[9급 지방직 응용역학개론] 16년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

좌굴하중이 가장 큰 것은 길이 20 m의 양단 고정 기둥(c)이다.
오일러 좌굴하중은 $P_{cr}=\dfrac{\pi^2EI}{(KL)^2}$이므로 EI가 같으면 유효길이 KL이 짧을수록 크다.
양단 고정은 K=0.5이므로 $KL=0.5\times20=10\,\mathrm{m}$로 네 기둥 중 가장 짧다.
(a) 일단 고정·타단 자유 10 m 기둥: K=2, $KL=20\,\mathrm{m}$이다.
(b) 양단 힌지 20 m 기둥: K=1, $KL=20\,\mathrm{m}$이다.
(d) 일단 고정·타단 힌지 20 m 기둥: K=0.7, $KL=14\,\mathrm{m}$로 (c)보다 길다.

합력은 √37 kN, 방향은 $\alpha=\cos^{-1}\left(\dfrac{5}{R}\right)$이다.
3 kN은 x축에서 15°, 4 kN은 y축에서 15°(x축에서 75°)이므로 두 힘 사이각은 60°이다.
$R^2=4^2+3^2+2\times4\times3\times\cos60^\circ=37$
$R=\sqrt{37}\,\mathrm{kN}$
α는 3 kN 방향과 R 사이 각이다. R의 3 kN 방향 성분은 $3+4\cos60^\circ=5\,\mathrm{kN}$이므로 $\cos\alpha=\dfrac{5}{R}$이다.
√37과 $\cos^{-1}\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{R}\right)$의 조합은 크기는 맞지만, 3 kN 방향 성분은 $2\sqrt{3}$가 아니라 5 kN이므로 방향이 틀렸다.
√61과 $\cos^{-1}\left(\dfrac{5}{R}\right)$의 조합은 방향식은 맞지만 크기가 코사인 법칙 결과(√37)와 다르다.
√61과 $\cos^{-1}\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{R}\right)$의 조합은 크기와 방향이 모두 틀렸다.

인장응력 구역의 넓이는 4 m²이다.
단면 4 m×3 m, 하중은 도심축에서 e=2 m 떨어진 단면 가장자리 C에 작용한다.
$A=4\times3=12\,\mathrm{m^2}$, $I=\dfrac{3\times4^3}{12}=16\,\mathrm{m^4}$
C 반대쪽으로 도심에서 x 떨어진 곳의 응력은 $\sigma=-\dfrac{P}{A}+\dfrac{Pe}{I}x=P\left(-\dfrac{1}{12}+\dfrac{x}{8}\right)$이다.
σ=0에서 $x=\dfrac{2}{3}\,\mathrm{m}$이므로 중립축은 도심에서 2/3 m이다.
인장 구역 폭은 $2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}\,\mathrm{m}$, 넓이는 $\dfrac{4}{3}\times3=4\,\mathrm{m^2}$이다.
2 m²는 인장 구역 폭을 2/3 m로 잡은 값이다.
3 m²는 폭을 1 m로 잡은 값으로 중립축 위치와 맞지 않는다.
5 m²는 인장 구역을 실제보다 넓게 잡은 값이다.

부재 CG의 부재력은 1000√2 kN(인장)이다.
BC, CG, GF를 자르는 단면으로 왼쪽 부분(A·B·G)을 취한다. 수평 부재 BC·GF는 연직 성분이 없으므로 ΣFy 평형은 CG만으로 성립한다.
$F_{CG}\sin45^\circ-1000=0$
$F_{CG}=1000\sqrt{2}\,\mathrm{kN}$
값이 양(+)이므로 절점에서 멀어지는 방향, 즉 인장이다.
압축 부재라는 설명은 틀렸다 — 부재력은 인장이다.
2000 kN은 연직 성분과 부재력의 관계(sin45°)를 잘못 적용한 값이다.
1000 kN은 CG의 연직 성분일 뿐 부재력 자체가 아니다.

