[7급 국가직 기계설계] 22년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

직선 하나로 된 기호는 평면도가 아니라 진직도 기호이므로, 평면도 공차를 직선으로 표시한 것이 옳지 않다.
평면도 공차는 평행사변형 기호로 표시한다. 형상공차는 진직도(직선)·평면도(평행사변형)·진원도(원)·원통도처럼 모양을 닮은 기호를 쓴다.
대칭도 공차: 긴 가로선 위아래에 짧은 가로선을 둔 세 줄 기호로 옳다.
위치도 공차: 원에 십자선을 그은 기호로 옳다.
선의 윤곽도 공차: 위로 볼록한 호 기호로 옳다(면의 윤곽도는 호 아래를 막은 반원).

두줄 나사에서 피치가 리드의 두 배라는 설명이 옳지 않다. 리드는 피치에 줄 수를 곱한 값이므로 두줄 나사는 리드가 피치의 두 배이다.
리드 $L = n p$ ($n$: 줄 수, $p$: 피치)로, 한 바퀴 돌 때 축방향으로 나아가는 거리가 리드이다.
리드각과 비틀림각: 나사산의 경사를 축 직각면 기준으로 잰 것과 축선 기준으로 잰 것이므로 합이 90°이다.
암나사의 최대지름: 암나사 골 부분의 지름이 가장 크므로 골지름과 같다.
수나사의 바깥지름: 수나사는 바깥지름을 호칭지름으로 삼는다.

용접부 최소 길이는 약 36 mm이다.
필릿 용접의 목두께는 $a=t\cos 45^\circ=\dfrac{10\sqrt{2}}{2}=7\ \mathrm{mm}$이고, 허용전단응력은 $\tau_a=\dfrac{15}{1.5}=10\ \mathrm{kgf/mm^2}$이다.
양면 이음이므로 전단면은 2개다.
$P=\tau_a\cdot 2al \;\Rightarrow\; l=\dfrac{5000}{10\times 2\times 7}\approx 35.7\ \mathrm{mm}$
40·44·48 mm도 강도는 만족하지만 계산값 35.7 mm보다 길어 최소 길이가 아니다.
한쪽 용접선만 고려하면 약 71 mm로 두 배가 되어 어느 값과도 맞지 않는다.

탄성에너지의 비는 길이 비에 비례하고 지름 비의 4제곱에 반비례하므로 $\dfrac{U_A}{U_B} = \left(\dfrac{D_B}{D_A}\right)^4 \dfrac{l_A}{l_B}$이다.
비틀림 탄성에너지: $U = \dfrac{T^2 l}{2GI_p}$, $I_p = \dfrac{\pi D^4}{32}$
같은 재질($G$ 동일)·같은 토크이므로 $U \propto \dfrac{l}{D^4}$이다.
$\dfrac{U_A}{U_B} = \dfrac{l_A / D_A^4}{l_B / D_B^4} = \left(\dfrac{D_B}{D_A}\right)^4 \dfrac{l_A}{l_B}$
지름 비를 $D_A/D_B$로 쓰면 극관성모멘트가 분모에 있다는 점을 놓친 것이다.
길이 비를 $l_B/l_A$로 뒤집으면 긴 축일수록 비틀림각이 커져 에너지가 커진다는 관계와 어긋난다.

마찰토크가 축의 지름에 비례한다는 설명이 옳지 않다. 페트로프 식에서 마찰토크는 지름의 세제곱에 비례한다.
유막 전단응력: $\tau = \mu \dfrac{U}{c} = \mu \dfrac{\pi D N}{60 c}$ ($U$: 미끄럼 속도, $c$: 반경 방향 틈새, $N$: 회전수)
마찰토크: $T = \tau (\pi D l) \dfrac{D}{2} = \dfrac{\pi^2 \mu N D^3 l}{120 c}$
회전수: 미끄럼 속도가 회전수에 비례하므로 전단응력은 회전수에 비례한다.
반경 방향 틈새: 유막의 속도 구배가 $U/c$이므로 전단응력은 틈새에 반비례한다.
평균압력: 마찰토크를 $T = f W \dfrac{D}{2}$, 하중을 $W = p D l$로 나타내면 마찰계수 $f$가 주어질 때 평균압력 $p$에 비례하는 꼴이 된다.

