[7급 국가직 전기자기학] 24년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

도체 표면에 전하가 분포할 수 없다는 설명이 옳지 않다. 정전계에서 도체의 과잉 전하는 모두 표면에만 분포한다.
도체 내부에 전계가 있으면 자유전자가 계속 움직이므로, 평형 상태에서는 내부 전계가 0이 되고 전하는 표면으로 밀려난다. 표면 전하밀도는 $\rho_s=\epsilon E_n$으로 표면의 법선 전계와 연결된다.
도체 표면은 등전위면이다: 옳다. 표면의 접선 전계가 0이므로 표면을 따라 전위차가 생기지 않는다.
도체 내부의 전계는 0이다: 옳다. 정전 평형의 기본 조건이다.
표면에 수직한 전계가 존재할 수 있다: 옳다. 표면 전하에 의해 법선 방향 전계 $E_n=\rho_s/\epsilon$이 생긴다.

쌍극자에 작용하는 토크가 쌍극자 모멘트를 전계 방향으로 돌리므로 쌍극자는 전계와 평행해지도록 시계 방향으로 회전한다.
균일 전계에서 두 전하가 받는 힘은 크기가 같고 방향이 반대라 합력은 0이지만, 토크 $\vec{\tau}=\vec{p}\times\vec{E}$가 남는다. 그림처럼 모멘트가 전계보다 위쪽으로 기울어 있으면 $\vec{p}\times\vec{E}$는 지면으로 들어가는 방향이 되어, 각 θ를 줄이는 시계 방향으로 회전시킨다.
회전하지 않는다: 각이 0°나 180°가 아니면 토크 $pE\sin\theta$가 0이 아니다.
반시계 방향 회전: 모멘트를 전계에서 더 멀어지게 하는 방향이라 토크의 방향과 반대다.
전계와 모멘트 모두에 수직인 방향으로 회전: 그 방향은 토크 벡터(회전축)의 방향일 뿐, 쌍극자는 전계와 모멘트가 이루는 평면 안에서 돈다.

왼쪽은 유전체가 병렬, 오른쪽은 직렬로 배치된 구조이므로 $C_1 : C_2 = 4 : 3$이다.
왼쪽은 판 면적을 반씩 나눠 가진 두 커패시터의 병렬이다.
$C_1=\dfrac{2\epsilon_0 (S/2)}{d}+\dfrac{6\epsilon_0 (S/2)}{d}=\dfrac{4\epsilon_0 S}{d}$
오른쪽은 두께 $d/2$인 두 층의 직렬이다.
$C_a=\dfrac{6\epsilon_0 S}{d/2}=\dfrac{12\epsilon_0 S}{d},\ C_b=\dfrac{2\epsilon_0 S}{d/2}=\dfrac{4\epsilon_0 S}{d}$
$C_2=\dfrac{C_a C_b}{C_a+C_b}=\dfrac{48}{16}\cdot\dfrac{\epsilon_0 S}{d}=\dfrac{3\epsilon_0 S}{d}$
두 값을 서로 바꿔 대응시키면 3 : 4가 되는데, 병렬 쪽이 평균 유전율이 더 크게 반영되므로 왼쪽이 크다.
2 : 3, 3 : 2: 병렬 합성(용량의 합)과 직렬 합성(역수의 합)을 제대로 적용하면 나오지 않는 비다.

도체 내부의 자속밀도는 $B=\dfrac{\mu I\rho}{2\pi a^{2}}$로, 축으로부터의 거리에 비례한다.
앙페르 법칙에서 반지름 $\rho$인 원이 둘러싸는 전류는 단면적 비율만큼인 $I\dfrac{\rho^{2}}{a^{2}}$이다.
$H\cdot 2\pi\rho=I\dfrac{\rho^{2}}{a^{2}}$
$H=\dfrac{I\rho}{2\pi a^{2}},\quad B=\mu H=\dfrac{\mu I\rho}{2\pi a^{2}}$
$\dfrac{\mu I}{2\pi\rho}$: 전체 전류를 둘러싸는 도체 외부의 식이다.
$\dfrac{\mu I}{\pi\rho}$: 외부 식에서 분모의 2까지 빠진 값이다.
$\dfrac{\mu I\rho}{\pi a^{2}}$: 원주 길이 $2\pi\rho$의 2를 빠뜨린 값이다.

