19년 1회차

도심의 y좌표가 가장 작은 것은 삼각형 단면 (b)이다.

네 단면 모두 밑변이 x축 위에 놓여 있으므로 x축에서 도심까지의 거리만 비교하면 된다. 삼각형은 밑변에서 높이의 1/3 위치에 도심이 있다.
$\bar{y}_{b}=\dfrac{h}{3}\approx 0.33h$

• 정사각형 (a)는 높이의 절반인 $\dfrac{h}{2}$에 도심이 있다.
• 원 (c)는 지름이 h이므로 중심 높이 $\dfrac{h}{2}$가 도심이다.
• 반원 (d)는 반지름이 h이므로 $\dfrac{4h}{3\pi}\approx 0.42h$로 삼각형보다 높다.

부재 AB의 축력은 16 kN (압축)이다.

케이블 BD는 수평 4 m, 연직 3 m이므로 길이 비가 3:4:5이다. 힌지 A에 대한 모멘트 평형으로 케이블 장력의 연직성분을 구한다.
$\sum M_A=0:\ T_y\times 4=6\times 8,\quad T_y=12\ \mathrm{kN}$

장력의 수평성분은 벽 쪽(D 방향)으로 보를 당긴다.
$T=12\times\dfrac{5}{3}=20\ \mathrm{kN},\quad T_x=20\times\dfrac{4}{5}=16\ \mathrm{kN}$
이 수평력이 보 AB를 벽 쪽으로 밀어 넣으므로 AB는 압축을 받는다.

• 12 kN은 케이블 장력의 연직성분이지 보의 축력이 아니다.
• 케이블이 B점을 벽 쪽으로 당기므로 AB가 인장이 될 수 없다.

반력의 비는 3/13이다.

힌지 C에서 끊으면 AC와 CB는 각각 캔틸레버가 되고, 힌지에서 주고받는 전단력 V로 연결된다. 두 캔틸레버의 C점 처짐이 같아야 한다(처짐 적합조건).
$\dfrac{VL^3}{3EI}=\dfrac{wL^4}{8EI}-\dfrac{VL^3}{3EI}$

정리하면
$\dfrac{2VL^3}{3}=\dfrac{wL^4}{8},\quad V=\dfrac{3wL}{16}$
$R_A=V=\dfrac{3wL}{16},\quad R_B=wL-\dfrac{3wL}{16}=\dfrac{13wL}{16}$

• 3/16은 $R_A$를 $R_B$가 아닌 전체 하중 wL로 나눈 값이다.
• 3/14, 3/15는 처짐 적합조건에서 나오는 $R_B=\dfrac{13wL}{16}$와 맞지 않는다.

지점 A의 수직반력은 12.5 kN이다.

사다리꼴 하중을 등분포 2 kN/m와 0→4 kN/m의 삼각형 하중으로 나눈다. 경사 집중하중은 45°이므로 연직성분이 $5\sqrt{2}\sin 45^\circ=5\ \mathrm{kN}$이다.
$W_1=2\times 6=12\ \mathrm{kN}\ (x=3\ \mathrm{m}),\quad W_2=\dfrac{1}{2}\times 4\times 6=12\ \mathrm{kN}\ (x=4\ \mathrm{m})$

B점에 대한 모멘트 평형을 세운다.
$R_A\times 6=12\times 3+12\times 2+5\times 3=75$
$R_A=12.5\ \mathrm{kN}$

• 연직하중 합계는 29 kN이므로 $R_B=16.5\ \mathrm{kN}$이 되어 연직 평형도 성립한다.
• 10.0 kN이면 B점 모멘트가 60 kN·m에 그쳐 하중 모멘트 75 kN·m와 평형을 이루지 못한다.
• 15.0 kN, 17.5 kN이면 반대로 90 kN·m 이상이 되어 평형을 넘어선다.

지점 B의 반력은 60 kN이다.

B를 제거하면 길이 8 m의 양단고정보가 되고, B는 그 중앙이다. 전 구간 등분포하중일 때 중앙처짐은 $\dfrac{wL^4}{384EI}$이며, 대칭성에 의해 왼쪽 절반 하중만으로는 그 절반이 생긴다.
$\delta_w=\dfrac{wL^4}{768EI}$

중앙 집중하중 $R_B$에 의한 처짐 $\dfrac{R_BL^3}{192EI}$와 같게 놓는다.
$\dfrac{R_BL^3}{192EI}=\dfrac{wL^4}{768EI},\quad R_B=\dfrac{wL}{4}=\dfrac{30\times 8}{4}=60\ \mathrm{kN}$

• 55 kN, 65 kN, 70 kN은 $R_B=\dfrac{wL}{4}$를 만족하지 않아 B점 처짐이 0이 되지 않는다.

