

A점의 수직응력은 2.5 MPa(인장)이다.

하중이 모서리에 작용하므로 양방향 편심 $e_x=e_y=100\ \mathrm{mm}$인 2축 편심하중이다(압축 −, 인장 +).
$\dfrac{P}{A}=\dfrac{20000}{200\times200}=0.5\ \mathrm{MPa},\ \dfrac{6e}{b}=\dfrac{6\times100}{200}=3$

A점은 하중 모서리의 대각선 반대편이므로 두 방향 휨응력이 모두 인장으로 작용한다.
$\sigma_A=-0.5(1-3-3)=+2.5\ \mathrm{MPa}$

• 0.5는 축방향 압축응력만 고려한 값이다.
• 1.5는 한 방향 휨응력($0.5\times3$)만 본 값이다.
• 3.5는 하중이 작용하는 모서리의 압축응력 $0.5(1+3+3)$로, A점이 아니다.

모멘트선도는 AB 기둥은 삼각형, BC 보는 하중점에서 끊긴 두 개의 삼각형, CD 기둥은 0인 형태이다.

D는 이동지점이므로 수평반력이 없고, A의 수평반력이 P를 모두 받는다. 따라서 CD 기둥에는 휨모멘트가 생기지 않는다.

AB 기둥은 A에서 0, B에서 P×기둥높이로 직선 증가한다. P는 보 위로 솟은 짧은 연결재에 작용하므로 하중점에 집중모멘트가 생겨 BC 보의 선도가 그 점에서 불연속이 된다.

• AB 기둥이 직사각형인 선도는 기둥 하단 힌지에서 모멘트가 0이어야 한다는 조건에 어긋난다.
• CD 기둥에 모멘트가 있는 선도는 이동지점의 수평반력을 가정한 것이다.
• BC 보가 하나의 삼각형인 선도는 연결재가 만드는 집중모멘트를 무시한 것이다.

최대 전단응력 요소의 수직응력은 4 MPa, 전단응력은 13 MPa이다.

그림에서 $\sigma_x=-8\ \mathrm{MPa}$(압축), $\sigma_y=16\ \mathrm{MPa}$(인장), 전단응력 크기 $5\ \mathrm{MPa}$이다.

최대 전단응력면의 수직응력은 평균응력이다.
$\sigma_{avg}=\dfrac{-8+16}{2}=4\ \mathrm{MPa}$
$\tau_{max}=\sqrt{\left(\dfrac{-8-16}{2}\right)^2+5^2}=\sqrt{144+25}=13\ \mathrm{MPa}$

• 수직응력 0, 전단응력 13은 최대 전단응력면에도 평균응력이 작용함을 무시한 것이다.
• 수직응력 0, 전단응력 6.4는 평균응력을 무시하고 Mohr 원 반지름도 잘못 구한 것이다.
• 수직응력 4, 전단응력 6.4는 평균응력은 맞으나 Mohr 원 반지름을 잘못 구한 것이다.

B점과 C점의 전단력은 모두 1.5 kN이다.

전단력은 휨모멘트선도의 기울기이다. BC구간은 직선이므로 전단력이 일정하다.
$V_{BC}=\dfrac{10-7}{2}=1.5\ \mathrm{kN}$

AB구간으로 검산하면 $M_B=5.5\times2-\dfrac{w\times2^2}{2}=7$에서 $w=2\ \mathrm{kN/m}$, $V_B=5.5-2\times2=1.5\ \mathrm{kN}$로 일치한다.

• B점 1.5, C점 2.5는 직선인 BC구간에서 전단력이 일정하다는 점을 놓친 것이다.
• B점 2.5, C점 2.5는 AB구간 분포하중을 잘못 계산하고 BC구간 기울기도 반영하지 않은 것이다.
• B점 2.5, C점 1.5는 B점에 집중하중이 없어 전단력이 연속이라는 점을 놓친 것이다.