주어진 정보로 알 수 없는 것은 포인팅 벡터이다. 전력 밀도를 구하려면 자계, 즉 매질의 고유 임피던스가 필요하다.
평균 전력 밀도는 $\dfrac{E_{x0}^{2}}{2\eta}$ 꼴인데, $\eta=\sqrt{\mu/\epsilon}$은 위상 상수 $\beta(\omega)=\omega\sqrt{\mu\epsilon}$만으로는 $\mu$와 $\epsilon$을 분리할 수 없어 정해지지 않는다.
군속도: $v_g=\dfrac{d\omega}{d\beta}$이므로 $\beta(\omega)$에서 바로 구한다.
위상속도: $v_p=\dfrac{\omega}{\beta}$로 구한다.
편파특성: 전계가 $x$ 방향 한 성분뿐이므로 선형 편파임을 알 수 있다.

선전류는 $I=12\pi\ \mathrm{A}$여야 두 자계가 상쇄된다.
면전류의 자계: $\vec{H}=\dfrac{1}{2}\vec{K}\times\vec{a_n}$, 점이 $z\gt 0$ 쪽이므로 $\vec{a_n}=\vec{a_z}$
$\vec{H_K}=3\,\vec{a_x}\times\vec{a_z}=-3\vec{a_y}$
선전류의 자계: 점 $(0,0,1)$은 선전류에서 $-z$ 방향으로 2 m 떨어져 있다.
$\vec{a_\phi}=\vec{a_x}\times(-\vec{a_z})=\vec{a_y},\quad \vec{H_I}=\dfrac{I}{2\pi\cdot 2}\vec{a_y}=\dfrac{I}{4\pi}\vec{a_y}$
$\dfrac{I}{4\pi}=3\Rightarrow I=12\pi$
$6\pi$: 거리를 1 m로 잡아 $\dfrac{I}{2\pi}=3$으로 푼 값이다.
$9\pi$: 선전류 자계가 $2.25$가 되어 면전류 자계 3과 상쇄되지 않는다.
$15\pi$: 선전류 자계가 $3.75$가 되어 면전류 자계보다 크다.

정육각형 루프 중심의 자계는 여섯 변의 유한 직선 전류 자계의 합으로 $\dfrac{\sqrt{3}\,I}{\pi d}$이다.
중심에서 각 변까지 거리는 $a=\dfrac{\sqrt{3}}{2}d$이고, 각 변은 중심에서 양쪽으로 30°씩 벌어져 보인다.
$H_1=\dfrac{I}{4\pi a}(\sin 30^{\circ}+\sin 30^{\circ})=\dfrac{I}{4\pi a}$
여섯 변의 자계가 모두 같은 방향이므로
$H=6\cdot\dfrac{I}{4\pi a}=\dfrac{3I}{2\pi}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{3}d}=\dfrac{\sqrt{3}\,I}{\pi d}$
$\dfrac{\sqrt{3}\,I}{2\pi d}$는 변의 개수를 셋으로 계산한 절반 값이다.
$\dfrac{I}{\sqrt{3}\,\pi d}$, $\dfrac{I}{2\sqrt{3}\,\pi d}$는 한 변 또는 일부 변의 기여만 반영한 값으로 여섯 변의 합보다 작다.

등속 운동하려면 로렌츠 힘이 0이어야 하므로 $B_0=2$이다.
$\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})=0$
$\vec{v}\times\vec{B}=5\vec{a_x}\times B_0\vec{a_z}=-5B_0\vec{a_y}$
$10-5B_0=0\Rightarrow B_0=2\ \mathrm{Wb/m^{2}}$
$B_0=-2$: 외적 $\vec{a_x}\times\vec{a_z}=-\vec{a_y}$의 부호를 반대로 잡은 값이다.
$B_0=50$: 전계와 속도를 곱한 값으로, 힘의 균형 조건 $B_0=E/v$와 맞지 않는다.
$B_0=-50$: 같은 곱셈 오류에 부호까지 반대로 잡은 값이다.