부재 BC의 부재력은 7 kN (인장)이다.

A를 원점으로 반력을 구한다.
$\sum M_A=0:\ 10R_D=20\times 2+30\times 8+10\times 4,\quad R_D=32\ \mathrm{kN}$
$A_y=50-32=18\ \mathrm{kN},\quad A_x=10\ \mathrm{kN}\ (\leftarrow)$

GF, BF, BC를 자르는 단면에서 왼쪽 부분을 취하고, 두 부재가 만나는 F점에 대한 모멘트를 잡는다(F는 A에서 수평 5 m, 높이 10 m). BC를 인장 T로 가정한다.
$-18\times 5-10\times 10+10\times 6+20\times 3+10T=0$
$T=7\ \mathrm{kN}\ (+)$

• T가 양수이므로 가정한 인장이 맞고, 압축으로 보는 것은 틀리다.
• 5 kN은 F점 모멘트 평형식을 만족하지 않는다.

x/M 비는 1/16이다.

하중 합력 40 kN이 A에서 1 m에 작용하므로
$R_A\times 5=40\times 4,\quad R_A=32\ \mathrm{kN}$

최대휨모멘트는 전단력이 0인 곳에서 생긴다.
$32-20x=0,\quad x=1.6\ \mathrm{m}$
$M=32\times 1.6-\dfrac{20\times 1.6^2}{2}=25.6\ \mathrm{kN\cdot m}$
$\dfrac{x}{M}=\dfrac{1.6}{25.6}=\dfrac{1}{16}$

• 16은 비를 거꾸로 M/x로 계산한 값이다.
• 1/8, 8은 x = 1.6 m, M = 25.6 kN·m의 조합에서 나올 수 없다. 하중 구간 끝(2 m)의 모멘트는 24 kN·m로 최대가 아니다.

구하는 거리 x는 6 m이다.

삼각형 하중의 합력은 $\dfrac{1}{2}\times 4\times 3=6\ \mathrm{kN}$이고, 삼각형의 큰 쪽에서 1/3 지점, 즉 A에서 $x+2$에 작용한다. 전체 하중 12 kN을 반력비 1 : 2로 나누면 $R_A=4,\ R_B=8\ \mathrm{kN}$이다.

A점에 대한 모멘트 평형을 세운다.
$8(x+9)=6(x+2)+6(x+6)$
$8x+72=12x+48,\quad x=6\ \mathrm{m}$

• x가 6 m보다 작으면 하중이 A 쪽으로 가까워져 $R_B$가 8 kN보다 작아지므로(예: x = 3 m이면 7 kN) 반력 관계가 성립하지 않는다.

최대 등분포하중은 3.84 kN/m이다.

단순보 최대휨모멘트와 직사각형 단면계수는
$M_{max}=\dfrac{wL^2}{8}=12.5w,\quad Z=\dfrac{bh^2}{6}=\dfrac{300\times 400^2}{6}=8\times 10^6\ \mathrm{mm^3}$

허용 휨응력 × 단면계수가 저항모멘트이다.
$M_a=6\times 8\times 10^6=48\times 10^6\ \mathrm{N\cdot mm}=48\ \mathrm{kN\cdot m}$
$w=\dfrac{48}{12.5}=3.84\ \mathrm{kN/m}$

• 4.84, 5.84, 6.84 kN/m는 허용응력을 초과하므로 최대 하중이 될 수 없다.

길이 a는 d/4이다.

힌지 C에서 CD 구간은 단순보처럼 거동하므로 C에 전달되는 힘과 CD 구간 최대모멘트는
$V_C=\dfrac{wd}{2},\quad M_{CD,max}=\dfrac{wd^2}{8}$

내민 부분 BC에는 C점의 하중 $V_C$만 작용하므로 B점 모멘트는
$M_B=\dfrac{wd}{2}\times a$
$\dfrac{wd}{2}a=\dfrac{wd^2}{8},\quad a=\dfrac{d}{4}$

• d/6, d/5이면 B점 모멘트가 CD 구간 최대모멘트보다 작다.
• d/3이면 B점 모멘트가 CD 구간 최대모멘트보다 크다.

도심 거리 y는 7D/12이다.