순수 비틀림의 주응력을 쿨롱–모어 식에 넣으면 안전계수는 약 1.14이다.
최대 전단응력: $\tau = \dfrac{16T}{\pi d^3} = \dfrac{16 \times 112{,}500}{3 \times 20^3} = 75\ \mathrm{MPa}$
순수 비틀림이므로 $\sigma_1 = 75\ \mathrm{MPa}$, $\sigma_3 = -75\ \mathrm{MPa}$이다.
쿨롱–모어: $\dfrac{1}{n} = \dfrac{\sigma_1}{S_t} - \dfrac{\sigma_3}{S_c} = \dfrac{75}{150} + \dfrac{75}{200} = 0.875$
$n = \dfrac{1}{0.875} \approx 1.14$
인장강도만으로 판정하면 150/75 = 2가 되어 압축측 영향을 놓친다.
쿨롱–모어는 인장·압축 강도가 다른 취성재료에 쓰며, 압축 주응력은 압축강도로 나눈다.

지름 5 mm 볼트는 최소 16개가 필요하다.
볼트 1개의 허용 하중: $P = \sigma_a \dfrac{\pi d^2}{4}$
지름 10 mm: $10 \times \dfrac{\pi \times 10^2}{4} = 250\pi\ \mathrm{kgf}$
지름 5 mm: $2.5 \times \dfrac{\pi \times 5^2}{4} = 15.625\pi\ \mathrm{kgf}$
필요 개수: $n = \dfrac{250\pi}{15.625\pi} = 16$
지름만 비교하면 면적비 4배, 허용응력만 비교하면 4배이므로 둘을 곱한 16배가 되어야 한다.

축과 키가 같은 토크를 견디도록 놓으면 키의 최소 폭은 D/8이다.
축의 전달 토크: $T = \tau_s \dfrac{\pi D^3}{16}$
키의 전단 토크: $T = (2\tau_s)\, b\, l \dfrac{D}{2} = 2\tau_s\, b \dfrac{\pi D}{2} \dfrac{D}{2} = \dfrac{\pi \tau_s b D^2}{2}$
두 식을 같게 놓으면 $\dfrac{\pi \tau_s b D^2}{2} = \dfrac{\pi \tau_s D^3}{16}$에서 $b = \dfrac{D}{8}$이다.
키의 전단력은 축 반지름(D/2) 위치에 작용하므로 토크 = 전단력 × D/2로 잡아야 한다.

양쪽 덮개판 맞대기 이음은 리벳 1개가 복전단(2면 전단)을 받으므로 최소 9개가 필요하다.
복전단은 두 전단면의 하중 분담이 고르지 않아 관용적으로 단전단의 1.8배로 계산한다.
리벳 1개 강도: $1.8 \times \tau_a \dfrac{\pi d^2}{4} = 1.8 \times 6 \times \dfrac{\pi \times 12^2}{4} \approx 1{,}221\ \mathrm{kgf}$
필요 개수: $n = \dfrac{10{,}000}{1{,}221} \approx 8.19$이므로 올림해 9개이다.
단전단으로 계산하면 약 14.7개가 되어 덮개판 양쪽 구조를 반영하지 못한다.