B 도선은 두 도선 모두와 반대 방향 전류라 두 반발력이 60°로 합쳐져 가장 큰 힘을 받는다.
평행 전류는 같은 방향이면 흡인, 반대 방향이면 반발하며 쌍마다 크기 $f=\dfrac{\mu_0 I^2}{2\pi l}$로 같다. A와 C는 들어가는 방향, B는 나오는 방향이다.
B는 A와 C로부터 각각 멀어지는 반발력을 받는데 두 힘의 사잇각이 60°라 합력은 $2f\cos 30^{\circ}=\sqrt{3}f$이다. 반면 A와 C는 흡인력 하나와 반발력 하나를 사잇각 120°로 받아 합력이 f에 그친다.
A: C로의 흡인과 B로부터의 반발이 120°를 이루어 합력이 f이다.
C: A로의 흡인과 B로부터의 반발이 120°를 이루어 합력이 f이다.
모두 동일: 전류 방향 구성이 달라 합력의 크기가 다르다.

파수 벡터의 크기가 $5\pi$이므로 파장은 0.4 m이다.
파수: $k=\sqrt{(3\pi)^{2}+(4\pi)^{2}}=5\pi\ \mathrm{rad/m}$
파장: $\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{5\pi}=0.4\ \mathrm{m}$
파장 0.7 m: $x$ 성분 파수 $3\pi$만 써서 얻은 근삿값(약 0.67)이다.
파장 0.1 m: 두 성분을 합성한 파수 $5\pi$와 맞지 않는다.
파장 1.2 m: 파수가 $2\pi/1.2$가 되어 주어진 전계와 맞지 않는다.

필요한 일은 $\dfrac{Q}{2\pi\epsilon_0}\ln 2$ nJ이다. 무한 선전하의 전위는 선으로부터의 거리에만 의존한다.
두 점의 $z$축까지 거리는 $\rho_A=2$, $\rho_B=1$이며 $z$ 좌표는 무관하다.
$V_B-V_A=\dfrac{\rho_L}{2\pi\epsilon_0}\ln\dfrac{\rho_A}{\rho_B}=\dfrac{10^{-9}}{2\pi\epsilon_0}\ln 2$
$W=Q(V_B-V_A)=\dfrac{Q}{2\pi\epsilon_0}\ln 2\ \mathrm{nJ}$
$\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\ln 2$: 선전하 전위의 계수 $2\pi$를 점전하의 $4\pi$로 바꾼 값이다.
$\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0\ln 2}$: 계수 오류에 더해 로그가 분모로 간 형태다.
$\dfrac{Q}{2\pi\epsilon_0\ln 2}$: 전위차는 거리비의 로그에 비례하므로 로그가 분모에 올 수 없다.

경계면 법선이 z축이므로 전계의 접선 성분은 연속, 전속밀도의 법선 성분은 연속을 적용하면 $\tan\theta_2=\dfrac{5}{2}$이다.
매질 1의 접선 성분은 x, y 성분으로 크기 $\sqrt{3^2+4^2}=5$, 법선 성분은 z 성분 3이다.
법선 성분: $\epsilon_{r1}E_{1n}=\epsilon_{r2}E_{2n}$ → $E_{2n}=\dfrac{2\times 3}{3}=2$
접선 성분: $E_{2t}=5$
$\tan\theta_2=\dfrac{E_{2t}}{E_{2n}}=\dfrac{5}{2}$
$\dfrac{3}{2}$: 접선 성분으로 x 성분 3만 쓴 값으로, 접선 성분의 크기는 x·y 성분을 합성한 5다.
$\dfrac{1}{2}$, 1: 접선 성분 5와 법선 성분 2의 비보다 작아, 경계 조건으로 구한 각과 맞지 않는다.

