[9급 지방직 응용역학개론] 26년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

B점의 수직반력은 8 kN(상향)이다.
A점에 대한 모멘트 평형을 세운다.
$\sum M_A=0:\ R_B\times 3-6\times 4=0$
$R_B=\dfrac{24}{3}=8\ \mathrm{kN}$
참고로 $R_A=6-8=-2\ \mathrm{kN}$으로 A점 반력은 하향이다. 내민 부분의 하중이 지점 B를 지렛목으로 삼아 반력을 키운다.
6 kN: 하중 크기를 그대로 반력으로 본 값으로, 지렛대 효과(4 m/3 m)를 빠뜨렸다.
10 kN·12 kN: 모멘트 팔 길이를 잘못 잡은 값으로 평형식을 만족하지 않는다.

이 라멘의 부정정 차수는 8차이다.
지점 반력 수 r: 고정지점 3개(3×3=9), 기둥 하단 힌지지점 1개(2), 보 우단 힌지지점 1개(2) → $r=13$.
보와 기둥은 지면을 빼면 닫힌 고리가 없는 나무 구조이므로 $N=r-3-h$를 쓴다. 보 중간의 내부 힌지 2개(각각 두 부재 연결, 해제 1씩)로 $h=2$.
$N=13-3-2=8$
9차: 내부 힌지 하나를 빠뜨린 값이다.
10차: 내부 힌지 해제를 전혀 빼지 않은 값이다.
11차: 반력 13에서 내부 힌지 2개만 빼고 평형식 3개를 빼지 않은 값이다.

$I_X:I_x$는 1 : 4이다.
도심축: $I_X=\dfrac{bh^3}{12}$
하단 축(평행축 정리): $I_x=\dfrac{bh^3}{12}+bh\left(\dfrac{h}{2}\right)^2=\dfrac{bh^3}{3}$
따라서 $I_x=4I_X$로, 도심축에 대한 값이 가장 작다.
1 : 0.5: 도심축이 최소라는 성질에 어긋난다.
1 : 2: 평행축 항을 절반만 반영한 값이다.
1 : 3: 분모를 혼동해 비율을 잘못 잡은 값이다.

부재의 축강성 EA는 $\mathbf{15\times10^{6}}\ \mathrm{N}$이다.
단면적: $A=\dfrac{\pi d^2}{4}=\dfrac{3\times10^2}{4}=75\ \mathrm{mm^2}$
탄성계수: $E=200\ \mathrm{GPa}=2\times10^{5}\ \mathrm{N/mm^2}$
$EA=2\times10^{5}\times75=1.5\times10^{7}\ \mathrm{N}$로, 단위가 N인 것은 축강성을 EA로 정의했기 때문이다(길이로 나눈 강성 EA/L과 구분).
$5\times10^{6}$: 단면적을 25 mm² 수준으로 잘못 계산한 값이다.
$10\times10^{6}$: 단면적 산정 오류로 나온 값이다.
$20\times10^{6}$: 단면적을 $d^2=100\ \mathrm{mm^2}$로 잘못 잡은 값이다.

부재 BC의 축력 크기는 8 kN이다.
절점 C에서 수평부재 AC는 수직 성분이 없으므로 수직 평형은 BC가 전담한다.
$F_{BC}\sin60^{\circ}=4\sqrt{3}$
$F_{BC}=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2}=8\ \mathrm{kN}$
수평 평형에서 $F_{AC}=F_{BC}\cos60^{\circ}=4\ \mathrm{kN}$이다.
4 kN: AC 부재의 축력 크기로, BC와 혼동한 값이다.
$4\sqrt{3}$ kN: 하중을 그대로 축력으로 본 값이다.
$8\sqrt{3}$ kN: sin 대신 cos로 나눈 등 각도 분해를 잘못한 값이다.

