17년 1회차

단면에 생기는 최대 압축응력은 35 MPa이다.

편심하중은 축응력 + 휨응력으로 나누어 더한다. 편심거리는 단면 긴 변(400 mm) 방향으로 50 mm이다.

$\sigma_0 = \dfrac{P}{A} = \dfrac{1600\times10^3}{400\times200} = 20\ \mathrm{MPa}$
$Z = \dfrac{200\times400^2}{6} = 5.333\times10^6\ \mathrm{mm^3}$, $\sigma_b = \dfrac{1600\times10^3\times50}{5.333\times10^6} = 15\ \mathrm{MPa}$
$\sigma_{max} = 20 + 15 = 35\ \mathrm{MPa}$

• 15는 휨응력 성분만 구하고 축응력을 더하지 않은 값이다.
• 55와 85는 축응력 20 MPa에 더하는 휨응력이 각각 35, 65 MPa여야 하는 값으로, 편심거리 50 mm와 단면계수로는 나오지 않는다.

A-A 위치의 전단응력은 4V/(3bh)이다.

직사각형 단면의 전단응력은 중립축에서 최대 $\dfrac{3V}{2bh}$이고, 중립축에서 거리 y만큼 떨어지면 포물선으로 줄어든다.

A-A는 밑면에서 h/3이므로 중립축에서 $y = \dfrac{h}{2} - \dfrac{h}{3} = \dfrac{h}{6}$이다.
$\tau = \dfrac{3V}{2bh}\left[1 - \left(\dfrac{2y}{h}\right)^2\right] = \dfrac{3V}{2bh}\times\dfrac{8}{9} = \dfrac{4V}{3bh}$

• 3V/(2bh)는 중립축에서의 최대 전단응력으로, A-A는 중립축이 아니다.
• V/(2bh)는 평균 전단응력 V/(bh)의 절반으로, 중립축에 가까운 h/6 위치의 값으로는 지나치게 작다.
• 5V/(3bh)는 최대 전단응력보다 커서 성립할 수 없다.

x-x축에 대한 단면2차모멘트는 ($a^{4}$−$b^{4})/12$이다.

정사각형은 도심을 지나는 축이면 방향과 관계없이 단면2차모멘트가 $\dfrac{a^4}{12}$로 같다. 따라서 대각선 축인 x-x축에 대해서도 같은 값이다.

가운데 구멍(한 변 b)도 도심이 x-x축 위에 있으므로 $\dfrac{b^4}{12}$를 빼면 $I_x = \dfrac{a^4 - b^4}{12}$이다.

• 분모에 √2가 붙은 ($a^{4}$−$b^{4})/(12$√2)는 대각선 축이라 값이 달라진다고 잘못 본 것이다.
• $a^{3}b$−$ab^{3}$ 꼴의 두 식은 차원이 길이⁴이지만 정사각형 단면의 식이 아니다.

양단 고정 장주의 좌굴응력은 유효길이계수 K = 0.5를 반영해 $20\pi^2\,\mathrm{MPa}$이다.

오일러 좌굴응력은 $\sigma_{cr}=\dfrac{\pi^2 E}{(K\lambda)^2}$이다.
$K\lambda=0.5\times200=100$, $E=200\,\mathrm{GPa}=2\times10^5\,\mathrm{MPa}$
$\sigma_{cr}=\dfrac{\pi^2\times2\times10^5}{100^2}=20\pi^2\,\mathrm{MPa}$

• $10\pi^2$: 일단 고정·일단 힌지(K = 0.7)일 때의 값 $\dfrac{\pi^2\times2\times10^5}{140^2}\approx10.2\pi^2$에 가까운 값으로, 양단 고정 조건과 맞지 않는다.
• $\dfrac{\pi^2}{10}$: $20\pi^2$보다 200배 작아 단위 환산이나 유효길이 처리가 잘못된 값이다.
• $\dfrac{\pi^2}{20}$: $20\pi^2$보다 400배 작아 마찬가지로 성립하지 않는다.

D점 변위가 0이 되려면 P1 = 24 kN이어야 한다.