직선 부분은 원점을 지나는 직선 위에 있어 기여가 없고 반원 부분만 자계를 만들므로 $B=12.5\mu$, 방향은 -z축이다.
두 직선 도선은 연장선이 원점을 지나므로 $d\vec{l}\times\hat{r}=0$이 되어 원점 자계에 기여하지 않는다.
반원 전류의 중심 자속밀도는 원형 루프의 절반이다.
$B=\dfrac{\mu I}{4a}=\dfrac{\mu\times 5}{4\times 0.1}=12.5\mu$
전류가 반원을 시계 방향으로 돌므로 오른손 법칙에 따라 원점의 자계는 지면으로 들어가는 -z 방향이다.
크기 $25\mu$: 원형 루프 전체의 값 $\dfrac{\mu I}{2a}$를 쓴 것으로 반원에는 해당하지 않는다.
+z축 방향: 반시계 방향 전류일 때의 방향이다.

자속밀도가 시간에 따라 변하고 회로 면적도 늘어나므로 쇄교 자속 전체의 시간 변화율을 구하면 유도기전력은 $40t$이다.
시각 t에서 막대 위치 $x=2t$, 레일 간격 1 m이므로 면적 $S=2t$이다.
$\Phi=B S=10t\times 2t=20t^2$
$V_o=\left|\dfrac{d\Phi}{dt}\right|=40t$
$80t$: 미분 계수를 두 배로 잘못 잡은 값이다.
$40t^2$, $80t^2$: 자속을 미분하지 않거나 변압기 기전력과 운동 기전력을 따로 더하는 과정에서 차원을 잘못 맞춘 값이다. 두 기전력은 각각 $20t$로 합이 $40t$이다.

$\vec{F}=I\vec{l}\times\vec{B}$를 각 변에 적용하면 좌측 빗변 -z, 우측 빗변 -z, 밑변 +z이다.
반시계 방향 전류의 각 변 방향 벡터와 $\vec{B}=2\vec{a_y}$의 외적 z 성분을 구한다.
좌측 빗변: $(-0.5,-1,0)\times(0,2,0)$ → z 성분 $-1$
우측 빗변: $(-0.5,1,0)\times(0,2,0)$ → z 성분 $-1$
밑변: $(1,0,0)\times(0,2,0)$ → z 성분 $+2$
세 변이 모두 +z, +z, -z인 조합: 부호가 정확히 반대로, 시계 방향 전류일 때의 결과다.
좌측 -z, 우측 +z, 밑변 +z: 두 빗변은 y 방향 성분이 반대여도 x 방향 성분이 같아 같은 방향의 힘을 받는다.
좌측 +z, 우측 -z, 밑변 +z: 같은 이유로 두 빗변의 힘 방향이 갈릴 수 없다.

전도전류와 변위전류의 비는 $\dfrac{\sigma}{\omega\epsilon}=1.08\times10^{9}$이다.
전류 비: $\dfrac{I_c}{I_d}=\dfrac{\sigma E}{\omega\epsilon E}=\dfrac{\sigma}{\omega\epsilon}$
$\omega\epsilon_0=2\pi\times10^{9}\times\dfrac{10^{-9}}{36\pi}=\dfrac{1}{18}$
$\dfrac{I_c}{I_d}=6\times10^{7}\times18=1.08\times10^{9}$
$5.4\times10^{8}$: $\omega\epsilon_0$를 $1/9$로 두 배 크게 잡은 값이다.
$2.16\times10^{9}$: $\omega\epsilon_0$를 $1/36$로 절반만 잡은 값이다.
$5.4\times10^{9}$: 정답의 5배로, $\sigma/(\omega\epsilon_0)$ 계산 결과와 맞지 않는다.