B점의 회전각은 $\dfrac{PL^2}{8EI}$이다.
하중 P 오른쪽(L/2~L) 구간은 모멘트가 0이라 곧게 남으므로 B의 회전각은 하중점의 회전각과 같다.
길이 a인 외팔보 끝 집중하중의 처짐각 $\theta=\dfrac{Pa^2}{2EI}$에 $a=\dfrac{L}{2}$를 대입한다.
$\theta_B=\dfrac{P(L/2)^2}{2EI}=\dfrac{PL^2}{8EI}$
$\dfrac{PL^2}{4EI}$는 분모 2를 빠뜨린 값이다.
$\dfrac{PL^2}{6EI}$는 분포하중 처짐각 공식과 혼동한 값이다.
$\dfrac{PL^2}{12EI}$는 회전각을 과소 평가한 값이다.

절대 최대 휨모멘트는 26.32 kN·m이다.
합력 $R=4+8+8=20\,\mathrm{kN}$, 위치는 4 kN에서 $\dfrac{8\times4+8\times8}{20}=4.8\,\mathrm{m}$로 가운데 8 kN과 0.8 m 떨어져 있다.
합력과 가운데 하중의 중간점을 보 중앙에 두면 가운데 하중은 A에서 4.6 m, 합력은 5.4 m에 놓인다.
$R_A=\dfrac{20\times(10-5.4)}{10}=9.2\,\mathrm{kN}$
$M_{max}=9.2\times4.6-4\times4=26.32\,\mathrm{kN\cdot m}$
23.32 kN·m는 최대 모멘트를 일으키는 위치를 잘못 잡은 값이다.
29.32 kN·m는 실제 최대값을 넘는 값이다.
32.32 kN·m도 반력 계산과 맞지 않는 과대값이다.

도심까지 거리는 $y=\dfrac{5}{12}D$이다.
지름 D 원(도심 D/2)에서 위쪽에 접한 지름 D/2 구멍(도심 3D/4)을 뺀다. 면적비는 큰 원 1, 구멍 1/4이다.
$y=\dfrac{1\times\dfrac{D}{2}-\dfrac{1}{4}\times\dfrac{3D}{4}}{1-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{5D/16}{3/4}=\dfrac{5}{12}D$
$\dfrac{3}{12}D$는 구멍의 영향을 과대 평가한 값이다.
$\dfrac{7}{12}D$는 도심이 원 중심(D/2)보다 위로 가는 값인데, 위쪽을 파냈으므로 도심은 아래로 내려가야 한다.

주 변형률의 방향은 −22.5°와 67.5°이다.
주방향 공식: $\tan 2\theta_P=\dfrac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y}$
대입: $\tan 2\theta_P=\dfrac{-200}{300-100}=-1$
결과: $2\theta_P=-45^\circ$이므로 $\theta_P=-22.5^\circ$, 여기에 90°를 더한 $67.5^\circ$가 다른 주방향이다.
전단변형률이 음(−)이므로 주방향은 x축에서 시계 방향(음의 각)으로 돌아간 쪽에 놓인다.
22.5°, 112.5°: 전단변형률의 부호를 양으로 잘못 본 결과다.
45°, 135°: 2θ가 90°가 되려면 두 수직변형률이 같아야 하는데, 여기서는 다르므로 맞지 않다.
−45°, 45°: 2θ가 −90°인 경우도 같은 이유로 성립하지 않는다.

C점의 전단력은 −3 kN, 휨모멘트는 12 kN·m이다.
ΣM$_D$=0: $R_A\times10=10\times7$ → $R_A=7\,\mathrm{kN}$, $R_D=3\,\mathrm{kN}$
C는 하중 오른쪽이므로 $V_C=7-10=-3\,\mathrm{kN}$
$M_C=R_D\times4=3\times4=12\,\mathrm{kN\cdot m}$
(−3, 10)은 휨모멘트를 잘못 계산한 조합이다.
(−7, 14)는 반력 A를 전단력으로 착각한 조합이다.
(−7, 16)도 전단력 부호·크기가 맞지 않는다.

