[철도신호기사 필기] 12년 2회차 기출문제 정답·해설 페이지

이미터 접지(공통이미터) 증폭기는 입력전압과 출력전압이 180도의 위상차를 갖는, 즉 위상이 반전되는 증폭기이다.
입력신호가 커지면 컬렉터전류가 증가해 컬렉터-이미터 사이 전압강하가 커지므로 출력전압(컬렉터 전위)은 오히려 낮아지는 관계이기 때문이다.

부궤환(음성 되먹임) 증폭기는 출력의 일부를 역위상으로 입력에 되돌림으로써 주파수 특성 개선, 비선형 일그러짐 감소, 잡음 감소, 동작 안정도 향상이라는 효과를 얻는다.
즉 부궤환을 걸면 안정도는 낮아지는 것이 아니라 오히려 높아지므로, 안전도가 낮아진다는 설명은 부궤환 증폭기의 특징과 맞지 않는다.

정상 동작(활성영역) 상태의 NPN 트랜지스터는 컬렉터-베이스 접합이 역방향으로 바이어스된다.
따라서 베이스 전위를 기준으로 보면 컬렉터는 이보다 높은 정전위를 갖는다.

차동증폭기의 출력은 차동성분과 동상성분이 각각 증폭되어 더해진 값이다.
$CMRR(\mathrm{dB}) = 20\log_{10}\dfrac{A_d}{A_c}$
$40 = 20\log_{10}\dfrac{A_d}{0.1} \Rightarrow \dfrac{A_d}{0.1}=100 \Rightarrow A_d = 10$
$V_d = 10\mathrm{V}-5\mathrm{V}=5\mathrm{V}, \quad V_{cm}=\dfrac{10\mathrm{V}+5\mathrm{V}}{2}=7.5\mathrm{V}$
$V_o = A_d V_d + A_c V_{cm} = 10\times5 + 0.1\times7.5 = 50.75\mathrm{V}$
따라서 출력전압은 50.75V이다.

OQPSK(오프셋 QPSK)는 QPSK에서 발생할 수 있는 180도의 급격한 위상천이를 없애기 위해 I채널과 Q채널 중 한 채널의 신호를 심볼 폭의 절반(1/2Ts)만큼 지연시켜 전송한다.
이렇게 시간을 어긋나게(오프셋) 배치하면 두 채널의 위상 전이가 동시에 일어나지 않아 최대 위상천이가 90도로 제한된다.

진폭변조파의 평균전력은 반송파 전력에 변조도에 따른 측파대 전력을 더한 값이다.
$P_t = P_c\left(1+\dfrac{m^2}{2}\right)$
$P_t = 100\mathrm{W}\times\left(1+\dfrac{0.8^2}{2}\right) = 100\mathrm{W}\times1.32 = 132\mathrm{W}$
따라서 피변조파의 평균전력은 132W이다.

진폭변조의 변조도는 신호파 진폭을 반송파 진폭으로 나눈 값이다.
$m = \dfrac{V_s}{V_o} = \dfrac{15}{20} = 0.75$
따라서 변조도는 75%이다.

T플립플롭은 입력 T와 J·K를 서로 묶어 하나의 입력으로 사용한 토글(toggle) 플립플롭으로, 입력이 1일 때마다 출력 상태가 반전되고 입력이 0이면 상태를 그대로 유지한다.
반면 입력 신호를 그대로 한 클록만큼 지연시켜 출력하는 것은 D(지연) 플립플롭의 특징이며, T플립플롭을 지연 플립플롭이라 부르는 것은 옳지 않은 설명이다.

저항 양단 전압은 $V_R=V_b\,e^{-t/RC}$ 로 지수적으로 감쇠한다.
구형파가 인가되는 순간(t=0)에는 커패시터가 아직 충전되지 않아 전압이 0이므로 Vb 전부가 저항에 걸린다. 시간이 지나면 커패시터가 충전되면서 전류가 줄고 저항 전압도 함께 줄어든다.
회로방정식을 풀면 전류는 $i(t)=\dfrac{V_b}{R}e^{-t/RC}$ 이므로
$V_R=i(t)\,R=V_b\,e^{-t/RC}$
시정수는 $\tau=RC$ 이고 t=RC에서 VR은 약 0.368Vb까지 떨어진다.
지수의 부호가 (+)인 식은 시간이 갈수록 전압이 무한히 커져 물리적으로 성립하지 않는다.
지수가 RCt 꼴인 식은 지수부가 무차원이 되지 못해(시간의 제곱 차원) 식 자체가 성립하지 않는다.

R-L 직렬회로의 과도응답에서 전류는 $i(t) = I_0 e^{-\frac{R}{L}t}$ 형태로 감쇠하며, 이때 지수의 계수인 R/L이 감쇠율(decay rate)이다.
시정수 $\tau = \dfrac{L}{R}$는 감쇠율의 역수이므로, 감쇠율은 시정수의 역수인 R/L로 정의된다.

