21년 1회차

Pitot관 수면과 정압관 수면의 차는 속도수두와 같으므로 H는 0.45 m이다.

A 지점의 관은 관벽에 붙어 정압만 읽고, B 지점의 Pitot관은 흐름을 정면으로 받아 정체압(정압+동압)을 읽는다. 손실이 없으므로 두 수면의 차가 곧 속도수두이다.

$H=\dfrac{V^2}{2g}$
$=\dfrac{3^2}{2\times 10}$
$=0.45\ \mathrm{m}$

• 0.25 m는 속도수두보다 작은 값으로, 이를 유속으로 환산하면 약 2.2 m/s가 되어 주어진 유속 3 m/s와 맞지 않는다.
• 0.65 m와 0.85 m는 속도수두보다 큰 값으로, 손실이 없는 조건에서 Pitot관이 추가로 받는 수두는 속도수두뿐이므로 성립하지 않는다.

비에너지는 수심에 속도수두를 더한 값으로 약 2.41 m이다.

공식: $\mathrm{E} = \mathrm{h} + \dfrac{\mathrm{V}^2}{2\mathrm{g}}$

속도수두: $\dfrac{3.5^2}{2 \times 10} = \dfrac{12.25}{20} = 0.6125\,\mathrm{m}$
비에너지: $\mathrm{E} = 1.8 + 0.6125 \approx 2.41\,\mathrm{m}$

• 수심 1.80 m만 쓰면 속도수두를 누락한 값이다.
• 수로 폭 28 m는 유속이 이미 주어졌으므로 계산에 필요 없다.

비중은 그 유체의 단위중량을 물의 단위중량으로 나눈 값이므로, 분자·분모를 거꾸로 놓은 설명이 옳지 않다.

비중은 물을 기준으로 한 상대값이라 물보다 무거운 유체일수록 1보다 크다.

• 단위중량은 $\gamma = \rho\mathrm{g}$로 밀도와 중력가속도의 곱이다 — 옳다.
• 정수압은 $\mathrm{p} = \gamma\mathrm{h}$로 깊이에 비례하므로 깊이 3h의 수압은 깊이 h의 3배이다 — 옳다.
• 정수 중에는 전단응력이 없어 정수압은 항상 면에 수직으로 작용한다 — 옳다.

합리식으로 구한 설계유량은 약 $3.5\,\mathrm{m^3/s}$이다.

강우강도: 도달시간 30분을 대입하면 $\mathrm{I} = \dfrac{1{,}000}{30 + 10} = 25\,\mathrm{mm/hr}$

합리식: $\mathrm{Q} = \dfrac{1}{3.6}\mathrm{CIA} = \dfrac{1}{3.6} \times 0.5 \times 25 \times 1 \approx 3.47\,\mathrm{m^3/s}$
(I는 mm/hr, A는 $\mathrm{km^2}$ 단위일 때 환산계수 1/3.6)

환산계수 1/3.6을 빠뜨리면 약 3.6배 큰 값이 나오므로 단위 환산에 주의한다.

4년 동안 적어도 한 번 이상 발생할 확률은 약 34.4 %이다.

연 초과확률: $\mathrm{P} = \dfrac{1}{\mathrm{T}} = \dfrac{1}{10} = 0.1$

위험도: $\mathrm{R} = 1 - (1 - \mathrm{P})^{\mathrm{n}} = 1 - 0.9^4 = 1 - 0.6561 = 0.3439$

• "적어도 한 번"은 한 번도 발생하지 않을 확률의 여사건으로 구한다.
• 단순히 $\mathrm{n}/\mathrm{T} = 0.4$로 계산하면 중복 발생을 이중으로 세게 된다.

평판 사이 유속분포가 직선이므로 전단응력은 어디서나 같고, 그 값은 약 $6.12\,\mathrm{g_f/cm^2}$이다.

뉴턴 점성법칙: $\tau = \mu\dfrac{\mathrm{du}}{\mathrm{dy}} = 20.0 \times \dfrac{300\,\mathrm{cm/s}}{1\,\mathrm{cm}} = 6{,}000\,\mathrm{dyne/cm^2}$

중력단위 환산: $1\,\mathrm{g_f} = 980\,\mathrm{dyne}$이므로 $\tau = \dfrac{6{,}000}{980} \approx 6.12\,\mathrm{g_f/cm^2}$

• 점성계수가 질량단위($\mathrm{g_0}$)로 주어졌으므로 결과는 dyne 단위이며, g로 나눠 중력단위로 바꿔야 한다.
• 속도 3.0 m/s를 300 cm/s로, 간격 10 mm를 1 cm로 맞추지 않으면 자릿수가 틀어진다.

비피압대수층의 Dupuit 식으로 구한 유량은 약 $5\,\mathrm{m^3/day}$이다.