지점 B의 수평 반력은 190 kN이다.
양단 고정 축부재에서 A로부터 a 위치의 축력 P는 먼 쪽 지점에 a/L만큼 분담된다(변형 적합조건).
$R_B=\dfrac{220\times3}{9}+\dfrac{175\times6}{9}=73.3+116.7=190\,\mathrm{kN}$
A의 반력은 $220+175-190=205\,\mathrm{kN}$이다.
200 kN은 두 하중 합(395 kN)을 대략 반씩 나눈 값에 가까워, 하중 위치에 따른 분담을 반영하지 못했다.
210 kN은 분담비를 잘못 적용한 값이다.
220 kN은 한쪽 하중만 B로 보낸 값이다.

옳지 않은 것은 중앙 일부 구간에만 등분포하중이 작용하는 보의 SFD이다.
하중이 없는 구간에서는 $\dfrac{dV}{dx}=0$이므로 전단력이 일정(수평선)해야 한다. 그런데 이 SFD는 지점에서 0으로 시작해 무하중 구간을 경사선으로 그렸다. 실제로는 지점 반력만큼 수평으로 유지되다가 분포하중 구간에서만 직선으로 감소한다.
양 끝에 같은 방향 모멘트가 작용하는 보는 반력이 짝힘을 이루어 전단력이 전 구간 일정한 (−)가 맞다.
집중하중 P$_1$, P$_2$와 부분 등분포하중 보는 집중하중에서 계단, 분포하중 구간에서 직선 감소로 맞게 그렸다.
전 구간 등분포하중 보는 (+)에서 (−)로 직선 감소하는 SFD가 맞다.

하중 P는 10 kN이다.
P는 A에서 2 m 떨어진 브래킷 끝에 연직으로 작용하므로 B에서 왼쪽 1 m 위치의 연직하중과 같다(연직력은 팔 높이와 무관).
ΣM$_B$=0: $R_A\times3=P\times1-10\times1$
$R_A=0$이 되려면 $P=10\,\mathrm{kN}$
5 kN은 C 하중의 팔길이를 절반으로 잡은 값이다.
15 kN이면 B에 대한 모멘트가 $15\times1-10\times1=5\,\mathrm{kN\cdot m}$ 남아 A에 반력이 생긴다.
20 kN은 P의 팔길이를 0.5 m로 잡은 값이다.

최대 집중하중은 960 kN이다.
단면계수: $Z=\dfrac{bh^2}{6}=\dfrac{0.2\times0.6^2}{6}=0.012\,\mathrm{m^3}$
허용 휨모멘트: $M=\sigma_a Z=40000\,\mathrm{kN/m^2}\times0.012\,\mathrm{m^3}=480\,\mathrm{kN\cdot m}$
단순보 중앙 집중하중의 최대 휨모멘트: $M_{max}=\dfrac{PL}{4}$
대입: $\dfrac{P\times2}{4}=480$
결과: $P=960\,\mathrm{kN}$
240 kN: 최대 모멘트를 $PL$로 잡는 등 모멘트를 과대 평가한 값이다.
480 kN: 허용 휨모멘트 값을 그대로 하중으로 착각한 값이다.
1080 kN: 허용 응력을 넘는 하중이라 성립하지 않는다.

전단흐름은 2500 kN/m이다.
얇은 폐단면 튜브의 전단흐름은 $q=\dfrac{T}{2A_m}$이고, A$_m$은 벽 두께 중심선이 둘러싼 면적이다.
$A_m=(310-10)\times(210-10)=60000\,\mathrm{mm^2}=0.06\,\mathrm{m^2}$
$q=\dfrac{300}{2\times0.06}=2500\,\mathrm{kN/m}$
5000 kN/m는 분모의 2를 빠뜨린 값이다.
0.25 kN/m는 단위 환산(mm²→$m^{2})$을 잘못한 값이다.
0.5 kN/m도 단위 환산 오류에 분모 2까지 빠뜨린 값이다.

옳은 것은 폭을 그대로 두고 높이 h를 2배로 하면 처짐이 δ/8이 된다는 설명이다.
단순보 중앙 집중하중 처짐은 $\delta=\dfrac{PL^3}{48EI}$, 직사각형 단면은 $I=\dfrac{bh^3}{12}$이다. h를 2배로 하면 I가 8배($2^3=8$)가 되어 처짐은 1/8이다.
하중을 P/2로 하면 처짐은 δ/2이지 δ/4가 아니다.
폭 b를 2배로 하면 I가 2배이므로 처짐은 δ/2이다.
지간 L을 절반으로 하면 처짐은 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$배인 δ/8이며, δ/6이라는 설명은 틀렸다.

