[9급 지방직 고졸경채 응용역학개론] 17년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

단면에 생기는 최대 압축응력은 35 MPa이다.
편심하중은 축응력 + 휨응력으로 나누어 더한다. 편심거리는 단면 긴 변(400 mm) 방향으로 50 mm이다.
$\sigma_0 = \dfrac{P}{A} = \dfrac{1600\times10^3}{400\times200} = 20\ \mathrm{MPa}$
$Z = \dfrac{200\times400^2}{6} = 5.333\times10^6\ \mathrm{mm^3}$, $\sigma_b = \dfrac{1600\times10^3\times50}{5.333\times10^6} = 15\ \mathrm{MPa}$
$\sigma_{max} = 20 + 15 = 35\ \mathrm{MPa}$
15는 휨응력 성분만 구하고 축응력을 더하지 않은 값이다.
55와 85는 축응력 20 MPa에 더하는 휨응력이 각각 35, 65 MPa여야 하는 값으로, 편심거리 50 mm와 단면계수로는 나오지 않는다.

A-A 위치의 전단응력은 4V/(3bh)이다.
직사각형 단면의 전단응력은 중립축에서 최대 $\dfrac{3V}{2bh}$이고, 중립축에서 거리 y만큼 떨어지면 포물선으로 줄어든다.
A-A는 밑면에서 h/3이므로 중립축에서 $y = \dfrac{h}{2} - \dfrac{h}{3} = \dfrac{h}{6}$이다.
$\tau = \dfrac{3V}{2bh}\left[1 - \left(\dfrac{2y}{h}\right)^2\right] = \dfrac{3V}{2bh}\times\dfrac{8}{9} = \dfrac{4V}{3bh}$
3V/(2bh)는 중립축에서의 최대 전단응력으로, A-A는 중립축이 아니다.
V/(2bh)는 평균 전단응력 V/(bh)의 절반으로, 중립축에 가까운 h/6 위치의 값으로는 지나치게 작다.
5V/(3bh)는 최대 전단응력보다 커서 성립할 수 없다.

x-x축에 대한 단면2차모멘트는 ($a^{4}$−$b^{4})/12$이다.
정사각형은 도심을 지나는 축이면 방향과 관계없이 단면2차모멘트가 $\dfrac{a^4}{12}$로 같다. 따라서 대각선 축인 x-x축에 대해서도 같은 값이다.
가운데 구멍(한 변 b)도 도심이 x-x축 위에 있으므로 $\dfrac{b^4}{12}$를 빼면 $I_x = \dfrac{a^4 - b^4}{12}$이다.
분모에 √2가 붙은 ($a^{4}$−$b^{4})/(12$√2)는 대각선 축이라 값이 달라진다고 잘못 본 것이다.
$a^{3}b$−$ab^{3}$ 꼴의 두 식은 차원이 길이⁴이지만 정사각형 단면의 식이 아니다.

양단 고정 장주의 좌굴응력은 유효길이계수 K = 0.5를 반영해 $20\pi^2\,\mathrm{MPa}$이다.
오일러 좌굴응력은 $\sigma_{cr}=\dfrac{\pi^2 E}{(K\lambda)^2}$이다.
$K\lambda=0.5\times200=100$, $E=200\,\mathrm{GPa}=2\times10^5\,\mathrm{MPa}$
$\sigma_{cr}=\dfrac{\pi^2\times2\times10^5}{100^2}=20\pi^2\,\mathrm{MPa}$
$10\pi^2$: 일단 고정·일단 힌지(K = 0.7)일 때의 값 $\dfrac{\pi^2\times2\times10^5}{140^2}\approx10.2\pi^2$에 가까운 값으로, 양단 고정 조건과 맞지 않는다.
$\dfrac{\pi^2}{10}$: $20\pi^2$보다 200배 작아 단위 환산이나 유효길이 처리가 잘못된 값이다.
$\dfrac{\pi^2}{20}$: $20\pi^2$보다 400배 작아 마찬가지로 성립하지 않는다.