각 리머볼트의 전단응력은 2 $kgf/mm^{2}$이다.
토크는 볼트 피치원(지름 D) 위의 전단력으로 전달된다. $T=15\ \mathrm{kgf\cdot m}=15000\ \mathrm{kgf\cdot mm}$이므로 볼트 1개의 전단력은
$F=\dfrac{2T}{zD}=\dfrac{2\times 15000}{8\times 100}=37.5\ \mathrm{kgf}$
볼트 단면적 $A=\dfrac{\pi d^2}{4}=\dfrac{3\times 5^2}{4}=18.75\ \mathrm{mm^2}$이므로
$\tau=\dfrac{F}{A}=\dfrac{37.5}{18.75}=2\ \mathrm{kgf/mm^2}$
1 $kgf/mm^{2}$은 D를 반지름으로 착각해 전단력을 절반으로 잡은 값이다.
4 $kgf/mm^{2}$·8 $kgf/mm^{2}$은 볼트 개수나 지름 환산을 잘못 넣었을 때 나오는 값이다.

압력각을 줄인다는 방법이 옳지 않다. 이의 간섭을 막으려면 압력각을 크게 해야 한다.
압력각이 커지면 기초원이 작아져 물림 범위가 기초원 안쪽으로 들어가지 않으므로, 한계 잇수가 줄고 언더컷·간섭이 덜 생긴다.
치형 수정: 이끝을 깎거나 전위를 주어 간섭 부분을 없앤다.
이높이 축소: 낮은 이(stub gear)를 쓰면 이끝이 상대 기어 이뿌리를 파고들지 않는다.
피니언 잇수 확보: 최소 잇수 이상이면 언더컷이 생기지 않는다.

피치원 지름에 이끝높이 두 배를 더하면 이끝원 지름은 168 mm이다.
헬리컬 기어 피치원 지름: $D = \dfrac{z m_n}{\cos\beta} = \dfrac{36 \times 4}{0.9} = 160\ \mathrm{mm}$
보통이의 이끝높이는 치직각 모듈과 같으므로
$D_o = D + 2m_n = 160 + 2 \times 4 = 168\ \mathrm{mm}$
$\cos\beta$로 나누지 않고 곱하면 $36 \times 4 \times 0.9 + 8 = 137.6\ \mathrm{mm}$가 되어 피치원 지름을 잘못 구한 것이다.

균일마모 조건의 단판 클러치 최대 토크는 1,200 kgf·mm이다.
균일마모에서는 평균 반지름을 $r_m = \dfrac{D_1 + D_2}{4}$로 잡는다.
$r_m = \dfrac{100 + 140}{4} = 60\ \mathrm{mm}$
$T = \mu F r_m = 0.2 \times 100 \times 60 = 1{,}200\ \mathrm{kgf \cdot mm}$
평균 지름(120 mm)을 반지름 자리에 넣으면 두 배인 값이 나오므로 반지름임에 주의한다.

처짐량은 2.0 cm이다.
평판이 수평을 유지하므로 세 스프링의 처짐이 같고, 병렬 연결의 등가 스프링 상수는 각 상수의 합이다.
$k=5+10+15=30\ \mathrm{kgf/cm}$
$\delta=\dfrac{W}{k}=\dfrac{60}{30}=2.0\ \mathrm{cm}$
1.6 cm·1.8 cm는 등가 상수를 합보다 크게 잡은 경우로, 병렬 합산과 맞지 않는다.
2.2 cm는 등가 상수를 합보다 작게 잡은 경우로, 역시 성립하지 않는다.

윈치에 연결된 케이블의 장력은 500 N이다.
맨 아래 움직도르래는 천장에서 내려온 줄이 양쪽으로 받치므로 그 줄의 장력은 $T_A=\dfrac{2000}{2}=1000\ \mathrm{N}$이고, 이 줄 끝이 가운데 움직도르래 축에 걸린다.
가운데 움직도르래도 줄 양쪽이 받치므로 $T_B=\dfrac{1000}{2}=500\ \mathrm{N}$이며, 이 줄이 위쪽 고정도르래를 지나 방향만 바뀐 채 윈치로 간다.
250 N은 움직도르래를 3개로 세어 하중을 한 번 더 나눈 값이다.
200 N·750 N은 움직도르래 2개의 하중 분담과 맞지 않는 값이다.

