[7급 국가직 전달현상] 22년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

유리창을 통한 열손실은 푸리에 전도로 구하며, 단위면적당 $7500\,\mathrm{W\,m^{-2}}$이다.
정상상태 평판 전도: $q=k\dfrac{\Delta T}{L}$
대입: $q=1\times\dfrac{25-(-5)}{0.004}=\dfrac{30}{0.004}=7500\,\mathrm{W\,m^{-2}}$
두께는 반드시 m 단위($4\,\mathrm{mm}=0.004\,\mathrm{m}$)로, 온도차는 영하 부호를 살려 30 K로 잡는다.

대류 열전달계수는 뉴턴 냉각 법칙으로 구하며 $800\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}$이다.
정상상태에서 주울 발열이 모두 대류로 빠져나간다: $Q=hA(T_s-T_\infty)$
면적 환산: $A=25\,\mathrm{cm^2}=2.5\times10^{-3}\,\mathrm{m^2}$
$h=\dfrac{100}{2.5\times10^{-3}\times(350-300)}=\dfrac{100}{0.125}=800$
면적을 $\mathrm{cm^2}$ 수치 그대로 넣으면 0.08이 나오므로 SI 환산에 주의한다.

흑체 복사 플럭스는 절대온도의 네제곱에 비례하므로 16배가 된다.
스테판–볼츠만 법칙: $E_b=\sigma T^4$
온도가 2배이면 $\dfrac{E_b^{\prime}}{E_b}=2^4=16$
2배는 온도에 정비례한다고 본 경우로, 복사는 선형 관계가 아니다.
4배는 온도의 제곱에 비례한다고 착각한 경우다.
8배는 온도의 세제곱에 비례한다고 착각한 경우다.

박테리아의 레이놀즈 수는 $2.4\times10^{-5}$로, 점성력이 압도하는 크리핑 흐름 영역이다.
정의: $\mathrm{Re}=\dfrac{\rho vD}{\mu}$ (구의 지름을 대표 길이로 사용)
대입: $\mathrm{Re}=\dfrac{1000\times(18\times10^{-6})\times(1.2\times10^{-6})}{9.0\times10^{-4}}=\dfrac{2.16\times10^{-8}}{9.0\times10^{-4}}=2.4\times10^{-5}$

점 A의 압력은 $P_A=\rho_M g d_2-\rho_T g d_1+P_{atm}$이다.
마노미터 액면 B는 대기 개방 액면보다 $d_2$만큼 아래이므로 $P_B=P_{atm}+\rho_M g d_2$이다.
점 A는 탱크 액체 안에서 B보다 $d_1$만큼 위에 있으므로 $P_A=P_B-\rho_T g d_1$이다.
두 식을 합치면 마노미터 액주는 더하고 탱크 액주는 뺀 형태가 된다.
$\rho_T g d_1-\rho_M g d_2+P_{atm}$: 두 액주의 부호가 모두 반대로 되어 있다.
$\rho_T g d_2-\rho_M g d_1+P_{atm}$: 밀도와 높이 짝이 바뀌고 부호도 반대이다.
$\rho_M g d_1-\rho_T g d_2+P_{atm}$: 부호는 맞지만 각 밀도에 대응하는 높이가 서로 바뀌었다.

옳은 것은 ㄱ(Pr)과 ㄴ(Nu)이고, ㄷ은 Stanton 수가 아니라 Schmidt 수의 정의다.
Pr는 $\nu/\alpha$이고, Nu는 $\dfrac{hL}{k}=\dfrac{L/k}{1/h}$로 전도 저항 대 대류 저항의 비다.
ㄱ: 프란틀 수는 운동량 확산도와 열 확산도의 비이므로 옳다.
ㄴ: 너셀 수는 유체층의 전도 열저항을 대류 열저항으로 나눈 값과 같으므로 옳다.
ㄷ: 운동량 확산도/물질 확산도는 $\mathrm{Sc}=\nu/D_{AB}$이며, 스탠턴 수는 $\mathrm{St}=\dfrac{h}{\rho C_pv}=\dfrac{\mathrm{Nu}}{\mathrm{Re\,Pr}}$이므로 틀리다.

탈기에 의한 농도 감소는 1차 지수 감소를 따르므로 20분 후 농도는 $4\,\mathrm{mg\,L^{-1}}$이다.
균일 혼합 회분계 물질수지(물질전달 계수와 계면적을 묶은 상수 $K$): $\dfrac{dC}{dt}=-KC\;\Rightarrow\;C=C_0e^{-Kt}$
10분마다 같은 비율 $\tfrac{1}{5}$로 줄므로
$C(20)=100\times\left(\dfrac{1}{5}\right)^2=4$
선형 감소로 가정하면 20분에 0이 되지만, 농도(구동력)가 줄수록 제거 속도도 줄어든다.

