[9급 지방직 응용역학개론] 19년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

도심의 y좌표가 가장 작은 것은 삼각형 단면 (b)이다.
네 단면 모두 밑변이 x축 위에 놓여 있으므로 x축에서 도심까지의 거리만 비교하면 된다. 삼각형은 밑변에서 높이의 1/3 위치에 도심이 있다.
$\bar{y}_{b}=\dfrac{h}{3}\approx 0.33h$
정사각형 (a)는 높이의 절반인 $\dfrac{h}{2}$에 도심이 있다.
원 (c)는 지름이 h이므로 중심 높이 $\dfrac{h}{2}$가 도심이다.
반원 (d)는 반지름이 h이므로 $\dfrac{4h}{3\pi}\approx 0.42h$로 삼각형보다 높다.

부재 AB의 축력은 16 kN (압축)이다.
케이블 BD는 수평 4 m, 연직 3 m이므로 길이 비가 3:4:5이다. 힌지 A에 대한 모멘트 평형으로 케이블 장력의 연직성분을 구한다.
$\sum M_A=0:\ T_y\times 4=6\times 8,\quad T_y=12\ \mathrm{kN}$
장력의 수평성분은 벽 쪽(D 방향)으로 보를 당긴다.
$T=12\times\dfrac{5}{3}=20\ \mathrm{kN},\quad T_x=20\times\dfrac{4}{5}=16\ \mathrm{kN}$
이 수평력이 보 AB를 벽 쪽으로 밀어 넣으므로 AB는 압축을 받는다.
12 kN은 케이블 장력의 연직성분이지 보의 축력이 아니다.
케이블이 B점을 벽 쪽으로 당기므로 AB가 인장이 될 수 없다.

반력의 비는 3/13이다.
힌지 C에서 끊으면 AC와 CB는 각각 캔틸레버가 되고, 힌지에서 주고받는 전단력 V로 연결된다. 두 캔틸레버의 C점 처짐이 같아야 한다(처짐 적합조건).
$\dfrac{VL^3}{3EI}=\dfrac{wL^4}{8EI}-\dfrac{VL^3}{3EI}$
정리하면
$\dfrac{2VL^3}{3}=\dfrac{wL^4}{8},\quad V=\dfrac{3wL}{16}$
$R_A=V=\dfrac{3wL}{16},\quad R_B=wL-\dfrac{3wL}{16}=\dfrac{13wL}{16}$
3/16은 $R_A$를 $R_B$가 아닌 전체 하중 wL로 나눈 값이다.
3/14, 3/15는 처짐 적합조건에서 나오는 $R_B=\dfrac{13wL}{16}$와 맞지 않는다.

지점 A의 수직반력은 12.5 kN이다.
사다리꼴 하중을 등분포 2 kN/m와 0→4 kN/m의 삼각형 하중으로 나눈다. 경사 집중하중은 45°이므로 연직성분이 $5\sqrt{2}\sin 45^\circ=5\ \mathrm{kN}$이다.
$W_1=2\times 6=12\ \mathrm{kN}\ (x=3\ \mathrm{m}),\quad W_2=\dfrac{1}{2}\times 4\times 6=12\ \mathrm{kN}\ (x=4\ \mathrm{m})$
B점에 대한 모멘트 평형을 세운다.
$R_A\times 6=12\times 3+12\times 2+5\times 3=75$
$R_A=12.5\ \mathrm{kN}$
연직하중 합계는 29 kN이므로 $R_B=16.5\ \mathrm{kN}$이 되어 연직 평형도 성립한다.
10.0 kN이면 B점 모멘트가 60 kN·m에 그쳐 하중 모멘트 75 kN·m와 평형을 이루지 못한다.
15.0 kN, 17.5 kN이면 반대로 90 kN·m 이상이 되어 평형을 넘어선다.

지점 B의 반력은 60 kN이다.
B를 제거하면 길이 8 m의 양단고정보가 되고, B는 그 중앙이다. 전 구간 등분포하중일 때 중앙처짐은 $\dfrac{wL^4}{384EI}$이며, 대칭성에 의해 왼쪽 절반 하중만으로는 그 절반이 생긴다.
$\delta_w=\dfrac{wL^4}{768EI}$
중앙 집중하중 $R_B$에 의한 처짐 $\dfrac{R_BL^3}{192EI}$와 같게 놓는다.
$\dfrac{R_BL^3}{192EI}=\dfrac{wL^4}{768EI},\quad R_B=\dfrac{wL}{4}=\dfrac{30\times 8}{4}=60\ \mathrm{kN}$
55 kN, 65 kN, 70 kN은 $R_B=\dfrac{wL}{4}$를 만족하지 않아 B점 처짐이 0이 되지 않는다.