지름 D인 큰 원에서 지름 D/2인 작은 원을 뺀 단면이다. 두 원 모두 x축에 접한다.
$A=\dfrac{\pi D^2}{4}-\dfrac{\pi D^2}{16}=\dfrac{3\pi D^2}{16}$

단면1차모멘트를 빼서 도심을 구한다.
$G_x=\dfrac{\pi D^2}{4}\times\dfrac{D}{2}-\dfrac{\pi D^2}{16}\times\dfrac{D}{4}=\dfrac{7\pi D^3}{64}$
$y=\dfrac{7\pi D^3/64}{3\pi D^2/16}=\dfrac{7D}{12}$

• 6D/12(=D/2)는 큰 원만의 도심으로, 아래쪽 구멍을 뺀 효과를 무시한 값이다.
• 5D/12는 구멍이 아래쪽에 있어 도심이 D/2보다 위로 올라간다는 점과 맞지 않는다.
• 8D/12는 단면1차모멘트 계산값 7D/12보다 커서 맞지 않는다.

A점 변위는 B점 변위의 3.0배이다.

두 구간 모두 축력이 P이므로 각 구간 신축량은 길이/축강성에 비례한다. B점 변위는 BC 구간 변형량이다.
$\delta_B=\dfrac{P(L/2)}{2EA}=\dfrac{PL}{4EA}$

A점 변위는 두 구간 변형량의 합이다.
$\delta_A=\dfrac{PL}{4EA}+\dfrac{P(L/2)}{EA}=\dfrac{3PL}{4EA}$
$\dfrac{\delta_A}{\delta_B}=3$

• 2.0배는 AB 구간 변형량만 B점 변위와 비교한 값이다.
• 1.5배, 2.5배는 두 구간 변형량 비(AB가 BC의 2배)와 맞지 않는다.

단면2차모멘트는 219×10$^4$ mm$^4$이다.

삼각형 도심은 밑변에서 높이의 1/3이므로 x축으로부터 $50+10=60\ \mathrm{mm}$에 있다.
$I_G=\dfrac{bh^3}{36}=\dfrac{40\times 30^3}{36}=3\times 10^4\ \mathrm{mm^4},\quad A=\dfrac{40\times 30}{2}=600\ \mathrm{mm^2}$

평행축 정리를 적용한다.
$I_x=3\times 10^4+600\times 60^2=219\times 10^4\ \mathrm{mm^4}$

• 155×10$^4$은 도심 거리를 밑변 위치(50 mm)로 잡은 값(약 153×10$^4$)에 가깝다.
• 345×10$^4$, 526×10$^4$은 도심 거리를 60 mm보다 크게 잡아야 나오는 값이다.

최대 처짐을 일으키는 하중은 집중하중 P이고, 세 하중 동시 작용 시 처짐은 10/3 mm이다.

L = 2000 mm, EI = 2×10$^{10}$ kN·mm$^2$로 단위를 맞춘다.
$\delta_P=\dfrac{PL^3}{3EI}=\dfrac{10\times 2000^3}{3\times 2\times 10^{10}}=\dfrac{4}{3}\ \mathrm{mm}$
$\delta_w=\dfrac{wL^4}{8EI}=\dfrac{0.01\times 2000^4}{8\times 2\times 10^{10}}=1\ \mathrm{mm}$
$\delta_M=\dfrac{ML^2}{2EI}=\dfrac{10^4\times 2000^2}{2\times 2\times 10^{10}}=1\ \mathrm{mm}$

세 하중 모두 자유단을 아래로 처지게 하므로 중첩하면
$\delta=\dfrac{4}{3}+1+1=\dfrac{10}{3}\ \mathrm{mm}$

• 등분포하중과 모멘트하중은 각각 1 mm로 집중하중보다 작다.
• 1 mm는 개별 하중 하나의 처짐일 뿐 세 하중의 합이 아니다.

O점의 처짐은 16.5 mm이다.

하중이 A에서 5 m(b = 5 m), O점이 A에서 x = 3 m에 있으므로 단순보 집중하중의 처짐식($x\le a$)을 쓴다.
$\delta=\dfrac{Pbx\left(L^2-b^2-x^2\right)}{6LEI}=\dfrac{2\times 5\times 3\times(100-25-9)}{6\times 10\times EI}=\dfrac{33}{EI}$

단위 환산: $EI=2\times 10^{12}\ \mathrm{N\cdot mm^2}=2000\ \mathrm{kN\cdot m^2}$
$\delta=\dfrac{33}{2000}=0.0165\ \mathrm{m}=16.5\ \mathrm{mm}$

• 14.5 mm와 15.5 mm는 처짐식의 괄호 값 $100-25-9=66$에서 나오는 33/EI와 맞지 않는다.
• 17.5 mm도 같은 식의 결과 16.5 mm와 다르며, O점 처짐은 하중점(중앙) 처짐 $\dfrac{PL^3}{48EI}\approx 20.8\ \mathrm{mm}$보다 작은 값이다.

옳지 않은 설명은 D$_1$이 16 kN의 압축을 받는다는 것이다. 실제로는 25 kN 압축이다.

