다음 시스템의 상태 천이 행렬을 구하면?\begin{bmatrix}X_… | [철도신호기사 필기] 12년 2회차 기출문제 상세 페이지

계수행렬이 $A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}$ 이므로 상태천이행렬 $\phi(t)=e^{At}=\mathcal{L}^{-1}\left[(sI-A)^{-1}\right]$ 는 $\begin{bmatrix}2e^{-t}-e^{-2t}&e^{-t}-e^{-2t}\\-2e^{-t}+2e^{-2t}&-e^{-t}+2e^{-2t}\end{bmatrix}$ 가 된다.
먼저 $sI-A=\begin{bmatrix}s&-1\\2&s+3\end{bmatrix}$ 이고 $\det(sI-A)=s^2+3s+2=(s+1)(s+2)$ 이다.
역행렬은 $(sI-A)^{-1}=\dfrac{1}{(s+1)(s+2)}\begin{bmatrix}s+3&1\\-2&s\end{bmatrix}$.
각 성분을 부분분수로 갈라 역라플라스 변환하면 $\dfrac{s+3}{(s+1)(s+2)}=\dfrac{2}{s+1}-\dfrac{1}{s+2}\Rightarrow 2e^{-t}-e^{-2t}$, $\dfrac{1}{(s+1)(s+2)}\Rightarrow e^{-t}-e^{-2t}$, $\dfrac{-2}{(s+1)(s+2)}\Rightarrow-2e^{-t}+2e^{-2t}$, $\dfrac{s}{(s+1)(s+2)}=\dfrac{-1}{s+1}+\dfrac{2}{s+2}\Rightarrow-e^{-t}+2e^{-2t}$ 를 얻는다.
극점이 $s=-1,\,-2$ 이므로 지수항은 모두 $e^{-t}$, $e^{-2t}$ 꼴의 감쇠항이어야 한다. $e^{2t}$ 같은 발산항이 섞인 형태나, 아래 행의 부호가 모두 (+)여서 $t=0$ 을 대입했을 때 단위행렬 $\phi(0)=I$ 가 되지 않는 형태는 상태천이행렬이 될 수 없다.