부재 BC의 부재력은 7 kN (인장)이다.
A를 원점으로 반력을 구한다.
$\sum M_A=0:\ 10R_D=20\times 2+30\times 8+10\times 4,\quad R_D=32\ \mathrm{kN}$
$A_y=50-32=18\ \mathrm{kN},\quad A_x=10\ \mathrm{kN}\ (\leftarrow)$
GF, BF, BC를 자르는 단면에서 왼쪽 부분을 취하고, 두 부재가 만나는 F점에 대한 모멘트를 잡는다(F는 A에서 수평 5 m, 높이 10 m). BC를 인장 T로 가정한다.
$-18\times 5-10\times 10+10\times 6+20\times 3+10T=0$
$T=7\ \mathrm{kN}\ (+)$
T가 양수이므로 가정한 인장이 맞고, 압축으로 보는 것은 틀리다.
5 kN은 F점 모멘트 평형식을 만족하지 않는다.

x/M 비는 1/16이다.
하중 합력 40 kN이 A에서 1 m에 작용하므로
$R_A\times 5=40\times 4,\quad R_A=32\ \mathrm{kN}$
최대휨모멘트는 전단력이 0인 곳에서 생긴다.
$32-20x=0,\quad x=1.6\ \mathrm{m}$
$M=32\times 1.6-\dfrac{20\times 1.6^2}{2}=25.6\ \mathrm{kN\cdot m}$
$\dfrac{x}{M}=\dfrac{1.6}{25.6}=\dfrac{1}{16}$
16은 비를 거꾸로 M/x로 계산한 값이다.
1/8, 8은 x = 1.6 m, M = 25.6 kN·m의 조합에서 나올 수 없다. 하중 구간 끝(2 m)의 모멘트는 24 kN·m로 최대가 아니다.

구하는 거리 x는 6 m이다.
삼각형 하중의 합력은 $\dfrac{1}{2}\times 4\times 3=6\ \mathrm{kN}$이고, 삼각형의 큰 쪽에서 1/3 지점, 즉 A에서 $x+2$에 작용한다. 전체 하중 12 kN을 반력비 1 : 2로 나누면 $R_A=4,\ R_B=8\ \mathrm{kN}$이다.
A점에 대한 모멘트 평형을 세운다.
$8(x+9)=6(x+2)+6(x+6)$
$8x+72=12x+48,\quad x=6\ \mathrm{m}$
x가 6 m보다 작으면 하중이 A 쪽으로 가까워져 $R_B$가 8 kN보다 작아지므로(예: x = 3 m이면 7 kN) 반력 관계가 성립하지 않는다.

최대 등분포하중은 3.84 kN/m이다.
단순보 최대휨모멘트와 직사각형 단면계수는
$M_{max}=\dfrac{wL^2}{8}=12.5w,\quad Z=\dfrac{bh^2}{6}=\dfrac{300\times 400^2}{6}=8\times 10^6\ \mathrm{mm^3}$
허용 휨응력 × 단면계수가 저항모멘트이다.
$M_a=6\times 8\times 10^6=48\times 10^6\ \mathrm{N\cdot mm}=48\ \mathrm{kN\cdot m}$
$w=\dfrac{48}{12.5}=3.84\ \mathrm{kN/m}$
4.84, 5.84, 6.84 kN/m는 허용응력을 초과하므로 최대 하중이 될 수 없다.

길이 a는 d/4이다.
힌지 C에서 CD 구간은 단순보처럼 거동하므로 C에 전달되는 힘과 CD 구간 최대모멘트는
$V_C=\dfrac{wd}{2},\quad M_{CD,max}=\dfrac{wd^2}{8}$
내민 부분 BC에는 C점의 하중 $V_C$만 작용하므로 B점 모멘트는
$M_B=\dfrac{wd}{2}\times a$
$\dfrac{wd}{2}a=\dfrac{wd^2}{8},\quad a=\dfrac{d}{4}$
d/6, d/5이면 B점 모멘트가 CD 구간 최대모멘트보다 작다.
d/3이면 B점 모멘트가 CD 구간 최대모멘트보다 크다.