D점 변위가 0이 되려면 P1 = 24 kN이어야 한다.
D점 변위는 각 구간 신장량의 합이다. 인장을 (+)로 하고 아래에서부터 구간 축력을 구한다.
CD: $N = 5\ \mathrm{kN}$, BC: $N = 5 + 10 = 15\ \mathrm{kN}$, AB: $N = 15 - P_1$
$\delta_D = \dfrac{(15 - P_1)\times1 + 15\times0.4 + 5\times0.6}{EA} = 0$
$P_1 = 15 + 6 + 3 = 24\ \mathrm{kN}$
15는 두 하중의 합만 맞춘 값으로 BC·CD 구간의 신장을 무시했다.
9는 BC·CD 신장량(6+3)만 반영하고 AB 구간의 하중 15 kN을 빠뜨린 값이다.
3은 CD 구간 신장만 고려한 값이다.

x1축에 대한 단면2차모멘트는 42,000 $cm^{4}$이다.
평행축 정리 $I = I_c + A d^2$를 두 번 쓴다. 먼저 x2축 값으로 도심축 값을 구한다.
$I_c = 162000 - 100\times40^2 = 2000\ \mathrm{cm^4}$
$I_{x1} = 2000 + 100\times20^2 = 42000\ \mathrm{cm^4}$
2,000은 도심축에 대한 값으로, x1축까지의 거리 20 cm를 반영하지 않았다.
40,000은 $Ad^{2}$ 항만 계산하고 도심축 값을 더하지 않았다.
122,000은 x2축 값에서 거리 차 20 cm로 $Ad^{2}$를 빼 평행축 정리를 잘못 적용한 값이다.

C점 처짐의 상수는 C1 = 2/3이다.
C점 처짐은 B지점에서 캔틸레버처럼 처지는 양과 B점 처짐각에 의한 회전량을 더한 것이다.
B점 모멘트 $PL$에 의한 처짐각 $\theta_B = \dfrac{PL\cdot L}{3EI}$이므로
$\delta_C = \theta_B L + \dfrac{PL^3}{3EI} = \dfrac{PL^3}{3EI} + \dfrac{PL^3}{3EI} = \dfrac{2PL^3}{3EI}$
8/3은 A점을 고정단으로 보고 길이 2L 캔틸레버의 끝 처짐을 구한 값이다.
4/3은 두 처짐 성분(각 1/3)의 합 2/3보다 큰 값으로, B점 처짐각을 과대하게 잡은 결과다.
2 역시 두 처짐 성분의 합과 맞지 않는 과대값이다.

최대 휨응력은 192 MPa이다.
최대 휨모멘트는 집중하중 작용점에서 생긴다.
$R_A = \dfrac{12\times6}{9} = 8\ \mathrm{kN}$, $M_{max} = 8\times3 = 24\ \mathrm{kN\cdot m}$
$Z = \dfrac{300\times50^2}{6} = 125000\ \mathrm{mm^3}$
$\sigma = \dfrac{24\times10^6}{125000} = 192\ \mathrm{MPa}$
136은 휨모멘트 17 kN·m에 해당하는 값으로, 하중점 모멘트 24 kN·m보다 작게 잡은 것이다.
164는 휨모멘트 20.5 kN·m에 해당하는 값으로 역시 최대 모멘트를 과소평가했다.
220은 휨모멘트 27.5 kN·m에 해당하는 값으로, 반력 8 kN과 거리 3 m로는 나오지 않는다.

B점의 모멘트 반력은 3PL이다.
AC는 A·C가 힌지인 단순보로 볼 수 있어 하중 2P가 중앙에 작용하면 C점에 P가 전달된다. 양단 힌지인 CD는 이 힘을 그대로 D점에 넘긴다.
DB는 B가 고정인 캔틸레버이고 자유단 D에 P가 작용하므로
$M_B = P\times3L = 3PL$
PL은 전달력 P에 길이 L만 곱한 값이다.
2PL은 하중 2P가 D점까지 그대로 전달된다고 보고 거리를 L로 잡은 값이다.
4PL은 거리를 실제 3L보다 크게 잡은 값이다.