C점의 반력은 10 kN이다.

B는 내부힌지이므로 $M_B=0$이며, B~D 부분을 자유물체로 잡는다.

등분포하중 합력 $3\times2=6\ \mathrm{kN}$(B에서 5 m), 시계방향 모멘트하중 $10\ \mathrm{kN\cdot m}$
$\Sigma M_B=0:\ R_C\times4-10-6\times5=0$
$R_C=\dfrac{40}{4}=10\ \mathrm{kN}$

• 12 kN을 넣으면 $48-10-30=8\neq0$으로 평형이 성립하지 않는다.
• 14 kN을 넣으면 $56-10-30=16\neq0$으로 평형이 성립하지 않는다.
• 16 kN을 넣으면 $64-10-30=24\neq0$으로 평형이 성립하지 않는다.

휨모멘트선도는 전 구간이 음(-)이며 최솟값 이후 기울기가 한 번 줄어든 뒤 0으로 돌아오는 꺾인 삼각형 형태이다.

휨모멘트선도의 기울기는 전단력이고, 모멘트하중이 없으므로 선도는 연속이다. 각 구간 전단력이 일정하므로 모멘트선도는 직선이다.

왼쪽 음의 전단력 구간에서 모멘트가 0에서 음으로 감소하고, 이후 양의 전단력(큰 값→작은 값) 구간에서 기울기가 한 번 완만해진 뒤 단순보 끝단에서 0이 된다.

• 양(+)의 삼각형 선도는 왼쪽 구간이 음의 전단력이라는 점과 맞지 않는다.
• 음에서 양으로 넘어갔다가 0으로 내려오는 선도는 마지막 구간 기울기가 음이 되어 양의 전단력과 맞지 않는다.
• 오른쪽 끝에서 0이 아닌 선도는 단순보 지점의 모멘트 0 조건에 어긋난다.

옳지 않은 것은 최대 전단응력이 평균 전단응력의 4/3배라는 설명이다.

직사각형 단면의 최대 전단응력은 $\tau_{max}=\dfrac{3}{2}\dfrac{V}{bh}$로 평균의 1.5배이며, 4/3배는 원형 단면의 값이다.

• 단면1차모멘트 $Q=b\left(\dfrac{h}{2}-y\right)\cdot\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{h}{2}+y\right)=\dfrac{b}{2}\left(\dfrac{h^2}{4}-y^2\right)$는 옳다.
• 전단응력 $\tau=\dfrac{VQ}{Ib}=\dfrac{V}{2I}\left(\dfrac{h^2}{4}-y^2\right)$는 옳다.
• Q가 y=0에서 최대이므로 최대 전단응력이 중립축에서 생긴다는 설명은 옳다.

B점에 작용하는 모멘트는 20 kN·m이다.

수직반력이 같으므로 $R_A=R_B=\dfrac{10}{2}=5\ \mathrm{kN}$이다.

B점에 대한 모멘트 평형(반시계 +, M은 시계방향):
$\Sigma M_B=0:\ -5\times10+10\times7-M=0$
$M=70-50=20\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 10은 $-50+70-10=10\neq0$으로 평형을 만족하지 않는다.
• 30은 $-50+70-30=-10\neq0$으로 평형을 만족하지 않는다.
• 40은 $-50+70-40=-20\neq0$으로 평형을 만족하지 않는다.

최대 수면 높이는 $h=\sqrt[3]{300}\ \mathrm{m}$이다.

하류측 하단 모서리를 회전축으로 전도모멘트 = 저항모멘트로 둔다(폭 1 m 기준).