유전체 내부 전계의 최댓값은 $\dfrac{1}{2}E_0$이다. 투과계수 $\tau=\dfrac{2\eta_2}{\eta_2+\eta_1}$로 구한다.
$\eta_2=\dfrac{\eta_0}{\sqrt{\epsilon_r}}=\dfrac{\eta_0}{3}$
$\tau=\dfrac{2(\eta_0/3)}{\eta_0/3+\eta_0}=\dfrac{2/3}{4/3}=\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{4}E_0$: 반사 전력 비율 $|\Gamma|^{2}=\dfrac{1}{4}$과 혼동한 값이다.
$E_0$: 반사가 없다고 본 값이다. 두 매질의 임피던스가 달라 일부가 반사된다.
$\dfrac{3}{2}E_0$: 투과계수 분자를 입사측 $2\eta_1$로 뒤바꾼 값이다.

경계면에 수직인 전계에서는 전속밀도 D가 연속이므로 도체 표면 전하밀도는 $1{,}000\epsilon_0$이다.
공기 중 전속밀도 $D=\epsilon_0E_2=1{,}000\epsilon_0$이고, 공기－유전체 경계에 자유전하가 없어 유전체 내부에서도 D가 같다.
완전도체 표면에서는 $\rho_s=D_n$이므로
$\rho_s=1{,}000\epsilon_0\ \mathrm{C/m^2}$
$400\epsilon_0$: 유전체 내 전계 $E_1=400$ V/m에 $\epsilon_0$만 곱한 값으로, 유전율 2.5배를 빠뜨렸다.
400, 1,000: 전계 값을 그대로 쓴 것으로 유전율이 곱해지지 않아 전하밀도의 단위가 되지 않는다.

정재파비 2에서 반사계수 크기가 $\dfrac{1}{3}$이므로 비유전율은 4이다.
반사계수: $|\Gamma|=\dfrac{S-1}{S+1}=\dfrac{2-1}{2+1}=\dfrac{1}{3}$
$\eta_2=\dfrac{\eta_0}{n},\ n=\sqrt{\epsilon_r}$로 두면 $|\Gamma|=\dfrac{n-1}{n+1}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow n=2$
$\epsilon_r=n^{2}=4$
비유전율 1: 두 매질이 같아 반사가 없으므로 정재파비가 1이 된다.
비유전율 2: 굴절률 $\sqrt{\epsilon_r}=2$를 비유전율로 착각한 값이다.
비유전율 9: $n=3$이 되어 $|\Gamma|=\dfrac{1}{2}$, 정재파비 3에 해당한다.

원점 전하를 정육면체 8개가 꼭짓점으로 공유하고, 한 정육면체에서 전하에 닿지 않는 세 면이 선속을 나눠 가지므로 면 A의 선속은 $\dfrac{Q}{24\epsilon_0}$이다.
원점을 둘러싸도록 같은 정육면체 8개를 붙이면 전체 선속은 $\dfrac{Q}{\epsilon_0}$이므로 한 정육면체를 통과하는 선속은 $\dfrac{Q}{8\epsilon_0}$이다.
원점을 포함한 세 좌표면(x=0, y=0, z=0) 위의 면은 전계가 면에 평행해 선속이 0이다. 나머지 세 면은 대칭이라 균등하게 나눈다.
$\Phi_A=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{Q}{8\epsilon_0}=\dfrac{Q}{24\epsilon_0}$
$\dfrac{Q}{8\epsilon_0}$: 정육면체 전체를 통과하는 선속으로 한 면의 값이 아니다.
$\dfrac{Q}{12\epsilon_0}$: 한 정육면체의 선속을 세 면이 아니라 두 면에만 나눈 값이다.
$\dfrac{Q}{4\epsilon_0}$: 전하가 꼭짓점에 있다는 점을 반영하지 않은 과대값이다.