C점 처짐의 상수는 C1 = 5/768이다.
전단력선도가 직선으로 wL/4에서 −wL/4까지 줄어드므로 보 전체에 등분포하중이 작용한다. 하중 크기는 $q\times\dfrac{L}{2} = \dfrac{wL}{4}$에서 $q = \dfrac{w}{2}$이다.
$\delta_C = \dfrac{5qL^4}{384EI} = \dfrac{5}{384}\times\dfrac{wL^4}{2EI} = \dfrac{5wL^4}{768EI}$
5/384는 분포하중을 w로 본 값으로, 전단력선도에서 구한 하중 w/2를 반영하지 않았다.
5/48과 5/96은 등분포하중 단순보 중앙 처짐 공식의 계수와 맞지 않는다.

콘크리트 압축응력은 10 MPa이다.
철근과 콘크리트의 변형률이 같으므로 탄성계수비 $n = \dfrac{E_s}{E_c} = 10$을 써서 환산단면적으로 계산한다.
$A_c = 200\times200 - 1000 = 39000\ \mathrm{mm^2}$
$A_t = 39000 + 10\times1000 = 49000\ \mathrm{mm^2}$
$\sigma_c = \dfrac{490\times10^3}{49000} = 10\ \mathrm{MPa}$
12는 철근의 분담을 무시하고 총단면적 40,000 mm²으로 나눈 값에 가깝다.
6과 8은 철근 분담을 과대하게 잡은 값으로 탄성계수비 10과 맞지 않는다.

이 재료의 인성은 5.5 MPa이다.
인성은 파괴점까지 응력-변형률 곡선 아래 면적이다. 세 구간으로 나누어 더한다.
$\dfrac{1}{2}\times0.005\times200 = 0.5$
$\dfrac{200 + 300}{2}\times0.015 = 3.75$
$\dfrac{300 + 200}{2}\times0.005 = 1.25$
$0.5 + 3.75 + 1.25 = 5.5\ \mathrm{MPa}$
7.5는 최대응력 300 MPa를 파괴 변형률 0.025 전체에 곱한 값으로 곡선 아래 면적이 아니다.
9.5와 11.5는 실제 면적보다 커서 곡선 모양과 맞지 않는다.

푸아송비는 가로 변형률 ÷ 세로 변형률로, 이 봉은 0.25이다.
세로 변형률: $\varepsilon=\dfrac{252-250}{250}=0.008$
가로 변형률: $\varepsilon'=\dfrac{100-99.8}{100}=0.002$
푸아송비: $\nu=\dfrac{0.002}{0.008}=0.25$
0.30: 강재의 대표적인 푸아송비로 자주 떠올리는 값이지만, 주어진 치수 변화로 구한 비율과 다르다.
0.35: 변형률 비 0.25와 맞지 않는다.
0.40: 변형률 비 0.25와 맞지 않는다.

C점 휨모멘트가 0이 되려면 x = L/2이다.
C점 왼쪽에는 A점 반력만 있으므로 $M_C = R_A\times\dfrac{2L}{3} = 0$이 되려면 A점 반력이 0이어야 한다.
B점에 대한 모멘트 평형에서 $3P\times\dfrac{L}{3} = 2P\times x$이므로 $x = \dfrac{L}{2}$이다.
L/3이면 A점 반력이 위로 남아 C점 모멘트가 0이 되지 않는다.
2L/3이면 A점 반력이 아래로 생겨 C점 모멘트가 (−)가 된다.
L은 내민 부분 하중 모멘트가 더 커져 역시 0이 되지 않는다.

A점 모멘트 반력은 0이다.
고정단 반력 모멘트는 A점에 대한 모든 하중의 모멘트 합과 같다.
집중하중: $P\times L + P\times2L = 3PL$(시계방향)
집중모멘트: $2PL + PL = 3PL$(반시계방향)
두 값이 서로 상쇄되어 $M_A = 0$이다.
3PL은 집중하중이나 집중모멘트 한쪽만 계산한 값이다.
6PL은 두 모멘트의 방향을 같은 쪽으로 보고 더한 값이다.
9PL은 회전 방향을 고려하지 않고 모멘트를 과대하게 합산한 값이다.