정수압 합력 $P=\dfrac{1}{2}\times10\times h^2=5h^2$, 작용점 높이 $\dfrac{h}{3}$ → $M_o=\dfrac{5h^3}{3}$
자중 $W=25\times2\times10=500\ \mathrm{kN}$, 팔길이 1 m → $M_r=500$
$\dfrac{5h^3}{3}=500\ \Rightarrow\ h^3=300$

• $\sqrt[3]{100}$은 수압 합력의 작용점을 바닥에서 h(팔길이 h)로 잡은 결과이다.
• $\sqrt[3]{200}$은 작용점을 $\dfrac{h}{2}$로 잡은 결과이다.
• $\sqrt[3]{400}$에서는 전도모멘트 $\dfrac{5\times400}{3}\approx667$이 저항모멘트 500을 넘어 전도된다.

최대처짐의 비 (가):(나):(다)는 8 : 5 : 24이다.

(가) 중앙 집중하중 $\delta=\dfrac{PL^3}{48EI}=\dfrac{wL^4}{48EI}$
(나) 등분포하중 $\delta=\dfrac{5wL^4}{384EI}$
(다) 양단 크기가 같고 방향이 반대인 모멘트(순수굽힘) $\delta=\dfrac{ML^2}{8EI}=\dfrac{wL^4}{16EI}$

$\dfrac{1}{48}:\dfrac{5}{384}:\dfrac{1}{16}=8:5:24$(384를 곱함)

• 1 : 1 : 1은 하중 조건별 처짐 계수 차이를 무시한 것이다.
• 5 : 8 : 12는 (가)와 (나)를 뒤바꾸고 (다)를 절반으로 잡은 것이다.
• 8 : 5 : 12는 (다)의 처짐을 $\dfrac{ML^2}{16EI}$로 잘못 계산한 것이다.

BD부재력은 30 kN(압축)이다.

지점반력: $\Sigma M_A=0:\ R_F\times20-30\times14-30\times6=0\ \Rightarrow\ R_F=30\ \mathrm{kN}$

BD·BE·CE를 자르는 단면법으로, 나머지 두 부재가 만나는 E점에 대해 오른쪽 자유물체의 모멘트를 잡는다(BD 인장 가정).
$\Sigma M_E=0:\ R_F\times6+F_{BD}\times6=0\ \Rightarrow\ F_{BD}=-30\ \mathrm{kN}$

• 20 kN(인장)은 크기와 부호가 모두 맞지 않는다.
• 20 kN(압축)은 반력 또는 팔길이를 잘못 잡은 값이다.
• 30 kN(인장)은 크기는 맞으나 부호(압축)를 반대로 판단한 것이다.

C점의 처짐은 $\dfrac{9P}{2EI}$이다.

내부힌지 C를 경계로 CB는 지간 6 m 단순보이고 P가 중앙에 있으므로 $R_C=\dfrac{P}{2}$가 캔틸레버 AC의 끝에 하중으로 전달된다.

$\delta_C=\dfrac{(P/2)L^3}{3EI}=\dfrac{P\times3^3}{2\times3EI}=\dfrac{9P}{2EI}$

• $\dfrac{9P}{EI}$는 C에 P 전체가 전달된다고 본 값이다.
• $\dfrac{9P}{4EI}$는 전달 하중을 P/4로 본 값이다.
• $\dfrac{9P}{8EI}$는 전달 하중이나 처짐 공식 계수를 잘못 쓴 값이다.

x축에 대한 단면2차모멘트는 $\dfrac{23a^4}{3}$이다.

도형을 두 개의 직사각형으로 나눈다. 왼쪽 $2a\times2a$ 정사각형과 오른쪽 위 $a\times a$ 정사각형(y=a~2a)이다.

$I_1=\dfrac{2a(2a)^3}{3}=\dfrac{16a^4}{3}$
$I_2=\dfrac{a\left[(2a)^3-a^3\right]}{3}=\dfrac{7a^4}{3}$
$I_x=\dfrac{16a^4}{3}+\dfrac{7a^4}{3}=\dfrac{23a^4}{3}$

• $\dfrac{25a^4}{3}$는 작은 정사각형의 위치(y=a~2a)를 잘못 잡은 값이다.
• $\dfrac{23a^4}{12}$는 밑변축 계수 1/3 대신 도심축 계수 1/12를 쓴 값이다.
• $\dfrac{25a^4}{12}$는 위치와 계수를 모두 잘못 쓴 값이다.