M진 PSK는 한 심볼에 $\log_2 M$비트를 실어 보내므로, 심볼 하나가 잘못되면 그만큼의 비트가 함께 틀리게 된다.
8진 PSK는 $M=8$이므로 $\log_2 8 = 3$비트를 한 번에 전송하며, 이 기준으로 2진 PSK 오류확률의 3배로 다룬다.

이 회로는 연산증폭기를 쓴 능동 1차 저역통과 여파기다.
그림에서 입력 Vi는 R3를 거쳐 연산증폭기의 비반전(+) 입력으로 들어가고, 그 지점에서 커패시터 C가 접지로 연결된다. 즉 R3–C가 먼저 RC 저역통과를 만든다. 그 뒤는 반전(−) 입력에서 접지로 가는 R1과 출력에서 반전 입력으로 오는 R2가 짜는 비반전 증폭기다.
전달함수는 $\dfrac{V_o}{V_i}=\left(1+\dfrac{R_2}{R_1}\right)\dfrac{1}{1+j\omega R_3C}$ 이고 차단주파수는 $f_c=\dfrac{1}{2\pi R_3C}$ 이다. 주파수가 높아질수록 C의 임피던스가 작아져 (+) 입력에 남는 전압이 줄어드는 저주파 통과·고주파 저지 특성이다.
고역통과가 되려면 입력에 커패시터가 직렬로 와야 하는데, 여기서는 C가 신호선과 접지 사이에 병렬로 있다.
슈미트 트리거는 출력이 (+) 입력으로 돌아오는 양되먹임이어야 하지만, 이 회로의 R2는 (−) 입력으로 들어가는 음되먹임이다.
직류를 교류로 바꾸는 스위칭 소자나 발진 요소가 전혀 없으므로 변환기도 아니다.

FET는 게이트에 전압을 인가해도 게이트 전류가 거의 흐르지 않는 고입력저항 소자이므로, 입력저항이 작다는 설명은 FET의 특징과 반대된다.
열적으로 안정하다는 것은 FET의 실제 특징이다.
게이트전압으로 드레인전류를 제어하는 것은 FET 동작 원리 그대로다.
다수캐리어 소자여서 잡음이 적은 것도 FET의 실제 특징이다.

간략화하면 $\overline{A}+B\overline{D}$ 가 된다.
앞의 두 항은 흡수법칙 $X+XY=X$ 를 그대로 적용할 수 있다.
$\overline{A}+\overline{A}\,\overline{B}=\overline{A}(1+\overline{B})=\overline{A}$
뒤의 두 항은 $B\overline{D}$ 를 공통인수로 묶는다.
$BC\overline{D}+B\overline{D}=B\overline{D}(C+1)=B\overline{D}$
따라서 전체는 $\overline{A}+B\overline{D}$ 로 정리된다.
검산으로 A=1, B=1, C=0, D=0을 넣으면 원식은 0+0+0+1=1, 간략식 $\overline{A}+B\overline{D}$ 도 0+1=1로 같다. 반면 $\overline{A}+\overline{B}D$ 나 $\overline{A}+BD$ 처럼 D에 보수가 없거나 B에 보수가 붙은 꼴은 이 입력에서 0이 되어 원식과 어긋나므로 성립하지 않는다.

B급 푸시풀 증폭기는 이론상 최대효율 78.5%를 가지며, 이는 A급 증폭기(최대 50%)보다 높은 값이다.
컬렉터 효율은 A급보다 오히려 높으므로 낮다는 설명은 틀렸다.
두 트랜지스터가 반주기씩 번갈아 도통하므로 담당이 바뀌는 경계에서 크로스오버 일그러짐이 발생하며, 이는 제거되지 않고 B급의 대표적 단점이다.
신호 진폭에 따라 전류가 크게 변하므로 전원 전류의 변동 폭은 작지 않다.

다이오드에 걸리는 최대 역전압은 2Vm이다.
그림은 변압기 2차측 전압 Vi에 다이오드가 직렬로 하나 붙고, 그 뒤에 평활 커패시터와 부하 R이 병렬로 놓인 반파 정류회로다. 커패시터가 있으면 양의 반주기에 충전된 전압 Vm이 방전되지 않고 부하측에 거의 그대로 유지된다.
입력이 음의 최대값 −Vm이 되는 순간 다이오드의 애노드는 −Vm, 캐소드는 커패시터 전압 +Vm이 되므로
최대 역전압 $V_{RM}=V_m-(-V_m)=2V_m$
평활 커패시터가 없는 순수 반파 정류라면 역전압이 Vm에 그치지만, 이처럼 콘덴서 입력형 평활회로를 두면 두 배가 된다. 따라서 다이오드는 첨두역전압 정격을 2Vm 이상으로 잡아야 한다. Vm/π나 Vm/√2는 각각 반파 정류의 평균값·실효값과 관계된 값이지 역전압이 아니다.