기초원주상의 이두께는 S에서 법선피치 2개를 뺀 값이다.
인벌류트 치형에서 걸치기 측정면 사이 거리는 기초원 접선 방향으로 잰 길이이므로, k개의 이를 걸치면 $S=(k-1)p_n+s_b$가 된다($s_b$: 기초원주상 이두께).
걸친 이가 3개이면 $s_b=S-2p_n$이다.
$S-3p_n$은 걸친 이 개수만큼 피치를 뺀 것으로, 피치 수는 이 개수보다 하나 적다.
$2S-p_n$, $3S-p_n$은 측정값을 여러 배 한 형태로, 걸치기 길이의 기하 관계와 맞지 않는다.

유연성이 좋지 않아 작은 풀리에 쓸 수 없다는 설명이 옳지 않다. 타이밍 벨트는 얇고 굴곡성이 좋아 작은 풀리에도 쓸 수 있다.
타이밍 벨트는 치형이 풀리 홈과 맞물리는 치합 전동이라 마찰에 의존하지 않는다.
속도 범위: 저속부터 고속까지 V벨트보다 넓게 쓸 수 있다.
초기장력: 마찰 전동이 아니므로 작아도 되어 베어링 하중이 작다.
각속도비: 미끄럼이 없어 정확한 회전비가 유지된다.

최대 응력은 긴장측 장력에 의한 인장응력과 작은 풀리에서의 굽힘응력을 더한 $\dfrac{T_t}{bt} + E\dfrac{t}{D_2 + t}$이다.
인장응력은 장력이 큰 긴장측에서 최대이고, 굽힘응력 $\sigma_b = E\dfrac{t/2}{(D + t)/2} = E\dfrac{t}{D + t}$는 풀리 지름이 작을수록 커진다.
이완측 장력을 쓴 식: 인장응력이 최댓값이 아니다.
큰 풀리 지름을 쓴 식: 굽힘 곡률이 작아 굽힘응력이 최댓값이 아니다.

패드 중심 거리 R은 250 mm이다.
패드가 원판 양면에 있으므로 마찰력은 $2\mu Q$이고, 제동 토크는 $T=2\mu QR$이다.
$R=\dfrac{T}{2\mu Q}=\dfrac{100}{2\times 0.2\times 1000}=0.25\ \mathrm{m}=250\ \mathrm{mm}$
500 mm는 한쪽 패드만 고려해 마찰면을 1개로 계산한 값이다.
125 mm·62.5 mm는 마찰면 수를 실제보다 많이 잡은 값이다.

원추 클러치가 전달할 수 있는 최대동력은 37.5 kW이다.
수직력: $N = p \pi D_m b = 0.1 \times 3 \times 500 \times 50 = 7{,}500\ \mathrm{N}$
토크: $T = \mu N \dfrac{D_m}{2} = 0.2 \times 7{,}500 \times 0.25 = 375\ \mathrm{N \cdot m}$
각속도: $\omega = \dfrac{2\pi n}{60} = \dfrac{2 \times 3 \times 1{,}000}{60} = 100\ \mathrm{rad/s}$
$H = T\omega = 375 \times 100 = 37{,}500\ \mathrm{W} = 37.5\ \mathrm{kW}$
원추면의 접촉 면적 $\pi D_m b$에 압력을 곱한 것이 수직력이며, 축방향 하중과 혼동하지 않는다.

최대굽힘모멘트는 35,810 kgf·mm이다.
전달 토크는 $T=716200\dfrac{H}{N}=716200\times\dfrac{10}{500}=14324\ \mathrm{kgf\cdot mm}$이고, 접선력은 $F_t=\dfrac{T}{D/2}=\dfrac{14324}{100}=143.24\ \mathrm{kgf}$이다.
중앙 집중하중을 받는 단순지지보이므로
$M_{max}=\dfrac{F_tL}{4}=\dfrac{143.24\times 1000}{4}=35810\ \mathrm{kgf\cdot mm}$
24,710 kgf·mm는 계산값보다 작아 중앙 집중하중의 최대모멘트에 못 미친다.
44,750·59,120 kgf·mm는 토크 상수나 지지 조건을 잘못 적용했을 때 나오는 큰 값이다.

