[7급 국가직 수리수문학] 21년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

Pitot관 수면과 정압관 수면의 차는 속도수두와 같으므로 H는 0.45 m이다.
A 지점의 관은 관벽에 붙어 정압만 읽고, B 지점의 Pitot관은 흐름을 정면으로 받아 정체압(정압+동압)을 읽는다. 손실이 없으므로 두 수면의 차가 곧 속도수두이다.
$H=\dfrac{V^2}{2g}$
$=\dfrac{3^2}{2\times 10}$
$=0.45\ \mathrm{m}$
0.25 m는 속도수두보다 작은 값으로, 이를 유속으로 환산하면 약 2.2 m/s가 되어 주어진 유속 3 m/s와 맞지 않는다.
0.65 m와 0.85 m는 속도수두보다 큰 값으로, 손실이 없는 조건에서 Pitot관이 추가로 받는 수두는 속도수두뿐이므로 성립하지 않는다.

비에너지는 수심에 속도수두를 더한 값으로 약 2.41 m이다.
공식: $\mathrm{E} = \mathrm{h} + \dfrac{\mathrm{V}^2}{2\mathrm{g}}$
속도수두: $\dfrac{3.5^2}{2 \times 10} = \dfrac{12.25}{20} = 0.6125\,\mathrm{m}$
비에너지: $\mathrm{E} = 1.8 + 0.6125 \approx 2.41\,\mathrm{m}$
수심 1.80 m만 쓰면 속도수두를 누락한 값이다.
수로 폭 28 m는 유속이 이미 주어졌으므로 계산에 필요 없다.

비중은 그 유체의 단위중량을 물의 단위중량으로 나눈 값이므로, 분자·분모를 거꾸로 놓은 설명이 옳지 않다.
비중은 물을 기준으로 한 상대값이라 물보다 무거운 유체일수록 1보다 크다.
단위중량은 $\gamma = \rho\mathrm{g}$로 밀도와 중력가속도의 곱이다 — 옳다.
정수압은 $\mathrm{p} = \gamma\mathrm{h}$로 깊이에 비례하므로 깊이 3h의 수압은 깊이 h의 3배이다 — 옳다.
정수 중에는 전단응력이 없어 정수압은 항상 면에 수직으로 작용한다 — 옳다.

합리식으로 구한 설계유량은 약 $3.5\,\mathrm{m^3/s}$이다.
강우강도: 도달시간 30분을 대입하면 $\mathrm{I} = \dfrac{1{,}000}{30 + 10} = 25\,\mathrm{mm/hr}$
합리식: $\mathrm{Q} = \dfrac{1}{3.6}\mathrm{CIA} = \dfrac{1}{3.6} \times 0.5 \times 25 \times 1 \approx 3.47\,\mathrm{m^3/s}$
(I는 mm/hr, A는 $\mathrm{km^2}$ 단위일 때 환산계수 1/3.6)
환산계수 1/3.6을 빠뜨리면 약 3.6배 큰 값이 나오므로 단위 환산에 주의한다.

4년 동안 적어도 한 번 이상 발생할 확률은 약 34.4 %이다.
연 초과확률: $\mathrm{P} = \dfrac{1}{\mathrm{T}} = \dfrac{1}{10} = 0.1$
위험도: $\mathrm{R} = 1 - (1 - \mathrm{P})^{\mathrm{n}} = 1 - 0.9^4 = 1 - 0.6561 = 0.3439$
"적어도 한 번"은 한 번도 발생하지 않을 확률의 여사건으로 구한다.
단순히 $\mathrm{n}/\mathrm{T} = 0.4$로 계산하면 중복 발생을 이중으로 세게 된다.

평판 사이 유속분포가 직선이므로 전단응력은 어디서나 같고, 그 값은 약 $6.12\,\mathrm{g_f/cm^2}$이다.
뉴턴 점성법칙: $\tau = \mu\dfrac{\mathrm{du}}{\mathrm{dy}} = 20.0 \times \dfrac{300\,\mathrm{cm/s}}{1\,\mathrm{cm}} = 6{,}000\,\mathrm{dyne/cm^2}$
중력단위 환산: $1\,\mathrm{g_f} = 980\,\mathrm{dyne}$이므로 $\tau = \dfrac{6{,}000}{980} \approx 6.12\,\mathrm{g_f/cm^2}$
점성계수가 질량단위($\mathrm{g_0}$)로 주어졌으므로 결과는 dyne 단위이며, g로 나눠 중력단위로 바꿔야 한다.
속도 3.0 m/s를 300 cm/s로, 간격 10 mm를 1 cm로 맞추지 않으면 자릿수가 틀어진다.