위상변조(PM)에서 최대 위상편이는 변조지수 $\beta_p$와 같고, 이에 대응하는 최대 주파수편이는 $\Delta f = \beta_p \times f_m$로 구한다.
$\Delta f = 5 \times 4[\mathrm{kHz}] = 20[\mathrm{kHz}]$이므로 최대 주파수편이는 20kHz이다.

2단 종속 증폭기의 종합 잡음지수는 프리스(Friis) 공식 $F = F_1 + \dfrac{F_2-1}{G_1}$로 구한다.
$F = 10 + \dfrac{21-1}{20} = 10+1 = 11$이므로 종합 잡음지수는 11이다.

펄스 주파수가 1kHz이므로 주기는 $T = \dfrac{1}{1[\mathrm{kHz}]} = 1[\mathrm{ms}]$이다.
듀티사이클은 펄스폭을 주기로 나눈 값이므로 $\dfrac{0.5[\mathrm{ms}]}{1[\mathrm{ms}]} \times 100 = 50\%$가 된다.

선로의 병렬 어드미턴스는 전파정수를 특성 임피던스로 나눈 값, 즉 $\dfrac{Y}{Z_0}$ 이다.
분포정수 선로에서 단위길이당 직렬 임피던스를 $Z$, 병렬 어드미턴스를 $y$라 하면 특성 임피던스는 $Z_0=\sqrt{\dfrac{Z}{y}}$, 전파정수는 $Y=\sqrt{Zy}$ 로 정의된다.
두 식을 나누면 $\dfrac{Y}{Z_0}=\dfrac{\sqrt{Zy}}{\sqrt{Z/y}}=\sqrt{y^2}=y$ 가 되어 병렬 어드미턴스가 그대로 얻어진다.
반대로 두 식을 곱하면 $YZ_0=\sqrt{Zy}\cdot\sqrt{Z/y}=Z$ 로 직렬 임피던스가 되고, $Z_0/Y$나 $\sqrt{YZ_0}$는 어드미턴스 차원이 되지 않는다.

입력단에 $Z_C$, 출력단에 $Z_B$가 병렬이고 그 사이를 $Z_A$가 직렬로 잇는 π형 회로이므로 $A=1+\dfrac{Z_A}{Z_B},\ B=Z_A,\ C=\dfrac{Z_A+Z_B+Z_C}{Z_BZ_C},\ D=1+\dfrac{Z_A}{Z_C}$ 이다.
세 소자를 입력쪽부터 종속접속으로 곱한다. $\begin{bmatrix}1&0\\ \dfrac{1}{Z_C}&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&Z_A\\ 0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\ \dfrac{1}{Z_B}&1\end{bmatrix}$
뒤의 두 행렬을 먼저 곱하면 $\begin{bmatrix}1+\dfrac{Z_A}{Z_B}&Z_A\\ \dfrac{1}{Z_B}&1\end{bmatrix}$ 이 되어 $A=1+Z_A/Z_B$, $B=Z_A$ 가 확정된다.
여기에 입력측 병렬가지를 곱하면 $D=1+\dfrac{Z_A}{Z_C}$ 이고, $C=\dfrac{1}{Z_C}\left(1+\dfrac{Z_A}{Z_B}\right)+\dfrac{1}{Z_B}=\dfrac{Z_A+Z_B+Z_C}{Z_BZ_C}$ 로 정리된다. 분모가 $Z_B+Z_C$인 형태나 $D=1/(Z_BZ_C)$는 차원부터 맞지 않는다.

전압 불평형률은 역상전압을 정상전압으로 나눈 비율로 정의한다.
$\dfrac{25[\mathrm{V}]}{100[\mathrm{V}]} = 0.25$이므로 불평형률은 0.25이다.

n상 성형결선에서 인접 상 사이의 선간전압은 $V_l = 2 V_p \sin\left(\dfrac{\pi}{n}\right)$로 구한다.
6상이므로 $V_l = 2 \times 100 \times \sin(30^\circ) = 2 \times 100 \times 0.5 = 100[\mathrm{V}]$가 되어, 선간전압은 상전압과 같은 100V이다.

역변환하면 $f(t)=3\cos 3t+\dfrac{8}{3}\sin 3t$ 가 된다.
주어진 $F(s)=\dfrac{3s+8}{s^2+9}$ 의 분모가 $s^2+3^2$ 이므로 각주파수가 3인 코사인·사인 항의 합으로 분리한다.
$F(s)=3\cdot\dfrac{s}{s^2+3^2}+\dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{3}{s^2+3^2}$
변환쌍 $\dfrac{s}{s^2+\omega^2}\leftrightarrow\cos\omega t$, $\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\leftrightarrow\sin\omega t$ 를 적용하면 $3\cos 3t+\dfrac{8}{3}\sin 3t$ 이다. 사인 항의 각주파수를 1로 쓰거나 코사인과 사인을 뒤바꾼 형태, 부호를 음으로 둔 형태는 성립하지 않는다.