공식: $\mathrm{Q} = \mathrm{K}\,\mathrm{b}\,\dfrac{\mathrm{h_1^2} - \mathrm{h_2^2}}{2\mathrm{L}}$

대입: $\mathrm{Q} = 0.2 \times 40 \times \dfrac{32^2 - 30^2}{2 \times 100} = 8 \times \dfrac{124}{200} = 4.96\,\mathrm{m^3/day}$

비피압대수층은 흐름 단면 두께가 수위에 따라 변하므로 수위의 제곱 차를 쓴다.

직사각형 단면의 한계수심은 0.10 m이다.

공식: $\mathrm{y_c} = \left(\dfrac{\alpha\mathrm{q}^2}{\mathrm{g}}\right)^{1/3}$

대입: $\mathrm{y_c} = \left(\dfrac{1.0 \times 0.1^2}{10}\right)^{1/3} = (0.001)^{1/3} = 0.10\,\mathrm{m}$

실제 수심 0.2 m가 한계수심보다 크므로 이 흐름은 상류이며, 수심 자체는 한계수심 계산에 쓰이지 않는다.

비원형 관로는 동수반경으로 등가 관경을 잡아 Darcy-Weisbach 식을 쓰며, 손실수두는 50 m이다.

유속: $\mathrm{V} = \dfrac{\mathrm{Q}}{\mathrm{A}} = \dfrac{40}{2 \times 2} = 10\,\mathrm{m/s}$
등가 관경: $\mathrm{R_h} = \dfrac{4}{8} = 0.5\,\mathrm{m},\; \mathrm{D} = 4\mathrm{R_h} = 2\,\mathrm{m}$

손실수두: $\mathrm{h_L} = \mathrm{f}\dfrac{\mathrm{L}}{4\mathrm{R_h}}\dfrac{\mathrm{V}^2}{2\mathrm{g}} = 0.02 \times \dfrac{1{,}000}{2} \times \dfrac{10^2}{20} = 50\,\mathrm{m}$

동수반경 0.5 m를 관경 자리에 그대로 넣으면 4배 큰 값이 되므로 반드시 동수반경의 4배를 쓴다.

Froude 상사에서 유량비는 길이비의 5/2 제곱이므로 원형 설계홍수량은 $1{,}024\,\mathrm{m^3/s}$이다.

유량비: $\mathrm{Q_r} = \mathrm{L_r}^{5/2} = 16^{5/2} = 4^5 = 1{,}024$
원형 유량: $\mathrm{Q_p} = 1.0 \times 1{,}024 = 1{,}024\,\mathrm{m^3/s}$

• 댐 여수로처럼 중력이 지배하는 자유수면 흐름은 Froude 수를 일치시킨다.
• 유량비는 유속비 $\mathrm{L_r}^{1/2}$와 면적비 $\mathrm{L_r}^2$의 곱이므로, 길이비의 제곱(256)으로 잡는 실수에 주의한다.

이상유체는 비압축성·비점성을 가정한 유체이므로 체적탄성계수와 점성계수가 가장 관련이 깊다.

압축성을 무시하면 체적탄성계수를 무한대로, 점성을 무시하면 점성계수를 0으로 보는 것이다.

• 등류·부등류는 거리에 따른 흐름 변화 구분으로 유체 성질과 무관하다.
• Reynolds 수·Froude 수는 흐름 상태(층류/난류, 상류/사류)를 판정하는 무차원수이다.
• 정상류·부정류는 시간에 따른 흐름 변화 구분이다.

공액수심은 사류에서 상류로 바뀌는 도수 전후의 수심 쌍이므로, 이를 지배단면의 수심이라 한 설명이 옳지 않다.

지배단면은 상류에서 사류로 바뀌며 수심-유량 관계가 하나로 정해지는 한계수심 지점이고, 도수 전후 수심은 비력이 같은 관계이다.

• 비에너지 $\mathrm{E} = \mathrm{h} + \dfrac{\mathrm{V}^2}{2\mathrm{g}}$는 단위무게당 에너지로 길이 차원을 갖는다 — 옳다.
• 주어진 비에너지가 최솟값이면 한계수심, 그보다 크면 상류·사류 두 대응수심이 존재한다 — 옳다.
• 유량이 일정할 때 비에너지가 최소가 되는 수심이 한계수심이다 — 옳다.

등류에서 소류력은 $\tau = \mathrm{wRI}$이다.

등류 구간에서는 물 무게의 흐름방향 성분 $\mathrm{wAL}\sin\theta$와 윤변 전단력 $\tau\mathrm{PL}$이 힘의 평형을 이룬다.

경사가 작아 $\sin\theta \approx \mathrm{I}$, $\mathrm{A/P} = \mathrm{R}$로 두면 $\tau = \mathrm{wRI}$가 되어, 세 값 중 어느 하나가 분모에 오는 식은 성립하지 않는다.