최대수직처짐은 $\dfrac{5}{6}\ \mathrm{kN\cdot m^3/EI}$로, 중앙 C점에서 생긴다.
단순보 등분포하중의 중앙 처짐 공식: $\delta_{max}=\dfrac{5wL^4}{384EI}$
대입: $w=4\ \mathrm{kN/m},\ L=2\ \mathrm{m}$
$\delta_{max}=\dfrac{5\times4\times2^4}{384EI}=\dfrac{320}{384EI}=\dfrac{5}{6EI}$
$\dfrac{1}{3}$: 공식 계수를 잘못 쓴 값이다.
$\dfrac{5}{3}$: 계산값의 2배로, 분모를 192로 쓴 오류다.
$\dfrac{5}{2}$: 공식 계수 5/384를 벗어난 값이다.

C점의 전단력은 0이다.
하중이 좌우 대칭(양쪽 내민 부분에 50 kN/m × 4 m)이므로 $R_A=R_B=\dfrac{200+200}{2}=200\ \mathrm{kN}$이다.
C점 왼쪽 자유물체: $V_C=-50\times4+200=0$
대칭 구조·대칭 하중의 대칭축에서 전단력은 0이 된다.
−200 kN·200 kN: 반력이나 분포하중 합력 하나만 반영한 값이다.
100 kN: 반력을 절반으로 잘못 나눈 값이다.

합력 작용점은 A지점에서 $\dfrac{8}{3}\ \mathrm{m}$이다.
삼각형 분포하중의 합력은 삼각형의 도심, 즉 큰 쪽(하중 6 kN/m인 B 쪽)에서 L/3, 작은 쪽(A)에서 2L/3 위치에 작용한다.
$x=\dfrac{2}{3}\times4=\dfrac{8}{3}\ \mathrm{m}$ (합력 크기 $\tfrac{1}{2}\times6\times4=12\ \mathrm{kN}$)
$\dfrac{4}{3}$ m: B에서 잰 거리로, 기준점을 반대로 잡은 값이다.
2 m: 등분포하중처럼 중앙에 둔 값이다.
3 m: 도심 위치와 무관한 값이다.

부재력이 0인 부재는 BH와 CG이다.
절점 H: 부재 AH·HG가 일직선이고 하중이 없으므로 나머지 한 부재 BH의 부재력은 0이다.
절점 C: 부재 BC·CD가 일직선이고 하중이 없으므로 나머지 한 부재 CG의 부재력은 0이다(세 부재 절점 중 두 부재가 일직선이면 나머지는 0).
CD, DE: 상현재와 경사재로 하중을 전달하므로 부재력이 있다.
AB, BH: AB는 지점 A의 반력을 전달하는 경사재로 0이 아니다.
BC, BG: 상현재와 사재로 G점 하중의 전단을 받으므로 0이 아니다.

C점의 전단력 크기는 6 kN이다.
게르버보는 힌지 C에서 끊어 매달린 보 CB(C–롤러 B, 길이 6 m)부터 푼다. 10 kN은 C에서 2 m, 시계방향 4 kN·m는 C에서 4 m 위치다.
$\sum M_B=0:\ -R_C\times6+10\times4-4=0$
$R_C=\dfrac{36}{6}=6\ \mathrm{kN}$
힌지에서 전달되는 힘이 곧 C점 전단력이다.
5 kN: 집중하중을 지간 중앙에 있는 것처럼 절반으로 나눈 값이다.
7 kN·8 kN: CB 구간의 모멘트 평형을 만족하지 않는 값이다.

최대휨응력은 3.0 MPa이다.
최대휨모멘트(지간 중앙): $M=\dfrac{wL^2}{8}=\dfrac{2\times10^2}{8}=25\ \mathrm{kN\cdot m}$
단면계수: $Z=\dfrac{bh^2}{6}=\dfrac{200\times500^2}{6}=\dfrac{5\times10^{7}}{6}\ \mathrm{mm^3}$
$\sigma=\dfrac{M}{Z}=\dfrac{25\times10^{6}\times6}{5\times10^{7}}=3.0\ \mathrm{MPa}$
1.5 MPa: 단면계수를 2배로 잡는 등 $bh^{2}/6$을 잘못 쓴 값이다.
2.0 MPa: 모멘트를 지간 일부만으로 계산한 값이다.
2.5 MPa: 단면 치수를 바꿔 넣는 등 계산 오류 값이다.