비정현파는 직류분, 기본파, 고조파의 합으로 나타낼 수 있다는 것이 푸리에 급수 전개의 결론이다.
삼각파는 이러한 구성 성분의 이름이 아니라 여러 성분이 합성되어 만들어지는 파형의 한 종류일 뿐이므로, 비정현파를 구성하는 성분으로 보기 어렵다.

전동기 1대의 정격출력은 $P = \dfrac{9}{4} = 2.25[\mathrm{kW}]$이다.
2대를 하루 5시간씩 30일 사용하면 총 사용시간은 $5 \times 30 = 150[\mathrm{h}]$이고, 출력 전력량은 $2.25 \times 2 \times 150 = 675[\mathrm{kWh}]$이다.
효율이 80%이므로 실제 소비 전력량은 $\dfrac{675}{0.8} \approx 844[\mathrm{kWh}]$가 된다.

인가전압을 실효값으로 바꾸면 $E = \dfrac{141.4}{\sqrt2} \approx 100[\mathrm{V}]$이고, $X_L = \omega L = 377 \times 1.59 \approx 600[\Omega]$, $X_C = \dfrac{1}{\omega C} \approx 800[\Omega]$이다.
합성 임피던스는 $Z = R + j(X_L - X_C) = 200 - j200[\Omega]$이므로 $|Z| = 200\sqrt2 \approx 283[\Omega]$, 전류는 $I = \dfrac{100}{283} \approx 0.354[\mathrm{A}]$가 흐른다.
C의 단자전압은 $V_C = I \times X_C = 0.354 \times 800 \approx 283[\mathrm{V}]$로, 약 283V이다.

전달함수는 $\dfrac{e_o}{e_i}=\dfrac{C_1}{C_1+C_2}$ 이다.
회로는 입력 $e_i$에서 $C_1$이 직렬로 놓이고 그 뒤 $C_2$가 출력 $e_o$와 병렬로 접속된 용량 분압 회로이다.
각 소자의 임피던스가 $Z_1=\dfrac{1}{sC_1}$, $Z_2=\dfrac{1}{sC_2}$ 이므로 $\dfrac{e_o}{e_i}=\dfrac{Z_2}{Z_1+Z_2}=\dfrac{1/sC_2}{1/sC_1+1/sC_2}$
분자·분모에 $sC_1C_2$를 곱하면 $\dfrac{C_1}{C_1+C_2}$ 로, 콘덴서 분압은 저항 분압과 반대로 상대편 정전용량이 분자에 온다. 두 용량의 합이나 $C_2/(C_1+C_2)$는 이 관계를 뒤집은 형태다.

과도현상이 나타나지 않는 위상각은 약 36.9°이다.
그림은 $V(t)$ 전원에 $R=4\,\Omega$과 $L=30\,\mathrm{mH}$가 직렬로 연결되고 t=0에서 스위치가 닫히는 RL 회로다. 정현파 투입 시 과도분이 생기지 않으려면 투입 순간의 전압 위상이 회로 임피던스의 위상각과 같아야 한다.
$X_L=\omega L=100\times 0.03=3\,\Omega$
$\theta=\tan^{-1}\dfrac{X_L}{R}=\tan^{-1}\dfrac{3}{4}=36.87^\circ$ 이므로 약 36.9°이다. 3-4-5 직각삼각형에서 나오는 값이므로 53.1°는 저항과 리액턴스를 뒤바꿔 계산한 결과다.

이 제어계는 불안정하다.
전달함수 $G(s)=\dfrac{s+1}{(s-3)(s^2+4)}$ 의 특성방정식은 $(s-3)(s^2+4)=0$ 이므로 특성근은 $s=3$ 과 $s=\pm j2$ 이다.
이 가운데 $s=3$ 이 s평면 우반부(실수부가 양)에 있어 시간응답에 $e^{3t}$ 항이 나타나고 진폭이 무한히 커진다.
허수축 위의 $\pm j2$만 있었다면 지속 진동인 임계상태로 볼 수 있지만, 우반평면 근이 하나라도 있으면 그 판정보다 우선해 불안정으로 결론난다.

DIAC의 V-I 특성은 1상한과 3상한이 원점에 대해 대칭이고, 양방향 모두 브레이크오버 전압을 넘는 순간 단자전압이 낮아지면서 전류가 급증하는(부성저항) 곡선이다.
DIAC은 게이트가 없는 양방향 2단자 소자여서 전압의 극성과 무관하게 같은 동작을 한다. 어느 방향이든 브레이크오버 전압까지는 거의 전류가 흐르지 않다가, 그 전압을 넘으면 도통하며 전압이 꺾여 내려간다.
한쪽 방향에서만 꺾임이 나타나고 반대 방향은 단순한 직선인 곡선은 단방향 소자(다이오드·SCR 계열)의 특성이다.
1상한에만 산 모양의 부성저항 구간이 있고 3상한은 직선인 곡선은 터널다이오드처럼 대칭성이 없는 소자의 특성이다.
이 대칭 브레이크오버 특성 때문에 DIAC은 TRIAC의 게이트를 양방향으로 트리거하는 소자로 쓰인다.