도심 거리 y는 7D/12이다.
지름 D인 큰 원에서 지름 D/2인 작은 원을 뺀 단면이다. 두 원 모두 x축에 접한다.
$A=\dfrac{\pi D^2}{4}-\dfrac{\pi D^2}{16}=\dfrac{3\pi D^2}{16}$
단면1차모멘트를 빼서 도심을 구한다.
$G_x=\dfrac{\pi D^2}{4}\times\dfrac{D}{2}-\dfrac{\pi D^2}{16}\times\dfrac{D}{4}=\dfrac{7\pi D^3}{64}$
$y=\dfrac{7\pi D^3/64}{3\pi D^2/16}=\dfrac{7D}{12}$
6D/12(=D/2)는 큰 원만의 도심으로, 아래쪽 구멍을 뺀 효과를 무시한 값이다.
5D/12는 구멍이 아래쪽에 있어 도심이 D/2보다 위로 올라간다는 점과 맞지 않는다.
8D/12는 단면1차모멘트 계산값 7D/12보다 커서 맞지 않는다.

A점 변위는 B점 변위의 3.0배이다.
두 구간 모두 축력이 P이므로 각 구간 신축량은 길이/축강성에 비례한다. B점 변위는 BC 구간 변형량이다.
$\delta_B=\dfrac{P(L/2)}{2EA}=\dfrac{PL}{4EA}$
A점 변위는 두 구간 변형량의 합이다.
$\delta_A=\dfrac{PL}{4EA}+\dfrac{P(L/2)}{EA}=\dfrac{3PL}{4EA}$
$\dfrac{\delta_A}{\delta_B}=3$
2.0배는 AB 구간 변형량만 B점 변위와 비교한 값이다.
1.5배, 2.5배는 두 구간 변형량 비(AB가 BC의 2배)와 맞지 않는다.

단면2차모멘트는 219×10$^4$ mm$^4$이다.
삼각형 도심은 밑변에서 높이의 1/3이므로 x축으로부터 $50+10=60\ \mathrm{mm}$에 있다.
$I_G=\dfrac{bh^3}{36}=\dfrac{40\times 30^3}{36}=3\times 10^4\ \mathrm{mm^4},\quad A=\dfrac{40\times 30}{2}=600\ \mathrm{mm^2}$
평행축 정리를 적용한다.
$I_x=3\times 10^4+600\times 60^2=219\times 10^4\ \mathrm{mm^4}$
155×10$^4$은 도심 거리를 밑변 위치(50 mm)로 잡은 값(약 153×10$^4$)에 가깝다.
345×10$^4$, 526×10$^4$은 도심 거리를 60 mm보다 크게 잡아야 나오는 값이다.

최대 처짐을 일으키는 하중은 집중하중 P이고, 세 하중 동시 작용 시 처짐은 10/3 mm이다.
L = 2000 mm, EI = 2×10$^{10}$ kN·mm$^2$로 단위를 맞춘다.
$\delta_P=\dfrac{PL^3}{3EI}=\dfrac{10\times 2000^3}{3\times 2\times 10^{10}}=\dfrac{4}{3}\ \mathrm{mm}$
$\delta_w=\dfrac{wL^4}{8EI}=\dfrac{0.01\times 2000^4}{8\times 2\times 10^{10}}=1\ \mathrm{mm}$
$\delta_M=\dfrac{ML^2}{2EI}=\dfrac{10^4\times 2000^2}{2\times 2\times 10^{10}}=1\ \mathrm{mm}$
세 하중 모두 자유단을 아래로 처지게 하므로 중첩하면
$\delta=\dfrac{4}{3}+1+1=\dfrac{10}{3}\ \mathrm{mm}$
등분포하중과 모멘트하중은 각각 1 mm로 집중하중보다 작다.
1 mm는 개별 하중 하나의 처짐일 뿐 세 하중의 합이 아니다.

O점의 처짐은 16.5 mm이다.
하중이 A에서 5 m(b = 5 m), O점이 A에서 x = 3 m에 있으므로 단순보 집중하중의 처짐식($x\le a$)을 쓴다.
$\delta=\dfrac{Pbx\left(L^2-b^2-x^2\right)}{6LEI}=\dfrac{2\times 5\times 3\times(100-25-9)}{6\times 10\times EI}=\dfrac{33}{EI}$
단위 환산: $EI=2\times 10^{12}\ \mathrm{N\cdot mm^2}=2000\ \mathrm{kN\cdot m^2}$
$\delta=\dfrac{33}{2000}=0.0165\ \mathrm{m}=16.5\ \mathrm{mm}$
14.5 mm와 15.5 mm는 처짐식의 괄호 값 $100-25-9=66$에서 나오는 33/EI와 맞지 않는다.
17.5 mm도 같은 식의 결과 16.5 mm와 다르며, O점 처짐은 하중점(중앙) 처짐 $\dfrac{PL^3}{48EI}\approx 20.8\ \mathrm{mm}$보다 작은 값이다.