유속은 1.0 m/s이고 Froude 수가 1보다 작아 상류이다.

유속: $\mathrm{V} = \dfrac{\mathrm{Q}}{\mathrm{by}} = \dfrac{10}{4 \times 2.5} = 1.0\,\mathrm{m/s}$

Froude 수: $\mathrm{Fr} = \dfrac{\mathrm{V}}{\sqrt{\mathrm{gy}}} = \dfrac{1.0}{\sqrt{10 \times 2.5}} = 0.2 < 1$

한계수심 $\mathrm{y_c} = (2.5^2/10)^{1/3} \approx 0.85\,\mathrm{m}$보다 실제 수심이 커서 같은 결론이다.

Stokes 항력식을 항력계수 정의에 대입하면 $\mathrm{C_D} = 24/\mathrm{Re}$이므로 c = 24이다.

항력계수 정의: $\mathrm{D} = \mathrm{C_D}\,\dfrac{\rho\mathrm{U}^2}{2}\,\pi\mathrm{r}^2$

정리: $\mathrm{C_D} = \dfrac{6\pi\mu\mathrm{rU}}{\frac{1}{2}\rho\mathrm{U}^2\pi\mathrm{r}^2} = \dfrac{12\mu}{\rho\mathrm{Ur}} = \dfrac{24\mu}{\rho\mathrm{U}(2\mathrm{r})} = \dfrac{24}{\mathrm{Re}}$

Reynolds 수는 지름 2r을 대표길이로 하므로, 반경 기준으로 멈추면 12가 되는 함정에 주의한다.

레이놀즈수가 약 716으로 층류이므로 마찰손실계수는 $f=64/Re$에서 약 0.089이다.

평균유속은 유량을 단면적으로 나눈다.
$V=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{0.12}{\pi\times 0.6^2}\approx 0.106\ \mathrm{m/s}$

밀도는 단위중량을 중력가속도로 나눈다(비중 0.9).
$\rho=\dfrac{900}{10}=90\ \mathrm{kg_f\cdot s^2/m^4}$

$Re=\dfrac{\rho VD}{\mu}=\dfrac{90\times 0.106\times 1.2}{0.016}\approx 716$
Re가 2,000보다 작으므로 층류이고, $f=\dfrac{64}{716}\approx 0.089$이다.

• 약 0.042는 Re가 약 1,520일 때의 층류 값으로, 실제 계산된 Re 약 716과 맞지 않는다.
• 약 0.018과 약 0.012는 난류 영역에서 나오는 작은 마찰계수로, 층류 조건인 이 관로에는 맞지 않는다.

3시간 단위도를 3시간씩 늦춰 세 개를 겹친 뒤 3으로 나누면, 9시간 단위도의 최댓값은 $8.0\,\mathrm{m^3/s}$이다.

정수배(지체) 방법: $\mathrm{U_9(t)} = \dfrac{1}{3}\left[\mathrm{U_3(t)} + \mathrm{U_3(t-3)} + \mathrm{U_3(t-6)}\right]$

합이 가장 큰 7시간: $4 + 16 + 4 = 24$ (4·5·6·8·9·10시간은 모두 20)
최댓값: $24 / 3 = 8.0\,\mathrm{m^3/s}$

강우지속시간이 3배가 되면 같은 단위 유효우량이 3배 긴 시간에 분산되므로 첨두가 낮아진다.

상류 유역의 연간 비유사량은 $400\,\mathrm{ton/km^2/year}$이다.

퇴적 토사 무게: $1.5 \times 10^6 \times 2 = 3.0 \times 10^6\,\mathrm{ton}$
연간 퇴적량: $3.0 \times 10^6 / 25 = 1.2 \times 10^5\,\mathrm{ton/year}$

연간 유입량: $1.2 \times 10^5 / 0.5 = 2.4 \times 10^5\,\mathrm{ton/year}$
비유사량: $2.4 \times 10^5 / 600 = 400\,\mathrm{ton/km^2/year}$

퇴적률 50 %로 나누지 않으면 200이 되므로 퇴적량과 유입량을 구분해야 한다.

Reynolds 수 500은 층류이므로 $\mathrm{f} = 64/\mathrm{Re}$를 써서 관벽 전단응력은 $16\,\mathrm{N/m^2}$이다.

마찰손실계수: $\mathrm{f} = \dfrac{64}{500} = 0.128$

관벽 전단응력: $\tau_0 = \dfrac{\mathrm{f}}{8}\rho\mathrm{V}^2 = \dfrac{0.128}{8} \times 1{,}000 \times 1.0^2 = 16\,\mathrm{N/m^2}$

밀도 $1\,\mathrm{g_0/cm^3}$를 $1{,}000\,\mathrm{kg/m^3}$으로 바꿔야 N 단위가 맞는다.