원판을 지나는 자속은 $2\pi a^{3}$ Wb이다. 자속은 벡터 퍼텐셜의 선적분으로 바로 구한다.
$\Phi=\oint\vec{A}\cdot d\vec{l}=A_\phi(a)\cdot 2\pi a=a^{2}\cdot 2\pi a=2\pi a^{3}$
검산: $B_z=\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial(\rho A_\phi)}{\partial\rho}=3\rho,\quad \Phi=\int_0^{a}3\rho\cdot 2\pi\rho\,d\rho=2\pi a^{3}$
$0$: $\vec{A}$가 원주 방향 성분을 가지므로 순환 적분이 0이 아니다.
$\pi a^{3}$: 원주 길이 $2\pi a$의 2를 빠뜨린 값이다.
$4\pi a^{3}$: 계수를 두 배로 잡은 값이다.

단위길이당 자기 인덕턴스는 $\mu n^{2}S=\pi\ \mathrm{H/m}$이다.
단위길이당 권선수: $n=\dfrac{2000}{2}=1000$ 회/m
$\mu=\mu_r\mu_0=4\pi\times10^{-4},\quad S=25\times10^{-4}\ \mathrm{m^{2}}$
$\dfrac{L}{l}=\mu n^{2}S=4\pi\times10^{-4}\times10^{6}\times25\times10^{-4}=\pi$
$\dfrac{\pi}{2}$: 길이로 한 번 더 나눈 값이다.
$2\pi$: 전체 인덕턴스 $L=\mu n^{2}Sl$로, 단위길이로 나누지 않은 값이다.
$4\pi$: 길이 보정 없이 $\mu N^{2}S$를 계산한 값이다.

정전류에서는 기자력이 일정하고 자기저항이 공극 길이에 비례하므로, 흡인력은 $x$의 제곱에 반비례한다.
비투자율이 매우 커서 철심 자기저항은 공극 자기저항에 비해 무시할 수 있다. 공극이 두 곳이므로
$\Phi=\dfrac{NI}{2x/(\mu_0 S)}=\dfrac{\mu_0 S N I}{2x}$
두 공극 면에 작용하는 흡인력은
$F=2\cdot\dfrac{B^2 S}{2\mu_0}=\dfrac{\Phi^2}{\mu_0 S}=\dfrac{\mu_0 S N^2 I^2}{4x^2}$
$x$에 비례: 공극이 커질수록 자속이 줄어 힘도 줄어든다.
$x$의 제곱에 비례: 같은 이유로 증가 관계가 될 수 없다.
$x$에 반비례: 자속이 $1/x$이고 힘은 자속의 제곱에 비례하므로 지수가 하나 모자란다.

1/4 파장 선로로 부하를 신호원 내부 임피던스에 정합시키면 되므로 특성 임피던스는 80 Ω이다.
1/4 파장 변환기: $Z_{in}=\dfrac{Z_0^{2}}{Z_L}$이고, 최대 전력 전달 조건은 $Z_{in}=40\ \Omega$이다.
$Z_0=\sqrt{Z_{in}Z_L}=\sqrt{40\times160}=80\ \Omega$
특성 임피던스 40 Ω: 입력 임피던스가 $40^{2}/160=10\ \Omega$이 되어 정합되지 않는다.
특성 임피던스 120 Ω: 입력 임피던스가 $120^{2}/160=90\ \Omega$이 된다.
특성 임피던스 160 Ω: 입력 임피던스가 $160\ \Omega$ 그대로 남는다.

두 성분의 진폭이 같고 위상차가 $n\pi$이므로 선형 편파이다.
위상차가 π의 정수배이면 두 성분이 항상 같은 비율로 변해 전계 벡터 끝이 한 직선 위를 왕복한다. $n$이 짝수면 $\vec{a_x}+\vec{a_y}$, 홀수면 $\vec{a_x}-\vec{a_y}$ 방향의 직선이다.
타원 편파: 위상차가 π의 정수배가 아니고 원형 조건도 만족하지 않을 때 생긴다.
음의 원형 편파: 진폭이 같고 위상차가 $\pm\pi/2$일 때 생기며, 위상차 $n\pi$와 맞지 않는다.
양의 원형 편파: 마찬가지로 위상차 $\pm\pi/2$가 필요하므로 해당하지 않는다.