[9급 지방직 응용역학개론] 17년 2회차 기출문제 정답·해설 페이지

하중 P의 A점에 대한 모멘트 크기는 160 kN·m이다.
P는 원점에서 B(8, 6) 방향이므로 길이 비 6:8:10으로 성분을 나눈다.
$P_x=20\times\dfrac{8}{10}=16\ \mathrm{kN},\quad P_y=20\times\dfrac{6}{10}=12\ \mathrm{kN}$
B와 A는 x좌표가 같으므로 수직성분은 A를 지나 모멘트가 0이고, 수평성분만 팔길이 6−(−4)=10 m를 가진다.
$M_A=16\times 10=160\ \mathrm{kN\cdot m}$
120 kN·m는 수직성분 12 kN에 팔길이 10 m를 곱한 값으로, 성분과 팔길이를 잘못 짝지었다.
100 kN·m는 P 전체에 수직거리 5 m를 쓴 것과 같은 값으로, 작용선까지의 실제 수직거리 8 m와 맞지 않는다.
140 kN·m는 성분별 모멘트를 어떻게 조합해도 나오지 않는 값이다.

최대 전단응력의 크기는 50 MPa이다.
그림에서 수평방향은 인장 20 MPa, 연직방향은 압축 40 MPa, 전단응력은 40 MPa이다.
$\sigma_x=20,\quad \sigma_y=-40,\quad \tau_{xy}=40\ \mathrm{MPa}$
최대 전단응력은 모어원의 반지름이다.
$\tau_{max}=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}=\sqrt{30^2+40^2}=50\ \mathrm{MPa}$
40 MPa는 작용 전단응력만 읽은 값으로, 수직응력 차이를 빠뜨렸다.
60 MPa는 수직응력 차이 전체를 쓴 값으로, 2로 나누지 않았다.
70 MPa는 반지름 성분 30과 40을 단순히 더한 값이다.

3차원 공간의 구조물 절점은 독립 변위성분 6개(병진 3개 + 회전 3개)를 가진다.
절점은 $x,\ y,\ z$ 세 축 방향으로 이동할 수 있고, 같은 세 축 둘레로 회전할 수 있다. 따라서 자유도는 $3+3=6$이며, 이는 3차원 강체의 자유도와 같다.
9개: 병진·회전 성분 외에 존재하지 않는 성분을 더한 값으로, 강체 운동의 자유도를 넘는다.
12개: 3차원 부재 하나의 양단 절점 변위를 합친 수(6×2)로, 한 절점의 성분 수가 아니다.
무한대: 연속체 내부의 변형장을 말할 때의 표현이며, 절점 하나의 독립 변위는 유한하다.

부재력이 0인 부재는 3개이다.
하중이 없는 우측 하단 절점에는 방향이 다른 두 부재(우측 연직재·우측 하현재)만 모이므로 둘 다 0부재이다.
하중이 없는 상현 중앙 절점에서는 두 상현재가 일직선이므로 나머지 하나인 중앙 연직재도 0이다. 좌측 상단 지점은 수평반력만 주므로 연직반력 20 kN은 좌측 하단 지점이 받고, 좌측 연직재가 이를 전달해 0이 아니다.
1개는 연쇄적으로 생기는 0부재를 빠뜨린 개수다.
2개는 우측 하단 절점의 두 부재만 센 것으로, 중앙 연직재를 놓쳤다.
4개는 지점 반력을 전달하는 좌측 연직재까지 0으로 본 개수다.

최대 정모멘트는 전단력이 0인 x = 3.2 m 단면에서 생긴다.
전 길이 16 m의 등분포하중 합력은 320 kN이고 A에서 8 m에 작용한다.
$\Sigma M_A=0:\ R_B\times10=320\times8\Rightarrow R_B=256\ \mathrm{kN},\quad R_A=64\ \mathrm{kN}$
AB 구간의 전단력이 0이 되는 위치를 구한다.
$V(x)=64-20x=0\Rightarrow x=3.2\ \mathrm{m}$
x = 2 m에서는 전단력이 64−40=24 kN으로 아직 양수다.
x = 4 m에서는 전단력이 64−80=−16 kN으로 이미 부호가 바뀌었다.
x = 5.2 m에서는 전단력이 64−104=−40 kN이다.