비피압대수층의 Dupuit 식으로 구한 유량은 약 $5\,\mathrm{m^3/day}$이다.
공식: $\mathrm{Q} = \mathrm{K}\,\mathrm{b}\,\dfrac{\mathrm{h_1^2} - \mathrm{h_2^2}}{2\mathrm{L}}$
대입: $\mathrm{Q} = 0.2 \times 40 \times \dfrac{32^2 - 30^2}{2 \times 100} = 8 \times \dfrac{124}{200} = 4.96\,\mathrm{m^3/day}$
비피압대수층은 흐름 단면 두께가 수위에 따라 변하므로 수위의 제곱 차를 쓴다.

직사각형 단면의 한계수심은 0.10 m이다.
공식: $\mathrm{y_c} = \left(\dfrac{\alpha\mathrm{q}^2}{\mathrm{g}}\right)^{1/3}$
대입: $\mathrm{y_c} = \left(\dfrac{1.0 \times 0.1^2}{10}\right)^{1/3} = (0.001)^{1/3} = 0.10\,\mathrm{m}$
실제 수심 0.2 m가 한계수심보다 크므로 이 흐름은 상류이며, 수심 자체는 한계수심 계산에 쓰이지 않는다.

비원형 관로는 동수반경으로 등가 관경을 잡아 Darcy-Weisbach 식을 쓰며, 손실수두는 50 m이다.
유속: $\mathrm{V} = \dfrac{\mathrm{Q}}{\mathrm{A}} = \dfrac{40}{2 \times 2} = 10\,\mathrm{m/s}$
등가 관경: $\mathrm{R_h} = \dfrac{4}{8} = 0.5\,\mathrm{m},\; \mathrm{D} = 4\mathrm{R_h} = 2\,\mathrm{m}$
손실수두: $\mathrm{h_L} = \mathrm{f}\dfrac{\mathrm{L}}{4\mathrm{R_h}}\dfrac{\mathrm{V}^2}{2\mathrm{g}} = 0.02 \times \dfrac{1{,}000}{2} \times \dfrac{10^2}{20} = 50\,\mathrm{m}$
동수반경 0.5 m를 관경 자리에 그대로 넣으면 4배 큰 값이 되므로 반드시 동수반경의 4배를 쓴다.

Froude 상사에서 유량비는 길이비의 5/2 제곱이므로 원형 설계홍수량은 $1{,}024\,\mathrm{m^3/s}$이다.
유량비: $\mathrm{Q_r} = \mathrm{L_r}^{5/2} = 16^{5/2} = 4^5 = 1{,}024$
원형 유량: $\mathrm{Q_p} = 1.0 \times 1{,}024 = 1{,}024\,\mathrm{m^3/s}$
댐 여수로처럼 중력이 지배하는 자유수면 흐름은 Froude 수를 일치시킨다.
유량비는 유속비 $\mathrm{L_r}^{1/2}$와 면적비 $\mathrm{L_r}^2$의 곱이므로, 길이비의 제곱(256)으로 잡는 실수에 주의한다.

이상유체는 비압축성·비점성을 가정한 유체이므로 체적탄성계수와 점성계수가 가장 관련이 깊다.
압축성을 무시하면 체적탄성계수를 무한대로, 점성을 무시하면 점성계수를 0으로 보는 것이다.
등류·부등류는 거리에 따른 흐름 변화 구분으로 유체 성질과 무관하다.
Reynolds 수·Froude 수는 흐름 상태(층류/난류, 상류/사류)를 판정하는 무차원수이다.
정상류·부정류는 시간에 따른 흐름 변화 구분이다.

공액수심은 사류에서 상류로 바뀌는 도수 전후의 수심 쌍이므로, 이를 지배단면의 수심이라 한 설명이 옳지 않다.
지배단면은 상류에서 사류로 바뀌며 수심-유량 관계가 하나로 정해지는 한계수심 지점이고, 도수 전후 수심은 비력이 같은 관계이다.
비에너지 $\mathrm{E} = \mathrm{h} + \dfrac{\mathrm{V}^2}{2\mathrm{g}}$는 단위무게당 에너지로 길이 차원을 갖는다 — 옳다.
주어진 비에너지가 최솟값이면 한계수심, 그보다 크면 상류·사류 두 대응수심이 존재한다 — 옳다.
유량이 일정할 때 비에너지가 최소가 되는 수심이 한계수심이다 — 옳다.

등류에서 소류력은 $\tau = \mathrm{wRI}$이다.
등류 구간에서는 물 무게의 흐름방향 성분 $\mathrm{wAL}\sin\theta$와 윤변 전단력 $\tau\mathrm{PL}$이 힘의 평형을 이룬다.
경사가 작아 $\sin\theta \approx \mathrm{I}$, $\mathrm{A/P} = \mathrm{R}$로 두면 $\tau = \mathrm{wRI}$가 되어, 세 값 중 어느 하나가 분모에 오는 식은 성립하지 않는다.