지점 B의 수평 반력은 16/3 kN(←)이다.
전체 ΣM$_A$=0: $V_B\times6=12\times4$ → $V_B=8\,\mathrm{kN}(\uparrow)$
힌지 E 오른쪽(E–D–B)만 취해 ΣM$_E$=0을 쓴다. B는 E에서 수평 4 m, 연직 6 m 아래에 있다.
$8\times4-H_B\times6=0$ → $H_B=\dfrac{16}{3}\,\mathrm{kN}$
V$_B$가 만드는 회전을 막아야 하므로 방향은 왼쪽(←)이다.
14/3(←)은 힌지 위치에서 B까지 수평거리를 잘못 잡은 값이다.
18/3(→)은 크기·방향이 모두 맞지 않는다.
20/3(←)은 지점 A의 수평 반력 크기($12-\dfrac{16}{3}=\dfrac{20}{3}$)이다.

R$_A$는 1 kN(↑), R$_B$는 1 kN(↓)이다.
작용 모멘트는 A의 20 kN·m(반시계), 중앙의 10 kN·m(시계), B의 10 kN·m(반시계)이다. 합은 $20-10+10=20\,\mathrm{kN\cdot m}$(반시계)이다.
반력은 이를 상쇄하는 시계방향 짝힘이어야 한다.
$R=\dfrac{20}{20}=1\,\mathrm{kN}$
시계방향 짝힘이므로 A는 위, B는 아래로 작용한다.
A 아래·B 위 1 kN은 짝힘 방향을 반대로 잡은 것이다.
A 위·B 아래 2 kN은 모멘트 합을 40 kN·m로 잘못 더한 값이다.
A 아래·B 위 2 kN은 크기와 방향이 모두 틀렸다.

지점 A의 휨모멘트는 −125 kN·m이다.
일단 고정·타단 이동지점 보에 등분포하중이 작용하면 고정단 모멘트는 $-\dfrac{wL^2}{8}$이다(B의 처짐 0 조건으로 $R_B=\dfrac{3wL}{8}$).
$M_A=-\dfrac{10\times10^2}{8}=-125\,\mathrm{kN\cdot m}$
−135 kN·m는 $\dfrac{wL^2}{8}$보다 커서 B의 처짐 0 조건을 만족하지 못한다.
−145 kN·m도 고정단 모멘트를 과대 평가한 값이다.
−155 kN·m 역시 변위 적합조건과 맞지 않는 과대값이다.

하중 P는 7.5 kN이다.
(a) 힌지–B 구간(5 m)이 얹힌 보이다. 힌지력은 $\dfrac{P\times3}{5}=0.6P$이고, 외팔보 AH에 그대로 전달되므로 $R_A=0.6P$이다.
(b) C–힌지 구간은 C 지점 하나만 가지므로 힌지 위 2 kN은 오른쪽 보(힌지–D–E)가 받는다. E에 대해
$R_D\times4=2\times7+2\times2=18$ → $R_D=4.5\,\mathrm{kN}$
$0.6P=4.5$ → $P=7.5\,\mathrm{kN}$
4.5 kN은 R$_D$ 값을 그대로 P로 쓴 것이다.
5.5 kN은 힌지력 분담비(3/5)를 잘못 적용한 값이다.
6.5 kN은 힌지 위 2 kN의 처리를 잘못한 값이다.

등분포하중은 6 kN/m이다.
전단력도의 기울기는 분포하중 크기와 같다($\dfrac{dV}{dx}=-w$). 0~2 m는 수평이라 하중이 없고, 2~6 m 구간에서 8 kN에서 −16 kN으로 직선 감소한다.
$w=\dfrac{8-(-16)}{4}=6\,\mathrm{kN/m}$
검산: 총하중 24 kN = $R_A+R_B=8+16$
4 kN/m는 구간 길이를 6 m로 잡은 값이다.
8 kN/m는 변화량을 3 m로 나눈 값이다.
12 kN/m는 변화량을 2 m로 나눈 값이다.