하중비가 e 이하이므로 등가하중은 반경방향 하중 그대로 4 kN이 되어 정격수명은 $\left(\dfrac{30{,}000}{4{,}000}\right)^3 \times 10^6$회전이다.
하중비: $\dfrac{F_a}{F_r} = \dfrac{3}{4} = 0.75 \le e = 0.8$이므로 X = 1, Y = 0을 쓴다.
등가하중: $P = XF_r + YF_a = 1 \times 4{,}000 + 0 = 4{,}000\ \mathrm{N}$
볼베어링 수명: $L = \left(\dfrac{C}{P}\right)^3 \times 10^6$ (볼베어링 지수 3)
하중비가 e를 넘는 쪽 계수를 쓰면 $0.39 \times 4 + 0.76 \times 3 = 3.84\ \mathrm{kN}$이 되어 표 적용 조건을 잘못 고른 것이다.
축방향 하중 3 kN만 쓰면 반경방향 하중을 무시한 것이다.

최소 동정격하중은 3,000∛3 kgf이다.
하중이 최소에서 최대로 직선 변화하는 경우 평균하중은 $P_m=\dfrac{P_{min}+2P_{max}}{3}=\dfrac{100+500}{3}=200\ \mathrm{kgf}$이다.
정격수명($10^{6}$회전 단위)은 $L=\dfrac{60nL_h}{10^6}=\dfrac{60\times 500\times 100000}{10^6}=3000$이고, 볼베어링 지수 3을 적용하면
$C=f_wP_m\sqrt[3]{L}=1.5\times 200\times\sqrt[3]{3000}=300\times 10\sqrt[3]{3}=3000\sqrt[3]{3}$
2,000∛3 kgf는 하중계수 1.5를 빠뜨린 값이다($200\times 10\sqrt[3]{3}$).
1,500∛3 kgf는 평균하중 대신 최소하중 100 kgf를 쓴 값이고, 1,000∛3 kgf는 여기에 하중계수까지 빠뜨린 값이다.

평판의 이동거리는 20 mm이다.
처음 10 mm는 스프링 A만 압축되므로 필요한 힘은 $5\times 10=50\ \mathrm{N}$이다.
남은 $250-50=200\ \mathrm{N}$은 A와 B가 병렬로 받는다.
$\Delta x=\dfrac{200}{5+15}=10\ \mathrm{mm},\quad x=10+10=20\ \mathrm{mm}$
단차를 무시하고 처음부터 두 스프링이 함께 받는다고 보면 $250/20=12.5\ \mathrm{mm}$로 어느 값과도 맞지 않는다.
18·22·24 mm는 A 단독 구간의 50 N을 빼지 않거나 두 번째 구간의 등가 상수를 잘못 잡은 값이다.

접촉점 B의 반력은 100√3 N이다.
마찰이 없으므로 반력은 각 경사면에 수직이며, A의 반력은 연직선과 60°, B의 반력은 연직선과 30°를 이룬다.
수평 평형: $N_A\sin 60^\circ=N_B\sin 30^\circ\Rightarrow N_B=\sqrt{3}N_A$
수직 평형: $N_A\cos 60^\circ+N_B\cos 30^\circ=0.5N_A+1.5N_A=200$
따라서 $N_A=100\ \mathrm{N},\ N_B=100\sqrt{3}\ \mathrm{N}$
100 N은 접촉점 A의 반력이다.
80 N·120√3 N은 반력 방향을 경사면 방향으로 잡는 등 평형식을 잘못 세운 값이다.