유속은 1.0 m/s이고 Froude 수가 1보다 작아 상류이다.
유속: $\mathrm{V} = \dfrac{\mathrm{Q}}{\mathrm{by}} = \dfrac{10}{4 \times 2.5} = 1.0\,\mathrm{m/s}$
Froude 수: $\mathrm{Fr} = \dfrac{\mathrm{V}}{\sqrt{\mathrm{gy}}} = \dfrac{1.0}{\sqrt{10 \times 2.5}} = 0.2 < 1$
한계수심 $\mathrm{y_c} = (2.5^2/10)^{1/3} \approx 0.85\,\mathrm{m}$보다 실제 수심이 커서 같은 결론이다.

Stokes 항력식을 항력계수 정의에 대입하면 $\mathrm{C_D} = 24/\mathrm{Re}$이므로 c = 24이다.
항력계수 정의: $\mathrm{D} = \mathrm{C_D}\,\dfrac{\rho\mathrm{U}^2}{2}\,\pi\mathrm{r}^2$
정리: $\mathrm{C_D} = \dfrac{6\pi\mu\mathrm{rU}}{\frac{1}{2}\rho\mathrm{U}^2\pi\mathrm{r}^2} = \dfrac{12\mu}{\rho\mathrm{Ur}} = \dfrac{24\mu}{\rho\mathrm{U}(2\mathrm{r})} = \dfrac{24}{\mathrm{Re}}$
Reynolds 수는 지름 2r을 대표길이로 하므로, 반경 기준으로 멈추면 12가 되는 함정에 주의한다.

레이놀즈수가 약 716으로 층류이므로 마찰손실계수는 $f=64/Re$에서 약 0.089이다.
평균유속은 유량을 단면적으로 나눈다.
$V=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{0.12}{\pi\times 0.6^2}\approx 0.106\ \mathrm{m/s}$
밀도는 단위중량을 중력가속도로 나눈다(비중 0.9).
$\rho=\dfrac{900}{10}=90\ \mathrm{kg_f\cdot s^2/m^4}$
$Re=\dfrac{\rho VD}{\mu}=\dfrac{90\times 0.106\times 1.2}{0.016}\approx 716$
Re가 2,000보다 작으므로 층류이고, $f=\dfrac{64}{716}\approx 0.089$이다.
약 0.042는 Re가 약 1,520일 때의 층류 값으로, 실제 계산된 Re 약 716과 맞지 않는다.
약 0.018과 약 0.012는 난류 영역에서 나오는 작은 마찰계수로, 층류 조건인 이 관로에는 맞지 않는다.

3시간 단위도를 3시간씩 늦춰 세 개를 겹친 뒤 3으로 나누면, 9시간 단위도의 최댓값은 $8.0\,\mathrm{m^3/s}$이다.
정수배(지체) 방법: $\mathrm{U_9(t)} = \dfrac{1}{3}\left[\mathrm{U_3(t)} + \mathrm{U_3(t-3)} + \mathrm{U_3(t-6)}\right]$
합이 가장 큰 7시간: $4 + 16 + 4 = 24$ (4·5·6·8·9·10시간은 모두 20)
최댓값: $24 / 3 = 8.0\,\mathrm{m^3/s}$
강우지속시간이 3배가 되면 같은 단위 유효우량이 3배 긴 시간에 분산되므로 첨두가 낮아진다.

상류 유역의 연간 비유사량은 $400\,\mathrm{ton/km^2/year}$이다.
퇴적 토사 무게: $1.5 \times 10^6 \times 2 = 3.0 \times 10^6\,\mathrm{ton}$
연간 퇴적량: $3.0 \times 10^6 / 25 = 1.2 \times 10^5\,\mathrm{ton/year}$
연간 유입량: $1.2 \times 10^5 / 0.5 = 2.4 \times 10^5\,\mathrm{ton/year}$
비유사량: $2.4 \times 10^5 / 600 = 400\,\mathrm{ton/km^2/year}$
퇴적률 50 %로 나누지 않으면 200이 되므로 퇴적량과 유입량을 구분해야 한다.

Reynolds 수 500은 층류이므로 $\mathrm{f} = 64/\mathrm{Re}$를 써서 관벽 전단응력은 $16\,\mathrm{N/m^2}$이다.
마찰손실계수: $\mathrm{f} = \dfrac{64}{500} = 0.128$
관벽 전단응력: $\tau_0 = \dfrac{\mathrm{f}}{8}\rho\mathrm{V}^2 = \dfrac{0.128}{8} \times 1{,}000 \times 1.0^2 = 16\,\mathrm{N/m^2}$
밀도 $1\,\mathrm{g_0/cm^3}$를 $1{,}000\,\mathrm{kg/m^3}$으로 바꿔야 N 단위가 맞는다.