임펄스응답은 $c(t)=t\,e^{-at}$ 형태다(보기에서는 같은 상수를 $c$로 적어 $t\,e^{-ct}$로 표기했다).
단위 임펄스 입력은 $R(s)=1$ 이므로 출력은 전달함수 그 자체, 즉 $C(s)=G(s)=\dfrac{1}{(s+a)^2}$ 가 된다.
변환쌍 $\mathcal{L}\left[t\,e^{-at}\right]=\dfrac{1}{(s+a)^2}$ 를 거꾸로 적용하면 지수함수에 t가 곱해진 형태가 나온다. 극점이 $s=-a$에 중근으로 있다는 점이 t가 곱해지는 이유다.
단순 지수 $e^{-at}$는 $\dfrac{1}{s+a}$, $1-e^{-at}$는 1차 지연계의 계단응답, $\dfrac{1}{2}t^2$는 $\dfrac{1}{s^3}$에 대응하므로 주어진 전달함수와 맞지 않는다.

후르비츠(Hurwitz) 안정판별법의 필요충분조건은 계수가 모두 존재하고 모두 동부호이며, 후르비츠 행렬식이 전부 양이라는 세 가지로 정리된다.
루스(Routh) 판별법은 루스 배열(Routh array) 첫 열의 부호가 모두 같은지로 안정성을 판정하는 방법이며, '루스의 행렬식'이라는 개념이 후르비츠 행렬식과 같은 형태로 존재하는 것은 아니다.
따라서 앞의 세 조건과 달리 이 표현은 안정판별의 필요충분조건으로 성립하지 않는다.

전달함수는 $\dfrac{C(s)}{R(s)}=8$ 이다.
선도는 R(s)에서 C(s)까지 이득 1, 2, 3, 4, 5의 가지가 차례로 이어지고, 이득 2 가지와 이득 4 가지에 각각 $-1$의 되먹임 가지가 걸린 구조다.
전향경로 이득은 $P=1\times2\times3\times4\times5=120$, 루프이득은 $L_1=2\times(-1)=-2$, $L_2=4\times(-1)=-4$ 이며 두 루프는 마디를 공유하지 않아 비접촉이다.
따라서 $\Delta=1-(L_1+L_2)+L_1L_2=1+6+8=15$ 이고 $\dfrac{C}{R}=\dfrac{120}{15}=8$ 이다. 되먹임을 하나씩 정리해 $\dfrac{2}{1+2}\times\dfrac{4}{1+4}\times(1\cdot3\cdot5)=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{5}\times15=8$ 로 계산해도 같은 값이다.

단위 계단입력에 대한 정상편차는 2/3이다.
개루프 전달함수 $G(s)=\dfrac{1}{(s+1)(s+2)}$ 는 원점에 극점이 없으므로 0형 제어계이고, 계단입력에 대한 편차는 위치편차상수 $K_p$로 판정한다.
$K_p=\lim_{s\to 0}G(s)=\dfrac{1}{1\times 2}=\dfrac{1}{2}$
$e_{ss}=\dfrac{1}{1+K_p}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{3}$ 이므로, 0형 제어계는 계단입력에서 유한한 편차가 남는다. 편차를 0으로 만들려면 적분요소가 있는 1형 이상이어야 한다.

이 시스템의 시정수는 $\dfrac{J}{f}$ 이다.
계통방정식 $J\dfrac{d\omega}{dt}+f\omega=\tau(t)$ 를 라플라스 변환하면 $(Js+f)\,\Omega(s)=T(s)$ 가 된다.
$\dfrac{\Omega(s)}{T(s)}=\dfrac{1}{Js+f}=\dfrac{1/f}{\dfrac{J}{f}s+1}$
이를 1차 지연요소 $\dfrac{K}{Ts+1}$ 와 비교하면 시정수는 $T=\dfrac{J}{f}$ 이다. 관성 모멘트가 클수록 응답이 느려지고 마찰 제동계수가 클수록 빨라진다는 물리적 의미와도 맞으며, 시정수는 시간 차원이므로 음수나 곱의 형태가 될 수 없다.

지수함수의 z변환은 $e^{-at}\ \leftrightarrow\ \dfrac{z}{z-e^{-aT}}$ 이므로, 분모를 $z-e^{aT}$ 로 적어 지수의 음부호를 빠뜨린 것이 옳지 않다.
표본화 주기를 T라 하면 표본값이 $e^{-akT}$ 이므로 $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\left(e^{-aT}z^{-1}\right)^{k}=\dfrac{1}{1-e^{-aT}z^{-1}}=\dfrac{z}{z-e^{-aT}}$ 로 유도된다.
단위계단 함수는 $\dfrac{z}{z-1}$ 로 옳게 대응한다.
램프 함수 $t$는 $\dfrac{Tz}{(z-1)^2}$ 로 옳게 대응한다.
극점 위치로도 확인된다. 감쇠하는 지수함수는 z평면 단위원 안쪽의 극점 $e^{-aT}$를 가져야 하는데, $e^{aT}$는 단위원 바깥이라 발산 신호를 뜻하게 되어 모순이다.