두 반력이 같으려면 집중하중 위치는 x = 2.5 m이어야 한다.
전체 하중은 80+20×2=120 kN이므로 각 반력은 60 kN이다. 등분포하중 합력 40 kN은 A에서 7 m에 작용한다.
$\Sigma M_A=0:\ 60\times8=80x+40\times7\Rightarrow 480=80x+280\Rightarrow x=2.5\ \mathrm{m}$
x = 1.0 m이면 R_B=(80+280)/8=45 kN으로 반력이 같지 않다.
x = 2.0 m이면 R_B=(160+280)/8=55 kN이다.
x = 3.0 m이면 R_B=(240+280)/8=65 kN이다.

두 기둥의 최소임계하중 비는 4:1이다.
양단 힌지 기둥의 오일러 좌굴하중은 단면2차모멘트에 비례하고 길이 제곱에 반비례한다.
$P_{cr}=\dfrac{\pi^2EI}{L^2},\quad I=\dfrac{b^4}{12}$
B는 한 변이 b/2이므로 단면2차모멘트가 1/16, 길이가 L/2이므로 길이 제곱이 1/4이다.
$\dfrac{P_{cr,A}}{P_{cr,B}}=\dfrac{I/L^2}{(I/16)/(L^2/4)}=4$
2:1은 변 길이 비만 반영한 값이다.
8:1은 단면2차모멘트 비 16과 길이 제곱 비 4를 올바르게 조합하면 나오지 않는 값이다.
16:1은 단면2차모멘트 비만 보고 길이 감소 효과를 빠뜨린 값이다.

D점 수평변위의 크기는 5.5 mm이다.
자유단 D부터 구간별 축력을 구한다(인장 +).
$N_{CD}=30,\quad N_{BC}=30-20=10,\quad N_{AB}=10-10=0\ \mathrm{kN}$
구간 신장량을 합한다(E=20 MPa=20,000 $kN/m^{2}$, A=1 $m^{2}).$
$\delta_D=\dfrac{30\times3+10\times2+0\times1}{20000\times1}=0.0055\ \mathrm{m}=5.5\ \mathrm{mm}$
4.0 mm는 구간별 축력과 구간 길이의 대응을 어긋나게 잡은 값으로, 정확한 합 30×3+10×2=110과 맞지 않는다.
5.0 mm도 축력·길이 대응을 잘못 짝지은 값으로, 합 110에서 나오는 5.5 mm보다 작다.
6.5 mm는 BC 구간 축력을 순축력 10 kN이 아니라 C점 하중 20 kN 그대로 써서 (90+40)/20000을 계산한 값이다.

옳은 형상은 기둥은 직선으로 기울고 보만 곡선으로 처지며 상단이 Δ만큼 수평이동한 것이다.
수평하중이 없으므로 좌측 힌지의 수평반력은 0이다. 따라서 기둥의 어느 단면에도 휨모멘트가 생기지 않아 기둥은 휘지 않고 직선을 유지한다.
보는 하중 P로 아래로 처지며 좌단이 시계방향으로 회전하고, 강절점은 직각을 유지하므로 기둥도 같은 각만큼 회전해 상단이 오른쪽으로 Δ만큼 이동한다(롤러도 같은 거리 이동).
수평이동 없이 기둥이 곡선으로 휜 형상은 기둥에 모멘트가 없다는 점과 강절점 회전을 모두 무시했다.
기둥이 곡선으로 휘면서 Δ만큼 이동한 형상은 휨모멘트가 0인 기둥을 곡선으로 그렸다.
기둥 하단부가 굽으며 Δ만큼 이동한 형상도 기둥이 휘지 않는다는 조건에 어긋난다.

d의 길이는 20 m이다.
BD는 B(부재 AB)와 D(핀)에 지지된 단순보처럼 거동하므로, D의 전단력은 D점 반력과 같다.
$\Sigma M_B=0:\ V_D(5+d)=100\times5\Rightarrow 20(5+d)=500\Rightarrow d=20\ \mathrm{m}$
d = 10 m이면 D 전단력이 500/15≒33.3 kN이다.
d = 30 m이면 D 전단력이 500/35≒14.3 kN이다.
d = 40 m이면 D 전단력이 500/45≒11.1 kN이다.