D점 변위는 각 구간 신장량의 합이다. 인장을 (+)로 하고 아래에서부터 구간 축력을 구한다.

CD: $N = 5\ \mathrm{kN}$, BC: $N = 5 + 10 = 15\ \mathrm{kN}$, AB: $N = 15 - P_1$
$\delta_D = \dfrac{(15 - P_1)\times1 + 15\times0.4 + 5\times0.6}{EA} = 0$
$P_1 = 15 + 6 + 3 = 24\ \mathrm{kN}$

• 15는 두 하중의 합만 맞춘 값으로 BC·CD 구간의 신장을 무시했다.
• 9는 BC·CD 신장량(6+3)만 반영하고 AB 구간의 하중 15 kN을 빠뜨린 값이다.
• 3은 CD 구간 신장만 고려한 값이다.

x1축에 대한 단면2차모멘트는 42,000 $cm^{4}$이다.

평행축 정리 $I = I_c + A d^2$를 두 번 쓴다. 먼저 x2축 값으로 도심축 값을 구한다.

$I_c = 162000 - 100\times40^2 = 2000\ \mathrm{cm^4}$
$I_{x1} = 2000 + 100\times20^2 = 42000\ \mathrm{cm^4}$

• 2,000은 도심축에 대한 값으로, x1축까지의 거리 20 cm를 반영하지 않았다.
• 40,000은 $Ad^{2}$ 항만 계산하고 도심축 값을 더하지 않았다.
• 122,000은 x2축 값에서 거리 차 20 cm로 $Ad^{2}$를 빼 평행축 정리를 잘못 적용한 값이다.

C점 처짐의 상수는 C1 = 2/3이다.

C점 처짐은 B지점에서 캔틸레버처럼 처지는 양과 B점 처짐각에 의한 회전량을 더한 것이다.

B점 모멘트 $PL$에 의한 처짐각 $\theta_B = \dfrac{PL\cdot L}{3EI}$이므로
$\delta_C = \theta_B L + \dfrac{PL^3}{3EI} = \dfrac{PL^3}{3EI} + \dfrac{PL^3}{3EI} = \dfrac{2PL^3}{3EI}$

• 8/3은 A점을 고정단으로 보고 길이 2L 캔틸레버의 끝 처짐을 구한 값이다.
• 4/3은 두 처짐 성분(각 1/3)의 합 2/3보다 큰 값으로, B점 처짐각을 과대하게 잡은 결과다.
• 2 역시 두 처짐 성분의 합과 맞지 않는 과대값이다.

최대 휨응력은 192 MPa이다.

최대 휨모멘트는 집중하중 작용점에서 생긴다.

$R_A = \dfrac{12\times6}{9} = 8\ \mathrm{kN}$, $M_{max} = 8\times3 = 24\ \mathrm{kN\cdot m}$
$Z = \dfrac{300\times50^2}{6} = 125000\ \mathrm{mm^3}$
$\sigma = \dfrac{24\times10^6}{125000} = 192\ \mathrm{MPa}$

• 136은 휨모멘트 17 kN·m에 해당하는 값으로, 하중점 모멘트 24 kN·m보다 작게 잡은 것이다.
• 164는 휨모멘트 20.5 kN·m에 해당하는 값으로 역시 최대 모멘트를 과소평가했다.
• 220은 휨모멘트 27.5 kN·m에 해당하는 값으로, 반력 8 kN과 거리 3 m로는 나오지 않는다.

B점의 모멘트 반력은 3PL이다.

AC는 A·C가 힌지인 단순보로 볼 수 있어 하중 2P가 중앙에 작용하면 C점에 P가 전달된다. 양단 힌지인 CD는 이 힘을 그대로 D점에 넘긴다.

DB는 B가 고정인 캔틸레버이고 자유단 D에 P가 작용하므로
$M_B = P\times3L = 3PL$

• PL은 전달력 P에 길이 L만 곱한 값이다.
• 2PL은 하중 2P가 D점까지 그대로 전달된다고 보고 거리를 L로 잡은 값이다.
• 4PL은 거리를 실제 3L보다 크게 잡은 값이다.