C점의 최대 휨응력은 30 MPa이다.

반력: $\Sigma M_B=0:\ R_A\times6-5\times4-(2\times2)\times1=0\ \Rightarrow\ R_A=4\ \mathrm{kN}$
$M_C=4\times4-5\times2=6\ \mathrm{kN\cdot m}$

단면계수(폭 120 mm, 높이 100 mm): $Z=\dfrac{120\times100^2}{6}=2\times10^5\ \mathrm{mm^3}$
$\sigma=\dfrac{M}{Z}=\dfrac{6\times10^6}{2\times10^5}=30\ \mathrm{MPa}$

• 15 MPa는 모멘트를 절반으로 계산한 값이다.
• 45 MPa는 반력이나 단면 치수를 잘못 대입한 값이다.
• 60 MPa는 모멘트를 두 배로 잡거나 단면계수를 절반으로 계산한 값이다.

필요한 내부힌지는 3개이다.

지점은 회전지점 1개(반력 2)와 이동지점 4개(반력 각 1)이므로 반력 수는 $2+4=6$, 평형방정식은 3개이다.

따라서 부정정차수 = 6 - 3 = 3이고, 내부힌지 1개가 조건식 1개를 추가하므로 힌지 3개가 있어야 정정보가 된다.

• 4개는 이동지점 수를 그대로 센 결과로, 힌지가 3개를 넘으면 불안정 구조가 된다.
• 5개는 지점 수를 그대로 센 결과이다.
• 6개는 반력 수를 그대로 센 결과이다.

원형강체판의 수평변위는 $\delta=\dfrac{2\alpha L\Delta T}{3}$이다.

튜브는 늘어나려 하고 실린더가 이를 구속하므로 튜브에는 압축력 F, 실린더에는 인장력 F가 생긴다(힘의 평형). 강체판이므로 두 부재의 변위는 같다(적합조건).

$\delta=\dfrac{F}{k}=\alpha\Delta TL-\dfrac{F}{2k}$
$F\left(\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{2k}\right)=\alpha\Delta TL\ \Rightarrow\ F=\dfrac{2k\alpha\Delta TL}{3}$
$\delta=\dfrac{F}{k}=\dfrac{2\alpha L\Delta T}{3}$

• $\dfrac{3\alpha L\Delta T}{4}$는 튜브 강성을 3k로 본 결과이다.
• $\dfrac{4\alpha L\Delta T}{5}$는 튜브 강성을 4k로 본 결과이다.
• $\dfrac{5\alpha L\Delta T}{6}$는 튜브 강성을 5k로 본 결과이다.

B점의 수직처짐은 $\dfrac{3}{8}qL^2\left(\dfrac{1}{kL+\dfrac{3EI}{L^2}}\right)$이다.

스프링 반력 R을 미지수로 두고, 캔틸레버 끝 처짐이 스프링 변형과 같다는 변위일치를 쓴다.
$\dfrac{qL^4}{8EI}-\dfrac{RL^3}{3EI}=\dfrac{R}{k}$

$R=\dfrac{qL^4/8EI}{1/k+L^3/3EI}$이므로
$\delta_B=\dfrac{R}{k}=\dfrac{qL^4/8EI}{1+kL^3/3EI}=\dfrac{3qL^2/8}{kL+3EI/L^2}$

• 계수 1/8은 분모에 $3EI/L^{2}$을 만들 때 곱한 3을 분자에 반영하지 않은 결과이다.
• 계수 2/8은 계수 정리를 잘못한 결과이다.
• 계수 5/8은 고정-이동지점 보의 반력 계수(5qL/8)를 처짐 계수로 착각한 것이다.