계수행렬이 $A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}$ 이므로 상태천이행렬 $\phi(t)=e^{At}=\mathcal{L}^{-1}\left[(sI-A)^{-1}\right]$ 는 $\begin{bmatrix}2e^{-t}-e^{-2t}&e^{-t}-e^{-2t}\\-2e^{-t}+2e^{-2t}&-e^{-t}+2e^{-2t}\end{bmatrix}$ 가 된다.
먼저 $sI-A=\begin{bmatrix}s&-1\\2&s+3\end{bmatrix}$ 이고 $\det(sI-A)=s^2+3s+2=(s+1)(s+2)$ 이다.
역행렬은 $(sI-A)^{-1}=\dfrac{1}{(s+1)(s+2)}\begin{bmatrix}s+3&1\\-2&s\end{bmatrix}$.
각 성분을 부분분수로 갈라 역라플라스 변환하면 $\dfrac{s+3}{(s+1)(s+2)}=\dfrac{2}{s+1}-\dfrac{1}{s+2}\Rightarrow 2e^{-t}-e^{-2t}$, $\dfrac{1}{(s+1)(s+2)}\Rightarrow e^{-t}-e^{-2t}$, $\dfrac{-2}{(s+1)(s+2)}\Rightarrow-2e^{-t}+2e^{-2t}$, $\dfrac{s}{(s+1)(s+2)}=\dfrac{-1}{s+1}+\dfrac{2}{s+2}\Rightarrow-e^{-t}+2e^{-2t}$ 를 얻는다.
극점이 $s=-1,\,-2$ 이므로 지수항은 모두 $e^{-t}$, $e^{-2t}$ 꼴의 감쇠항이어야 한다. $e^{2t}$ 같은 발산항이 섞인 형태나, 아래 행의 부호가 모두 (+)여서 $t=0$ 을 대입했을 때 단위행렬 $\phi(0)=I$ 가 되지 않는 형태는 상태천이행렬이 될 수 없다.

권선형 유도전동기의 토크-속도 곡선은 2차 회로의 합성저항(2차 저항 + 외부 삽입저항)에 비례하여 저속측으로 이동하는데, 이를 비례추이라 한다.
슬립이나 회전수, 공급전압이 아니라 2차 합성저항의 크기에 따라 최대토크가 발생하는 슬립점이 이동한다는 것이 비례추이의 핵심이다.

출력 10kW, 효율 85%이므로 입력전력은 $P_{in} = \dfrac{10}{0.85} \approx 11.76[\mathrm{kW}]$이다.
역률이 85%이므로 3상 피상전력은 $P_a = \dfrac{11.76}{0.85} \approx 13.84[\mathrm{kVA}]$이고, 입력전류는 $I = \dfrac{P_a}{\sqrt3\,V} = \dfrac{13840}{\sqrt3 \times 200} \approx 40[\mathrm{A}]$가 된다.

2중 농형 전동기는 바깥쪽 도체(고저항)가 기동 시 큰 저항으로 작용해 기동전류를 억제하면서도 큰 기동토크를 낼 수 있고, 운전 중에는 안쪽 저저항 도체가 주로 전류를 흘려 효율을 확보하는 구조이다.
즉 보통 농형 전동기와 달리 기동전류는 작으면서 기동토크는 큰 특성이 2중 농형 전동기의 장점이다.

전기 선로전환기의 정위·반위 상태는 자기유지계전기(제어계전기)의 여자 상태로 기억되고, 전동기는 이 계전기의 지령에 따라 전환된다.
수동으로 전환기만 반위로 돌려놓아도 제어계전기의 자기유지 상태는 바뀌지 않으므로, 다시 전원(스위치)이 투입되면 계전기가 기억하고 있던 원래 위치로 전동기가 재전환되는 것이다.

역상계전기는 3상 전원의 상순 반전이나 전압 불평형을 검출해 보호하는 계전기로, 단락사고 보호는 주로 과전류계전기의 역할이다.
과전압 계전기가 전압상승을 검출하는 것은 옳은 대응이다.
부족전압 계전기가 정전·전압강하를 검출하는 것도 옳은 대응이다.
선택접지 계전기가 지락사고를 검출하는 것도 옳은 대응이다.
따라서 역상 계전기와 단락사고를 짝지은 설명이 옳지 않다.