C점 처짐의 상수는 C1 = 5/768이다.

전단력선도가 직선으로 wL/4에서 −wL/4까지 줄어드므로 보 전체에 등분포하중이 작용한다. 하중 크기는 $q\times\dfrac{L}{2} = \dfrac{wL}{4}$에서 $q = \dfrac{w}{2}$이다.

$\delta_C = \dfrac{5qL^4}{384EI} = \dfrac{5}{384}\times\dfrac{wL^4}{2EI} = \dfrac{5wL^4}{768EI}$

• 5/384는 분포하중을 w로 본 값으로, 전단력선도에서 구한 하중 w/2를 반영하지 않았다.
• 5/48과 5/96은 등분포하중 단순보 중앙 처짐 공식의 계수와 맞지 않는다.

콘크리트 압축응력은 10 MPa이다.

철근과 콘크리트의 변형률이 같으므로 탄성계수비 $n = \dfrac{E_s}{E_c} = 10$을 써서 환산단면적으로 계산한다.

$A_c = 200\times200 - 1000 = 39000\ \mathrm{mm^2}$
$A_t = 39000 + 10\times1000 = 49000\ \mathrm{mm^2}$
$\sigma_c = \dfrac{490\times10^3}{49000} = 10\ \mathrm{MPa}$

• 12는 철근의 분담을 무시하고 총단면적 40,000 mm²으로 나눈 값에 가깝다.
• 6과 8은 철근 분담을 과대하게 잡은 값으로 탄성계수비 10과 맞지 않는다.

이 재료의 인성은 5.5 MPa이다.

인성은 파괴점까지 응력-변형률 곡선 아래 면적이다. 세 구간으로 나누어 더한다.

$\dfrac{1}{2}\times0.005\times200 = 0.5$
$\dfrac{200 + 300}{2}\times0.015 = 3.75$
$\dfrac{300 + 200}{2}\times0.005 = 1.25$
$0.5 + 3.75 + 1.25 = 5.5\ \mathrm{MPa}$

• 7.5는 최대응력 300 MPa를 파괴 변형률 0.025 전체에 곱한 값으로 곡선 아래 면적이 아니다.
• 9.5와 11.5는 실제 면적보다 커서 곡선 모양과 맞지 않는다.

푸아송비는 가로 변형률 ÷ 세로 변형률로, 이 봉은 0.25이다.

세로 변형률: $\varepsilon=\dfrac{252-250}{250}=0.008$
가로 변형률: $\varepsilon'=\dfrac{100-99.8}{100}=0.002$
푸아송비: $\nu=\dfrac{0.002}{0.008}=0.25$

• 0.30: 강재의 대표적인 푸아송비로 자주 떠올리는 값이지만, 주어진 치수 변화로 구한 비율과 다르다.
• 0.35: 변형률 비 0.25와 맞지 않는다.
• 0.40: 변형률 비 0.25와 맞지 않는다.

C점 휨모멘트가 0이 되려면 x = L/2이다.

C점 왼쪽에는 A점 반력만 있으므로 $M_C = R_A\times\dfrac{2L}{3} = 0$이 되려면 A점 반력이 0이어야 한다.

B점에 대한 모멘트 평형에서 $3P\times\dfrac{L}{3} = 2P\times x$이므로 $x = \dfrac{L}{2}$이다.

• L/3이면 A점 반력이 위로 남아 C점 모멘트가 0이 되지 않는다.
• 2L/3이면 A점 반력이 아래로 생겨 C점 모멘트가 (−)가 된다.
• L은 내민 부분 하중 모멘트가 더 커져 역시 0이 되지 않는다.

A점 모멘트 반력은 0이다.

고정단 반력 모멘트는 A점에 대한 모든 하중의 모멘트 합과 같다.

집중하중: $P\times L + P\times2L = 3PL$(시계방향)
집중모멘트: $2PL + PL = 3PL$(반시계방향)
두 값이 서로 상쇄되어 $M_A = 0$이다.