대칭이므로 $R_A=R_B=60\ \mathrm{kN}$이다. 왼쪽 위 절점에는 수직재 V$_1$과 수평 상현재만 연결되므로 연직 평형에서 $V_1=40\ \mathrm{kN}$(압축)이다.

절점 A에서 대각재의 경사는 3:4:5이다.
$\sum F_y=0:\ 60-40-\dfrac{4}{5}D_1=0,\quad D_1=25\ \mathrm{kN}$
A를 밀어 내리는 방향이므로 압축이다.

• 하부재 L$_1$는 $D_1\times\dfrac{3}{5}=15\ \mathrm{kN}$ 인장으로 옳다.
• 수직재 V$_1$는 40 kN 압축으로 옳다.
• 절점 6, 부재 9, 반력 3으로 $m+r=2j=12$이고 삼각형 구성이 갖춰져 내적·외적 안정 정정으로 옳다.

중립축 거리 C는 50 mm이다.

탄성계수비 $n=\dfrac{E_2}{E_1}=4$로 하부 재료를 폭 $80\times 4=320\ \mathrm{mm}$로 환산단면한다.
$A_1=80\times 100=8000\ \mathrm{mm^2}\ (y=100),\quad A_2=320\times 50=16000\ \mathrm{mm^2}\ (y=25)$

하단 기준 도심을 구한다.
$C=\dfrac{8000\times 100+16000\times 25}{24000}=50\ \mathrm{mm}$

• 60, 70, 80 mm는 환산단면의 도심 계산 결과 50 mm와 다르다.
• 강성이 큰 하부 재료가 4배 폭으로 환산되므로 중립축은 하부 재료 윗면(50 mm)까지 내려온다.

변위의 비는 1 : 4 : 18이다.

아래에서부터 자유물체도로 각 구간 축력을 구한다(위쪽 1P는 D$_2$와 D$_3$ 경계에 작용).
$N_3=3P,\quad N_2=N_1=3P-P=2P$

각 구간 신장량 $\delta=\dfrac{NL}{EA}$를 계산한다.
$\delta_1=\dfrac{2P\cdot L}{EA},\quad \delta_2=\dfrac{2P\cdot 2L}{E(A/2)}=\dfrac{8PL}{EA},\quad \delta_3=\dfrac{3P\cdot 3L}{E(A/4)}=\dfrac{36PL}{EA}$
2 : 8 : 36 = 1 : 4 : 18

• 1:2:18은 D$_2$ 구간의 단면적 감소를 빠뜨린 값이다.
• 1:2:24, 1:4:24는 D$_3$ 구간 축력이나 단면적을 잘못 넣은 값이다.

최소 임계하중은 8,750 kN이다.

양단고정이므로 유효길이계수 K = 0.5, $KL=2000\ \mathrm{mm}$이다. 좌굴은 약축에 대해 일어난다.
$I_{min}=\dfrac{200\times 100^3}{12}=\dfrac{5}{3}\times 10^7\ \mathrm{mm^4}$

오일러 공식에 대입한다.
$P_{cr}=\dfrac{\pi^2EI}{(KL)^2}=\dfrac{10\times 210000\times\frac{5}{3}\times 10^7}{2000^2}=8.75\times 10^6\ \mathrm{N}=8750\ \mathrm{kN}$

• 9,000 kN, 9,250 kN, 9,750 kN은 유효길이나 약축 단면2차모멘트를 다르게 적용한 값으로, 약축 기준 최솟값보다 크다.

A점의 수직처짐은 $\dfrac{3PL^3}{16EI}$이다.

A에서 거리 x인 단면의 모멘트는 $M=Px$이고, B 쪽 절반은 단면2차모멘트가 2I이다. 모멘트면적법(A점에 대한 M/EI 선도의 1차모멘트)으로 계산한다.
$\delta_A=\int_0^{L/2}\dfrac{Px^2}{EI}dx+\int_{L/2}^{L}\dfrac{Px^2}{2EI}dx$

각 적분을 계산한다.
$=\dfrac{PL^3}{24EI}+\dfrac{7PL^3}{48EI}=\dfrac{9PL^3}{48EI}=\dfrac{3PL^3}{16EI}$

• 답은 전 구간 I일 때 $\dfrac{PL^3}{3EI}$와 전 구간 2I일 때 $\dfrac{PL^3}{6EI}$ 사이에 있어야 한다.
• $\dfrac{PL^3}{16EI}$, $\dfrac{PL^3}{32EI}$, $\dfrac{3PL^3}{32EI}$는 모두 $\dfrac{PL^3}{6EI}$보다 작아 범위를 벗어난다.