전기 선로전환기는 전환에 앞서 기존 쇄정을 풀어야 하므로, 해정 → 전환 → 쇄정 → 표시의 순서로 동작한다.
먼저 잠금을 풀고(해정) 첨단을 이동시킨(전환) 뒤 새 위치에서 다시 잠그고(쇄정), 마지막으로 그 상태를 표시하는 흐름이다.

선로전환기의 정위·반위 상태를 표시하는 계전기는 여자전류의 극성(+/-)에 따라 다르게 동작해야 두 위치를 구별할 수 있으므로, 유극(극성)계전기 계열이 사용된다.
극성에 무관하게 동작하는 무극계전기나, 자기유지·완방 목적의 계전기로는 정위와 반위를 구별해 표시할 수 없다.

변압기 철심에 정현파 자속(따라서 정현파 기전력)을 만들려면, 히스테리시스 특성 때문에 여자전류는 정현파가 아니라 정점이 뾰족한 첨두파 형태가 되어야 한다.
이는 히스테리시스 루프의 비선형성 때문에 자속과 여자전류가 비례하지 않고, 자속을 정현파로 유지하려면 전류 쪽이 왜곡되기 때문이다.

변압기의 백분율 전압변동률은 $\varepsilon \approx p\cos\theta - q\sin\theta$(진상 부하)로 근사하며, 여기서 $p$는 저항강하율, $q$는 리액턴스강하율이다.
$\varepsilon=0$이 되려면 $p\cos\theta = q\sin\theta$, 즉 $\tan\theta = \dfrac{p}{q}$이어야 한다.
리액턴스강하가 저항강하의 3배이므로 $q=3p$이고 $\tan\theta = \dfrac{1}{3}$, 이때 $\cos\theta = \dfrac{3}{\sqrt{10}} \approx 0.95$가 되어 앞선 역률은 약 95%이다.

단중 중권(simplex lap winding)은 병렬회로수 $a$가 극수 $p$와 같으므로, 토크는 $T = \dfrac{Z \phi I_a}{2\pi}$로 간단히 구할 수 있다.
$T = \dfrac{100 \times 0.628 \times 5}{2\pi} \approx \dfrac{314}{6.283} \approx 50[\mathrm{N \cdot m}]$이므로 토크는 약 50N·m이다.

건널목 전동차단기는 경보기가 경보를 시작한 후 사람과 차량이 대피할 시간을 확보하기 위해, 경보 개시 후 일정 시간이 지난 뒤에 차단간이 하강하도록 설계한다.
관련 신호 설비기준(출제 당시 기준)에서는 이 시간을 3초 이상으로 정하고 있어, 차단기가 곧바로 내려오지 않고 여유시간을 두고 하강한다.

반파정류회로의 직류(평균)전압은 $E_{dc} = 0.45E - e_d$($E$: 변압기 2차 상전압 실효값, $e_d$: 정류기 내 전압강하)로 근사한다.
$100 = 0.45E - 15$이므로 $E = \dfrac{115}{0.45} \approx 256[\mathrm{V}]$가 되어, 필요한 2차 상전압은 약 256V이다.

전기 선로전환기의 공회전(첨단이 완전히 밀착되지 않고 헛도는 현상)은 주로 첨단부의 기계적 불일치에서 비롯된다.
첨단에 이물질이 끼면 완전 밀착이 안 되어 공회전이 발생할 수 있다.
첨단간의 취부위치가 틀리면 역시 기계적으로 완전히 맞물리지 않아 공회전이 생길 수 있다.
쇄정간의 홈과 쇄정자가 불일치하면 쇄정이 완료되지 않아 공회전으로 이어질 수 있다.
반면 콘덴서 단락은 전동기 기동 회로의 전기적 고장으로, 첨단 밀착 여부와는 무관해 공회전의 원인으로 보기 어렵다.

여자전류의 극성이 +일 때와 -일 때 서로 다른 접점으로 동작하고, 무전류일 때는 중립 위치를 유지하는 3위식(+, -, 무전류) 동작은 극성에 반응하는 유극계전기의 특성이다.
무극계전기는 전류의 방향(극성)에 관계없이 동작하므로 이러한 3위식 구분이 불가능하다.

임피던스 전압은 변압기 2차를 단락한 상태에서 정격전류가 흐르도록 1차에 인가하는 전압을 말하며, 이때 소비되는 입력(전력)을 임피던스 와트라 한다.
임피던스 와트는 정격전류에서의 동손(부하손)에 해당하는 값으로, 철손이나 정격용량, 전부하시 전손실과는 구별되는 개념이다.