지점 A의 수직반력은 1 kN(하향)이다.
A에 대한 모멘트 평형을 세운다(반시계 +). D의 수평력 2 kN(좌향)은 A 위 2 m에서 작용해 반시계 모멘트 4 kN·m를 준다.
$\Sigma M_A=0:\ 4R_B-4\times6+2\times2=0\Rightarrow R_B=5\ \mathrm{kN}$
연직 평형에서 A 반력을 구한다.
$V_A=4-5=-1\ \mathrm{kN}$
음수이므로 아래 방향이다.
1 kN(↑)은 크기는 맞지만 방향 부호를 뒤집었다.
2 kN(↓)은 수평력의 모멘트를 빠뜨려 R_B=6 kN으로 계산한 값이다.
2 kN(↑)은 수평력 모멘트 누락과 방향 착오가 겹친 값이다.

푸아송비로 횡변형률을 구하면 직경 감소량은 0.04 mm이다.
축변형률: $\varepsilon = \dfrac{\Delta L}{L} = \dfrac{2}{2000} = 0.001$
횡변형률: $\varepsilon_d = \nu\,\varepsilon = 0.4 \times 0.001 = 0.0004$
직경 감소량: $\Delta d = \varepsilon_d\, d = 0.0004 \times 100 = 0.04\ \mathrm{mm}$
인장을 받으면 길이는 늘고 직경은 푸아송 효과로 줄어든다.
0.01 mm: 횡변형률을 실제의 4분의 1로 잡은 값으로 계산과 맞지 않는다.
0.02 mm: 반지름 감소량에 해당하는 값으로, 직경 기준 감소량의 절반이다.
0.03 mm: 위 계산의 어느 단계에서도 나오지 않는 값이다.

C점에 작용한 하중은 3.0 N이다.
강체이므로 처짐은 A로부터 거리에 비례한다.
$\Delta_B=0.03\times\dfrac{2}{6}=0.01\ \mathrm{m},\quad F_B=k_B\Delta_B=900\times0.01=9\ \mathrm{N}$
A점 모멘트 평형으로 P를 구한다.
$\Sigma M_A=0:\ P\times6=9\times2\Rightarrow P=3.0\ \mathrm{N}$
0.3 N은 스프링 힘 계산에서 자릿수를 한 단계 줄인 값이다.
0.9 N은 스프링 힘을 거리비로 줄이는 과정이 어긋난 값이다.
9.0 N은 스프링 힘 자체를 P로 본 값으로 팔길이 비를 빠뜨렸다.

허용 비틀림 모멘트는 π N·m이다.
원형단면 봉의 최대 전단응력은 표면에서 생긴다.
$\tau_{max}=\dfrac{16T}{\pi d^3}\Rightarrow T=\dfrac{\tau\pi d^3}{16}$
값을 대입한다(d=0.01 m, τ=16 MPa).
$T=\dfrac{16\times10^6\times\pi\times(0.01)^3}{16}=\pi\ \mathrm{N\cdot m}$
2π N·m는 분모 16 대신 8을 쓴 값이다.
4π N·m는 허용 전단응력을 초과하게 되는 과대값이다.
8π N·m는 표면 전단응력이 128 MPa에 이르는 과대값이다.

부재 a의 축응력은 4P/5A(인장)이다.
양단이 구속된 두 부재는 용접면에서 같은 변위를 가지므로, 하중은 축강성에 비례해 분담된다.
$k_a=\dfrac{E_aA}{L}=\dfrac{2E_bA}{L},\quad k_b=\dfrac{E_bA}{2L}$
a의 분담비를 구한다.
$P_a=P\times\dfrac{2}{2+0.5}=\dfrac{4P}{5},\quad \sigma_a=\dfrac{4P}{5A}$
P/A는 하중 전부를 a가 받는다고 본 값이다.
P/4A는 a의 분담을 지나치게 작게 잡은 값으로, a의 강성이 b의 4배라는 점과 맞지 않는다.
3P/4A는 강성비 4:1을 반영하면 나오지 않는 분담률이다.