완전히 잠길 때의 부력에서 물체 무게를 뺀 만큼 눌러야 하므로 최소 힘은 3.2 ton이다.
체적: $\mathrm{V} = 0.8 \times 0.8 \times 10 = 6.4\,\mathrm{m^3}$
부력: $\mathrm{B} = 1.0 \times 6.4 = 6.4\,\mathrm{ton}$
무게: $\mathrm{W} = 0.5 \times 6.4 = 3.2\,\mathrm{ton}$
필요한 힘: $\mathrm{F} = \mathrm{B} - \mathrm{W} = 3.2\,\mathrm{ton}$
단위중량 $1.0\,\mathrm{g_f/cm^3}$은 $1.0\,\mathrm{ton/m^3}$과 같다.

층류에서는 손실수두가 평균유속의 1제곱에 비례하므로 이 설명이 옳다.
Hagen-Poiseuille 식 $\mathrm{h_L} = \dfrac{32\mu\ell\mathrm{V}}{\gamma\mathrm{d}^2}$에서 V의 1제곱이 남는다(난류는 대략 $\mathrm{V}^2$에 비례).
비원형 단면은 관경 대신 4배 동수반경을 쓰므로 분모가 $4\mathrm{R_h}$여야 한다.
층류의 발달거리 계수는 약 0.06 수준으로 0.6보다 한 자릿수 작다.
마찰계수는 무차원 수이므로 응력과 차원이 다르다.

저수지 물수지에서 증발량은 60 cm이다.
물수지식: $\mathrm{P} + \mathrm{I} - \mathrm{O} - \mathrm{E} = \Delta\mathrm{S}$
대입: $100 + 40 - 70 - \mathrm{E} = 10 \;\Rightarrow\; \mathrm{E} = 60\,\mathrm{cm}$
수위 상승분 10 cm는 저류량 증가이므로 유입 항이 아니라 우변의 저류 변화로 넣어야 한다.

Manning 식으로 구한 최대홍수량은 $60\,\mathrm{m^3/s}$이다.
동수반경: $\mathrm{R} = \dfrac{30}{30} = 1.0\,\mathrm{m}$
수면경사: $\mathrm{I} = \dfrac{0.32}{200} = 0.0016$
유속: $\mathrm{V} = \dfrac{1}{\mathrm{n}}\mathrm{R}^{2/3}\mathrm{I}^{1/2} = \dfrac{1}{0.02} \times 1.0 \times 0.04 = 2.0\,\mathrm{m/s}$
유량: $\mathrm{Q} = \mathrm{AV} = 30 \times 2.0 = 60\,\mathrm{m^3/s}$
수면강하 32 cm를 m로 환산해 경사를 구하는 것에 주의한다.

바닥이 받는 힘은 바닥 압력×바닥 면적이므로 184 kN이다.
정수압은 용기 모양과 무관하게 깊이와 액체 단위중량으로만 정해진다(정수역학적 역설). 그림에서 기름층 2 m, 물층 3 m, 바닥 면적은 4 m²이다.
$p=0.8\times 10\times 2+10\times 3=46\ \mathrm{kN/m^2}$
$F=p\times A_2=46\times 4=184\ \mathrm{kN}$
46은 바닥 압력 값 자체로, 바닥 면적을 곱하지 않은 것이다.
92는 바닥 압력에 경계면 면적 2 m²를 곱한 값으로, 바닥이 아닌 면적을 쓴 것이다.
138은 바닥 압력에 3 m²를 곱한 것과 같은 값으로, 바닥 면적 4 m²를 쓴 결과와 맞지 않는다.

Thiessen 다각형으로 각 관측소의 지배면적을 구해 가중평균하면 유역 평균우량은 약 16.0 mm이다.
관측소를 잇는 선의 수직이등분선으로 유역을 나눈다. A와 B는 같은 행, A와 C는 같은 열에 있으므로 각각 세로·가로 중앙선이 경계가 되고, B와 C 사이는 대각선이 경계가 된다.
격자 칸으로 세면 A 16칸, B 20.5칸, C 24칸(계 60.5칸)이다. 칸당 4 km²이므로 A 64 km², B 82 km², C 96 km²이다.
$P_m=\dfrac{20\times 64+20\times 82+10\times 96}{242}$
$=\dfrac{3880}{242}\approx 16.0\ \mathrm{mm}$
약 16.7은 세 관측소 우량의 산술평균으로, 지배면적을 반영하지 않은 값이다.
약 15.7과 약 15.0은 우량이 적은 C의 지배면적을 실제보다 크게 잡은 경우로, 수직이등분선 분할 결과와 맞지 않는다.