직류직권 전동기의 토크는 전기자 전류의 제곱에 비례하므로, 원점에서 출발해 전류가 커질수록 기울기가 점점 가팔라지며 치솟는 2차 곡선이 토크 특성 곡선이다.
직권기는 계자권선이 전기자와 직렬이어서 자속 $\phi$ 가 전기자 전류 $I_a$ 에 비례한다.
토크식 $\tau=k\phi I_a$ 에 $\phi\propto I_a$ 를 넣으면 $\tau=k'I_a^{2}$ 가 되어 전류의 제곱에 비례한다.
그래서 기동 시 큰 토크를 내며 전동차·기중기처럼 부하 변동이 큰 곳에 쓰인다.
전류가 커질수록 토크가 오히려 줄어드는 반비례 모양의 곡선은 $\tau\propto I_a^{2}$ 와 정반대이며, 직권기에서 그런 모양이 나오는 것은 가로축이 전류가 아니라 속도일 때($\tau\propto1/N^{2}$)다.
초기에 가파르게 올랐다가 일정값으로 평평해지는 곡선은 자속이 일정한 분권(타여자) 전동기에서 $\tau\propto I_a$ 로 비례하다 자기포화로 완만해지는 모습이다.
진동하며 수렴하는 곡선은 과도응답 파형이지 정상상태의 토크-전류 특성 곡선이 아니다.

건널목 경보제어거리는 열차 최고속도와 경보시간의 곱으로 구한다.
$80[\mathrm{km/h}] = \dfrac{80000}{3600} \approx 22.2[\mathrm{m/s}]$이므로, $22.2 \times 30 \approx 667[\mathrm{m}]$가 되어 약 667m이다.

지상 상치신호기 중 엄호신호기는 정거장 진입부나 위험 개소를 방호하는 중요 신호기로, 기관사가 충분히 미리 인지하고 감속·정지할 수 있도록 다른 신호기보다 긴 확인거리(600m 이상)를 확보하도록 정하고 있다.
원방신호기·중계신호기·유도신호기는 각각 목적과 설치 위치가 달라 이보다 짧은 확인거리 기준이 적용된다.

지상자 응동 최소거리를 검지시간 동안 통과하는 속도가 5현시용 ATS의 열차 최고응동속도이며, 계산 결과는 약 150[km/h]이다.
속도는 거리를 시간으로 나눈 값이다.
$v = \dfrac{400\,\mathrm{mm}}{9.6\,\mathrm{ms}} = \dfrac{0.4\,\mathrm{m}}{0.0096\,\mathrm{s}} \approx 41.7\,\mathrm{m/s}$
$41.7\,\mathrm{m/s}\times 3.6 \approx 150\,\mathrm{km/h}$가 되며, 이 속도를 넘어서면 열차가 지상자 위를 지나는 시간이 검지시간보다 짧아져 BPM보드가 주파수를 검지하지 못한다.

NS형 전기선로전환기의 밀착도는 기본레일이 움직이지 않는 상태에서 텅레일을 1[mm] 벌리는 데 필요한 힘으로 확인하며, 정위·반위 균등하게 100[kg]을 기준으로 한다.
밀착도가 기준보다 낮으면 텅레일이 쉽게 벌어져 밀착검지가 불안정해지고, 지나치게 높으면 전환 부하가 커져 전환불능의 원인이 된다.

경부고속철도 레일온도검지장치(RTCP)는 레일온도가 올라갈수록 좌굴 위험이 커지므로 온도 구간에 따라 단계적으로 속도를 제한하고, 가장 높은 구간에서는 운행을 중지시킨다.
64℃ 이상 : 운행중지
60℃ 이상 64℃ 미만 : 70[km/h] 이하 운전
55℃ 이상 60℃ 미만 : 230[km/h] 이하 운전
반면 50℃ 이상 55℃ 미만 구간은 속도를 별도로 제한하는 단계가 아니라 정상 운전이 가능한 구간이므로, 이 구간에 270[km/h] 이하 운전 제한을 두는 설명은 기준과 맞지 않는다.

대부분의 상치신호기는 정위가 정지 현시이지만, 유도신호기는 진행을 지시할 필요가 있을 때만 신호를 현시하고 평상시에는 신호를 현시하지 않는 것이 정위여서 다른 신호기들과 정위 개념이 다르다.
입환신호기는 정위가 정지 현시로 다른 상치신호기와 같다.
엄호신호기도 정위가 정지 현시이다.
출발신호기 역시 정위가 정지 현시이다.

역간 주행 구간에서 ATC가 지시하는 허용속도에 맞추어 열차가 지정된 속도로 달리도록 하는 제어를 정속도 운행제어라고 한다.
타력운행제어는 동력을 끊고 관성으로 주행하는 제어이고, 정위치 정지제어는 정거장에서 열차를 목표 지점에 정확히 세우는 제어, 출입문 개폐제어는 정차 후 승강문을 다루는 제어여서 역간 정속 주행과는 목적이 다르다.

열차가 항상 진행 신호를 확인하면서 운전할 수 있도록 유지해야 하는 열차 사이의 시간 간격을 최소운전시격이라고 한다.
운전간격·최소운전간격은 열차 사이의 떨어진 정도를 일반적으로 이르는 표현이다.
운전시격은 실제 운용상의 시간 간격을 뜻할 뿐, '상시 진행신호 확인'이라는 안전조건을 담은 최소기준을 의미하지는 않는다.