옳지 않은 설명은 D$_1$이 16 kN의 압축을 받는다는 것이다. 실제로는 25 kN 압축이다.
대칭이므로 $R_A=R_B=60\ \mathrm{kN}$이다. 왼쪽 위 절점에는 수직재 V$_1$과 수평 상현재만 연결되므로 연직 평형에서 $V_1=40\ \mathrm{kN}$(압축)이다.
절점 A에서 대각재의 경사는 3:4:5이다.
$\sum F_y=0:\ 60-40-\dfrac{4}{5}D_1=0,\quad D_1=25\ \mathrm{kN}$
A를 밀어 내리는 방향이므로 압축이다.
하부재 L$_1$는 $D_1\times\dfrac{3}{5}=15\ \mathrm{kN}$ 인장으로 옳다.
수직재 V$_1$는 40 kN 압축으로 옳다.
절점 6, 부재 9, 반력 3으로 $m+r=2j=12$이고 삼각형 구성이 갖춰져 내적·외적 안정 정정으로 옳다.

중립축 거리 C는 50 mm이다.
탄성계수비 $n=\dfrac{E_2}{E_1}=4$로 하부 재료를 폭 $80\times 4=320\ \mathrm{mm}$로 환산단면한다.
$A_1=80\times 100=8000\ \mathrm{mm^2}\ (y=100),\quad A_2=320\times 50=16000\ \mathrm{mm^2}\ (y=25)$
하단 기준 도심을 구한다.
$C=\dfrac{8000\times 100+16000\times 25}{24000}=50\ \mathrm{mm}$
60, 70, 80 mm는 환산단면의 도심 계산 결과 50 mm와 다르다.
강성이 큰 하부 재료가 4배 폭으로 환산되므로 중립축은 하부 재료 윗면(50 mm)까지 내려온다.

변위의 비는 1 : 4 : 18이다.
아래에서부터 자유물체도로 각 구간 축력을 구한다(위쪽 1P는 D$_2$와 D$_3$ 경계에 작용).
$N_3=3P,\quad N_2=N_1=3P-P=2P$
각 구간 신장량 $\delta=\dfrac{NL}{EA}$를 계산한다.
$\delta_1=\dfrac{2P\cdot L}{EA},\quad \delta_2=\dfrac{2P\cdot 2L}{E(A/2)}=\dfrac{8PL}{EA},\quad \delta_3=\dfrac{3P\cdot 3L}{E(A/4)}=\dfrac{36PL}{EA}$
2 : 8 : 36 = 1 : 4 : 18
1:2:18은 D$_2$ 구간의 단면적 감소를 빠뜨린 값이다.
1:2:24, 1:4:24는 D$_3$ 구간 축력이나 단면적을 잘못 넣은 값이다.

최소 임계하중은 8,750 kN이다.
양단고정이므로 유효길이계수 K = 0.5, $KL=2000\ \mathrm{mm}$이다. 좌굴은 약축에 대해 일어난다.
$I_{min}=\dfrac{200\times 100^3}{12}=\dfrac{5}{3}\times 10^7\ \mathrm{mm^4}$
오일러 공식에 대입한다.
$P_{cr}=\dfrac{\pi^2EI}{(KL)^2}=\dfrac{10\times 210000\times\frac{5}{3}\times 10^7}{2000^2}=8.75\times 10^6\ \mathrm{N}=8750\ \mathrm{kN}$
9,000 kN, 9,250 kN, 9,750 kN은 유효길이나 약축 단면2차모멘트를 다르게 적용한 값으로, 약축 기준 최솟값보다 크다.

A점의 수직처짐은 $\dfrac{3PL^3}{16EI}$이다.
A에서 거리 x인 단면의 모멘트는 $M=Px$이고, B 쪽 절반은 단면2차모멘트가 2I이다. 모멘트면적법(A점에 대한 M/EI 선도의 1차모멘트)으로 계산한다.
$\delta_A=\int_0^{L/2}\dfrac{Px^2}{EI}dx+\int_{L/2}^{L}\dfrac{Px^2}{2EI}dx$
각 적분을 계산한다.
$=\dfrac{PL^3}{24EI}+\dfrac{7PL^3}{48EI}=\dfrac{9PL^3}{48EI}=\dfrac{3PL^3}{16EI}$
답은 전 구간 I일 때 $\dfrac{PL^3}{3EI}$와 전 구간 2I일 때 $\dfrac{PL^3}{6EI}$ 사이에 있어야 한다.
$\dfrac{PL^3}{16EI}$, $\dfrac{PL^3}{32EI}$, $\dfrac{3PL^3}{32EI}$는 모두 $\dfrac{PL^3}{6EI}$보다 작아 범위를 벗어난다.