A점 모멘트 반력은 20 kN·m이다.
게르버보는 힌지 C에서 나누어 CB를 단순보로 먼저 푼다. 10 kN이 C에서 2 m, B에서 3 m 위치이므로 $R_C = \dfrac{10\times3}{5} = 6\ \mathrm{kN}$이다.
AC 캔틸레버 끝 C에 6 kN이 작용하고 반시계 집중모멘트 10 kN·m가 있으므로
$M_A = 6\times5 - 10 = 20\ \mathrm{kN\cdot m}$
30은 C점 전달력에 의한 모멘트만 계산하고 집중모멘트를 빼지 않았다.
40은 집중모멘트를 같은 방향으로 더한 값이다.
10은 집중모멘트 크기만 본 값이다.

B점 반력은 3M0/(2L)이다.
B지점을 제거한 캔틸레버에서 B점 처짐이 0이라는 적합조건을 쓴다.
모멘트 M0에 의한 처짐 $\dfrac{M_0L^2}{2EI}$, 반력 R에 의한 처짐 $\dfrac{RL^3}{3EI}$
$\dfrac{M_0L^2}{2EI} = \dfrac{RL^3}{3EI}$ → $R = \dfrac{3M_0}{2L}$
3M0/L은 모멘트에 의한 처짐 $M0L^{2}/(2EI)$에서 1/2을 빠뜨린 값이다.
2M0/L은 3M0/(2L)보다 커서 B점이 위로 들려 처짐 0 조건을 만족하지 않는다.
5M0/(2L)도 같은 이유로 과대한 반력이다.

D점 수평 반력은 30 kN이다.
케이블은 수평 장력 H가 전 구간 일정하고, 각 구간의 연직성분은 H×기울기이다.
AB 구간 기울기 6/3 = 2 → A점 연직반력 2H
CD 구간 기울기 (7−3)/3 = 4/3 → D점 연직반력 $\dfrac{4H}{3}$
$2H + \dfrac{4H}{3} = 100$ → $H = 30\ \mathrm{kN}$
B점 검산: $H\left(2 - \dfrac{1}{3}\right) = 50$으로 일치한다.
50은 한 점의 하중 크기를 수평력으로 본 값이다.
10과 20은 연직 평형식을 만족하지 않는다.

보(B)의 탄성변형에너지는 2 J이다.
캔틸레버 끝 처짐 $\delta = \dfrac{FL^3}{3EI}$를 대입하면 $U = \dfrac{F^2L^3}{6EI}$로 하중의 제곱과 길이의 세제곱에 비례한다.
보(A): $P^2(2L)^3 = 8P^2L^3$, 보(B): $(4P)^2L^3 = 16P^2L^3$
$U_B = 1\times\dfrac{16}{8} = 2\ \mathrm{J}$
1은 하중과 길이의 효과가 서로 상쇄된다고 본 값이다.
4는 하중 비(4배)만 반영하고 길이 차이를 무시했다.
3은 비례 관계로 나올 수 없는 값이다.

최대 휨응력의 상수는 C1 = 6이다.
일단고정 타단이동지점 보의 중앙 집중하중에서 휨모멘트는 고정단 $\dfrac{3PL}{16}$, 하중점 $\dfrac{5PL}{32}$이므로 고정단 모멘트가 최대이다.
원형 단면 $Z = \dfrac{\pi d^3}{32}$
$\sigma_{max} = \dfrac{3PL}{16}\times\dfrac{32}{\pi d^3} = \dfrac{6PL}{\pi d^3}$
16은 원형 단면계수의 분모 32와 관련된 계수를 잘못 남긴 값으로 고정단 모멘트 3PL/16과 맞지 않는다.
1/6과 1/16은 단면계수를 곱하고 나누는 방향을 뒤집은 값이다.