완전히 잠길 때의 부력에서 물체 무게를 뺀 만큼 눌러야 하므로 최소 힘은 3.2 ton이다.

체적: $\mathrm{V} = 0.8 \times 0.8 \times 10 = 6.4\,\mathrm{m^3}$

부력: $\mathrm{B} = 1.0 \times 6.4 = 6.4\,\mathrm{ton}$
무게: $\mathrm{W} = 0.5 \times 6.4 = 3.2\,\mathrm{ton}$
필요한 힘: $\mathrm{F} = \mathrm{B} - \mathrm{W} = 3.2\,\mathrm{ton}$

단위중량 $1.0\,\mathrm{g_f/cm^3}$은 $1.0\,\mathrm{ton/m^3}$과 같다.

층류에서는 손실수두가 평균유속의 1제곱에 비례하므로 이 설명이 옳다.

Hagen-Poiseuille 식 $\mathrm{h_L} = \dfrac{32\mu\ell\mathrm{V}}{\gamma\mathrm{d}^2}$에서 V의 1제곱이 남는다(난류는 대략 $\mathrm{V}^2$에 비례).

• 비원형 단면은 관경 대신 4배 동수반경을 쓰므로 분모가 $4\mathrm{R_h}$여야 한다.
• 층류의 발달거리 계수는 약 0.06 수준으로 0.6보다 한 자릿수 작다.
• 마찰계수는 무차원 수이므로 응력과 차원이 다르다.

저수지 물수지에서 증발량은 60 cm이다.

물수지식: $\mathrm{P} + \mathrm{I} - \mathrm{O} - \mathrm{E} = \Delta\mathrm{S}$

대입: $100 + 40 - 70 - \mathrm{E} = 10 \;\Rightarrow\; \mathrm{E} = 60\,\mathrm{cm}$

수위 상승분 10 cm는 저류량 증가이므로 유입 항이 아니라 우변의 저류 변화로 넣어야 한다.

Manning 식으로 구한 최대홍수량은 $60\,\mathrm{m^3/s}$이다.

동수반경: $\mathrm{R} = \dfrac{30}{30} = 1.0\,\mathrm{m}$
수면경사: $\mathrm{I} = \dfrac{0.32}{200} = 0.0016$

유속: $\mathrm{V} = \dfrac{1}{\mathrm{n}}\mathrm{R}^{2/3}\mathrm{I}^{1/2} = \dfrac{1}{0.02} \times 1.0 \times 0.04 = 2.0\,\mathrm{m/s}$
유량: $\mathrm{Q} = \mathrm{AV} = 30 \times 2.0 = 60\,\mathrm{m^3/s}$

수면강하 32 cm를 m로 환산해 경사를 구하는 것에 주의한다.

바닥이 받는 힘은 바닥 압력×바닥 면적이므로 184 kN이다.

정수압은 용기 모양과 무관하게 깊이와 액체 단위중량으로만 정해진다(정수역학적 역설). 그림에서 기름층 2 m, 물층 3 m, 바닥 면적은 4 m²이다.

$p=0.8\times 10\times 2+10\times 3=46\ \mathrm{kN/m^2}$
$F=p\times A_2=46\times 4=184\ \mathrm{kN}$

• 46은 바닥 압력 값 자체로, 바닥 면적을 곱하지 않은 것이다.
• 92는 바닥 압력에 경계면 면적 2 m²를 곱한 값으로, 바닥이 아닌 면적을 쓴 것이다.
• 138은 바닥 압력에 3 m²를 곱한 것과 같은 값으로, 바닥 면적 4 m²를 쓴 결과와 맞지 않는다.

Thiessen 다각형으로 각 관측소의 지배면적을 구해 가중평균하면 유역 평균우량은 약 16.0 mm이다.

관측소를 잇는 선의 수직이등분선으로 유역을 나눈다. A와 B는 같은 행, A와 C는 같은 열에 있으므로 각각 세로·가로 중앙선이 경계가 되고, B와 C 사이는 대각선이 경계가 된다.

격자 칸으로 세면 A 16칸, B 20.5칸, C 24칸(계 60.5칸)이다. 칸당 4 km²이므로 A 64 km², B 82 km², C 96 km²이다.

$P_m=\dfrac{20\times 64+20\times 82+10\times 96}{242}$
$=\dfrac{3880}{242}\approx 16.0\ \mathrm{mm}$

• 약 16.7은 세 관측소 우량의 산술평균으로, 지배면적을 반영하지 않은 값이다.
• 약 15.7과 약 15.0은 우량이 적은 C의 지배면적을 실제보다 크게 잡은 경우로, 수직이등분선 분할 결과와 맞지 않는다.