옳지 않은 것은 중앙이 최대인 삼각형 분포하중을 받는 단순보의 SFD를 직선으로 그린 것이다.
분포하중이 선형으로 변하면 전단력은 하중의 적분이므로 2차 곡선이 된다. 반력 $\dfrac{wL}{4}$는 맞지만, 지점에서 중앙으로 갈수록 곡선을 그리며 0이 되어야 한다.
자유단 집중하중 P의 캔틸레버: 전 구간 전단력이 −P로 일정하므로 옳다.
L/3 지점에 모멘트하중 M을 받는 단순보: 반력이 ∓M/L이라 전 구간 −M/L로 일정하므로 옳다.
3등분점에 P 두 개를 받는 단순보: 반력 P씩, 양 끝 구간 ±P·가운데 0이므로 옳다.

(나)의 최대처짐은 (가)의 5배이다.
(가) 단순보 중앙 집중하중: $\delta=\dfrac{PL^3}{48EI}$
(나) 캔틸레버, 고정단에서 a=L/2 위치 하중 → 자유단 처짐
$\delta=\dfrac{Pa^3}{3EI}+\dfrac{Pa^2}{2EI}(L-a)=\dfrac{PL^3}{24EI}+\dfrac{PL^3}{16EI}=\dfrac{5PL^3}{48EI}$
비 $=\dfrac{5PL^3/48EI}{PL^3/48EI}=5$. 하중점 이후 구간의 처짐각에 의한 추가 처짐을 빠뜨리지 않는 것이 핵심이다.
3: 처짐각에 의한 추가 처짐을 빠뜨리거나 잘못 잡은 값이다(하중점 처짐만 쓰면 비는 2).
7·9: 처짐각 항을 과대 반영한 값이다.

최대전단응력 비(직사각형 : 원형)는 9 : 8이다.
직사각형: $\tau_{max}=\dfrac{3}{2}\dfrac{V}{A}$
원형: $\tau_{max}=\dfrac{4}{3}\dfrac{V}{A}$
전단력 V(=P/2)와 단면적 A가 같으므로 $\dfrac{3}{2}:\dfrac{4}{3}=9:8$. 직사각형이 더 크다.
8 : 9: 비의 순서를 뒤집은 값이다.
3 : 4, 4 : 3: 계수 3/2와 4/3을 분모·분자로 섞은 값이다.

두 반력이 같아지려면 P = wL이어야 한다.
등분포하중은 왼쪽 끝~A 오른쪽 L까지 2L 구간이므로 합력 2wL이 A점에 작용한다. P는 A에서 3L, B는 A에서 2L 위치다.
$\sum M_A=0:\ R_B\times2L=P\times3L \Rightarrow R_B=1.5P$
$R_A=2wL+P-1.5P=2wL-0.5P$
$R_A=R_B:\ 2wL=2P \Rightarrow P=wL$
wL/2: $R_A=1.75wL,\ R_B=0.75wL$로 A 반력이 더 크다.
2wL·4wL: $R_B=1.5P$가 커져 B 반력이 A 반력보다 커진다.

등가 모멘트의 크기는 Pb이다.
(가) 반력: $R_A=\dfrac{Pb}{a+b},\ R_B=\dfrac{Pa}{a+b}$
(나)에서 롤러 바로 위의 P는 B 반력으로만 가므로, A 반력은 모멘트 M만으로 생긴다.
$\sum M_B=0:\ R_A(a+b)=M \Rightarrow M=R_A(a+b)=Pb$
이때 $R_B=P-\dfrac{Pb}{a+b}=\dfrac{Pa}{a+b}$로 (가)와 일치한다.
Pa: A·B 반력을 바꿔 놓은 값이다.
P(a+b): R_A를 P 전체로 본 값이다.
Pa/(a+b): B 반력 크기로, 모멘트 차원이 아니다.