하중점의 변위는 3P/2k이다.
강체를 대칭으로 지지하는 위쪽 두 스프링은 병렬이라 2k이고, 아래 스프링 k와는 직렬이다.
$\dfrac{1}{k_{eq}}=\dfrac{1}{2k}+\dfrac{1}{k}=\dfrac{3}{2k}$
$\delta=\dfrac{P}{k_{eq}}=\dfrac{3P}{2k}$
P/2k는 위쪽 병렬 스프링의 변위만 계산했다.
5P/2k는 아래 스프링 변위를 두 번 더한 값이다.
7P/2k는 세 스프링을 직렬처럼 모두 합한 것보다도 큰 값이다.

B점 처짐이 0이 되는 a는 20/3 m이다.
D의 상향 하중 P를 B로 옮기면 상향력 P와 크기 Pa의 모멘트(아래로 처지게 하는 방향)가 함께 작용한다.
캔틸레버 자유단 처짐을 같게 둔다.
$\dfrac{PL^3}{3EI}=\dfrac{(Pa)L^2}{2EI}\Rightarrow a=\dfrac{2L}{3}=\dfrac{20}{3}\ \mathrm{m}$
5/2 m는 L/4에 해당해 모멘트 효과가 부족하다.
5 m는 L/2로, 자유단 처짐 계수 1/3과 1/2의 비를 반영하지 않았다.
5/3 m는 L/6에 해당해 상향 처짐이 남는다.

지점 C의 반력은 48 kN이다.
C가 없을 때의 중앙 처짐을 구한다.
$\delta=\dfrac{5qL^4}{384EI}=\dfrac{5\times384\times1^4}{384\times1000}=0.005\ \mathrm{m}=5\ \mathrm{mm}$
간격이 4 mm이므로 C의 반력이 1 mm를 되밀어야 한다.
$\dfrac{R_CL^3}{48EI}=0.001\Rightarrow R_C=\dfrac{48\times1000\times0.001}{1^3}=48\ \mathrm{kN}$
24 kN은 되밀어야 할 변위를 절반으로 잡은 값이다.
72 kN은 되밀 변위를 1.5 mm로 잡은 경우의 값이다.
96 kN은 되밀 변위를 2 mm로 잡은 경우의 값이다.

C점의 수직처짐은 $PL^{3}/162EI$이다.
단위하중법을 쓰며, 강체 구간 BD는 휨변형이 없으므로 AB·DE 구간만 적분한다. 대칭이므로 AB 구간의 2배다.
$M=\dfrac{Px}{2},\quad m=\dfrac{x}{2}$
$\delta_C=2\int_0^{L/3}\dfrac{(Px/2)(x/2)}{EI}dx=\dfrac{P}{2EI}\cdot\dfrac{(L/3)^3}{3}=\dfrac{PL^3}{162EI}$
$PL^{3}/81EI$는 대칭 2배를 한 번 더 곱한 값이다.
$2PL^{3}/81EI$는 강체 구간을 고려하지 않은 값과도 맞지 않는 과대값이다.
$PL^{3}/54EI$는 적분 과정에서 1/3 계수를 빠뜨린 값이다.

C점 처짐이 0이 되는 하중비 P/Q는 4이다.
경간 중앙 하중 P는 B에서 처짐각을 만들어 내민 끝 C를 들어 올린다.
$\theta_B=\dfrac{PL^2}{16EI},\quad \delta_{C,P}=\theta_B\cdot\dfrac{L}{2}=\dfrac{PL^3}{32EI}\ (\uparrow)$
끝단 하중 Q에 의한 내민보 끝 처짐(내민 길이 a=L/2)은 다음과 같다.
$\delta_{C,Q}=\dfrac{Qa^2(L+a)}{3EI}=\dfrac{QL^3}{8EI}\ (\downarrow)$
두 처짐을 같게 두면 P/Q = 4이다.
하중비 1은 두 하중의 영향이 같다고 본 값이다.
하중비 2는 P에 의한 C점 상향 처짐을 2배로 잡아야 나오는 값이다.
하중비 8은 P에 의한 C점 상향 처짐을 절반으로 잡아야 나오는 값이다.