• 3PL은 집중하중이나 집중모멘트 한쪽만 계산한 값이다.
• 6PL은 두 모멘트의 방향을 같은 쪽으로 보고 더한 값이다.
• 9PL은 회전 방향을 고려하지 않고 모멘트를 과대하게 합산한 값이다.

A점 모멘트 반력은 20 kN·m이다.

게르버보는 힌지 C에서 나누어 CB를 단순보로 먼저 푼다. 10 kN이 C에서 2 m, B에서 3 m 위치이므로 $R_C = \dfrac{10\times3}{5} = 6\ \mathrm{kN}$이다.

AC 캔틸레버 끝 C에 6 kN이 작용하고 반시계 집중모멘트 10 kN·m가 있으므로
$M_A = 6\times5 - 10 = 20\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 30은 C점 전달력에 의한 모멘트만 계산하고 집중모멘트를 빼지 않았다.
• 40은 집중모멘트를 같은 방향으로 더한 값이다.
• 10은 집중모멘트 크기만 본 값이다.

B점 반력은 3M0/(2L)이다.

B지점을 제거한 캔틸레버에서 B점 처짐이 0이라는 적합조건을 쓴다.

모멘트 M0에 의한 처짐 $\dfrac{M_0L^2}{2EI}$, 반력 R에 의한 처짐 $\dfrac{RL^3}{3EI}$
$\dfrac{M_0L^2}{2EI} = \dfrac{RL^3}{3EI}$ → $R = \dfrac{3M_0}{2L}$

• 3M0/L은 모멘트에 의한 처짐 $M0L^{2}/(2EI)$에서 1/2을 빠뜨린 값이다.
• 2M0/L은 3M0/(2L)보다 커서 B점이 위로 들려 처짐 0 조건을 만족하지 않는다.
• 5M0/(2L)도 같은 이유로 과대한 반력이다.

D점 수평 반력은 30 kN이다.

케이블은 수평 장력 H가 전 구간 일정하고, 각 구간의 연직성분은 H×기울기이다.

AB 구간 기울기 6/3 = 2 → A점 연직반력 2H
CD 구간 기울기 (7−3)/3 = 4/3 → D점 연직반력 $\dfrac{4H}{3}$
$2H + \dfrac{4H}{3} = 100$ → $H = 30\ \mathrm{kN}$

B점 검산: $H\left(2 - \dfrac{1}{3}\right) = 50$으로 일치한다.

• 50은 한 점의 하중 크기를 수평력으로 본 값이다.
• 10과 20은 연직 평형식을 만족하지 않는다.

보(B)의 탄성변형에너지는 2 J이다.

캔틸레버 끝 처짐 $\delta = \dfrac{FL^3}{3EI}$를 대입하면 $U = \dfrac{F^2L^3}{6EI}$로 하중의 제곱과 길이의 세제곱에 비례한다.

보(A): $P^2(2L)^3 = 8P^2L^3$, 보(B): $(4P)^2L^3 = 16P^2L^3$
$U_B = 1\times\dfrac{16}{8} = 2\ \mathrm{J}$

• 1은 하중과 길이의 효과가 서로 상쇄된다고 본 값이다.
• 4는 하중 비(4배)만 반영하고 길이 차이를 무시했다.
• 3은 비례 관계로 나올 수 없는 값이다.

최대 휨응력의 상수는 C1 = 6이다.

일단고정 타단이동지점 보의 중앙 집중하중에서 휨모멘트는 고정단 $\dfrac{3PL}{16}$, 하중점 $\dfrac{5PL}{32}$이므로 고정단 모멘트가 최대이다.

원형 단면 $Z = \dfrac{\pi d^3}{32}$
$\sigma_{max} = \dfrac{3PL}{16}\times\dfrac{32}{\pi d^3} = \dfrac{6PL}{\pi d^3}$

• 16은 원형 단면계수의 분모 32와 관련된 계수를 잘못 남긴 값으로 고정단 모멘트 3PL/16과 맞지 않는다.
• 1/6과 1/16은 단면계수를 곱하고 나누는 방향을 뒤집은 값이다.