C지점의 휨모멘트 크기는 25 kN·m이다.
등지간 2경간 연속보에 전 구간 등분포하중이 작용하면 중간지점 모멘트는 $wL^{2}/8$이다(3연모멘트법: $2M_C(L+L)=-\dfrac{wL^3}{4}\times2$).
$M_C=\dfrac{wL^2}{8}=\dfrac{8\times5^2}{8}=25\ \mathrm{kN\cdot m}$ (부모멘트)
10·16 kN·m: 지간 내 정모멘트($9wL^{2}/128$≈14) 등과 혼동한 값이다.
40 kN·m: 한 경간 하중 $wL=40\ \mathrm{kN}$을 모멘트로 혼동한 값이다.

옳지 않은 것은 주평면의 주각 식에 제곱근을 씌운 설명이다. 주각은 제곱근 없이 $\tan 2\theta_p=\dfrac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}$에서 구한다.
따라서 올바른 식은 $\theta_p=\dfrac{1}{2}\tan^{-1}\left(\dfrac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}\right)$이며, 모아원에서 기준점과 주응력점 사이의 각이 실제 각의 2배($2\theta_p$)로 나타나는 데서 나온다.
모아원의 중심: 가로축 위 평균 수직응력 $\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}$ 위치이며 전단응력은 0이므로 옳다.
주응력: 중심에서 반경 $R$만큼 좌우로 떨어진 두 점이므로 $\sigma_{1,2}=\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm R$로 옳다.
최대전단응력: 모아원의 최상단·최하단 점의 세로좌표이므로 반경 $R$과 같아 옳다.

봉부재의 탄성계수는 $\mathbf{1.5\times10^{5}}\ \mathrm{MPa}$이다.
자유 열팽창량: $\delta_T=\alpha\Delta T L=1.0\times10^{-5}\times40\times5000=2.0\ \mathrm{mm}$
간극 1 mm를 채운 뒤 나머지 1 mm가 구속되어 압축응력을 만든다.
$\varepsilon=\dfrac{1}{5000}=2\times10^{-4}$, $E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon}=\dfrac{30}{2\times10^{-4}}=1.5\times10^{5}\ \mathrm{MPa}$
$1.0\times10^{5}$: 구속량을 1.5 mm로 본 것과 같은 값으로, 간극 공제가 맞지 않는다.
$1.2\times10^{5}$: 구속 변형률 $2\times10^{-4}$와 30 MPa의 관계를 만족하지 않는다.
$2.0\times10^{5}$: 구속량을 0.75 mm로 줄여 본 것과 같은 값이다.

단면의 변 h는 20 cm이다.
(가) x–z 평면: 하단 고정·상단 수평 구속(회전 자유) → $K=0.7$, x방향 좌굴이므로 $I=\dfrac{hb^3}{12}$.
(나) y–z 평면: 하단 고정·상단 자유 → $K=2$, y방향 좌굴이므로 $I=\dfrac{bh^3}{12}$.
$\dfrac{\pi^2E\,hb^3/12}{(0.7L)^2}=\dfrac{\pi^2E\,bh^3/12}{(2L)^2}$
$\dfrac{h}{b}=\dfrac{2}{0.7}\Rightarrow h=\dfrac{2}{0.7}\times7=20\ \mathrm{cm}$
7 cm: 두 평면의 유효길이계수 차이를 무시한 정사각형 값이다.
14 cm: K 비를 2(고정-자유 대 양단 힌지)로 본 값이다.
28 cm: K 비를 4(고정-자유 대 양단 고정 0.5)로 본 값이다.