원료선 기울기는 $\dfrac{q}{q-1}$이고 액체 분율 0.6을 넣으면 $-1.5$이다.
q선: $y=\dfrac{q}{q-1}x-\dfrac{x_F}{q-1}$, 여기서 q는 공급물 중 액체 분율이다.
대입: $\dfrac{0.6}{0.6-1}=\dfrac{0.6}{-0.4}=-1.5$
$-0.67$은 q 대신 기체 분율 0.4를 넣어 $\dfrac{0.4}{-0.6}$으로 계산한 값이다.
$0.67$은 기체 분율을 쓰고 부호까지 뒤집은 값이다.
$1.5$는 분모 부호를 뒤집은 값으로, $0\lt q\lt 1$인 부분 기화 공급의 q선 기울기는 항상 음수다.

크누센 확산계수는 세공 지름과 $\sqrt{T/M}$에 비례하므로 비는 0.4이다.
$D_K=\dfrac{d}{3}\sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M}}\propto d\sqrt{T}$ (같은 산소이므로 분자량 동일)
$\dfrac{D_{K,2}}{D_{K,1}}=\dfrac{0.06}{0.2}\times\sqrt{\dfrac{512}{288}}=0.3\times\dfrac{4}{3}=0.4$

투과측 압력을 무시할 수 있는 이상 조건에서 투과측 조성은 선택도 × 공급측 몰비로 정해지며, 최대 산소 농도는 약 51.5 mol%이다.
최대 분리 조건: $\dfrac{y}{1-y}=\alpha\dfrac{x}{1-x}$
대입: $\dfrac{y}{1-y}=4\times\dfrac{21}{79}=\dfrac{84}{79}\;\Rightarrow\;y=\dfrac{84}{163}\approx0.515$
질소도 함께 투과하므로 산소 농도에 선택도를 단순히 곱하지 않고 몰비 관계로 풀어야 한다.

스톡스–아인슈타인 식은 액체 중 확산계수로 압력과 무관하므로, 전체 압력에 반비례한다는 설명이 옳지 않다.
$D_{AB}=\dfrac{k_BT}{6\pi\mu R_A}$로 온도·용매 점도·용질 반지름만 포함한다. 압력 반비례는 기체 확산계수의 특징이다.
분자에 절대온도가 있으므로 온도에 비례한다는 설명은 옳다.
분모에 용매 점도가 있으므로 점도에 반비례한다는 설명은 옳다.
분모에 용질 반지름이 있으므로 용질 크기에 반비례한다는 설명은 옳다.

벽 안의 온도가 $T_1$으로 일정한 수평 분포를 보인 뒤 외기 쪽 경계층에서 $T_0$로 떨어지는 (나)가 알맞다.
$\dfrac{k}{hd}\rightarrow\infty$는 비오 수 $Bi=\dfrac{hd}{k}\rightarrow 0$을 뜻하며, 벽의 전도 저항이 대류 저항에 비해 무시할 만큼 작다.
따라서 온도 강하는 거의 모두 외부 대류 경계층에서 일어나고, 벽 외면 온도는 내면 온도 $T_1$과 같아진다.
벽 외면 온도가 $T_1$보다 높아지는 분포(가)는 $T_1>T_0$인 정상상태 열흐름에서 불가능하다.
벽 안에서 완만하게 감소하는 분포(다)는 전도·대류 저항이 비슷한 유한한 비오 수의 경우이다.
벽 안에서 크게 감소하는 분포(라)는 전도 저항이 지배적인 $Bi\gg 1$의 경우이다.

비압축성 연속 방정식 $\dfrac{\partial v_x}{\partial x}+\dfrac{\partial v_y}{\partial y}=0$을 만족하는 것은 $v_x=\cos x,\ v_y=y\sin x$이다.
이 분포는 $-\sin x+\sin x=0$으로 발산이 0이 된다.
$v_x=x-y,\ v_y=xy$는 $1+x\neq0$이므로 만족하지 않는다.
$v_x=xy+x^2,\ v_y=xy^2$는 $y+2x+2xy\neq0$이므로 만족하지 않는다.
$v_x=1,\ v_y=y-1$는 $0+1\neq0$이므로 만족하지 않는다.

온도차·압력차·중력 모두 화학퍼텐셜 구배를 만들 수 있으므로 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 해당한다.
화학퍼텐셜은 조성뿐 아니라 온도·압력에 의존하고, 외력장이 있으면 퍼텐셜 에너지 항이 더해진다. 그래서 농도 확산 외에 열확산·압력 확산·강제 확산이 존재한다.
ㄱ: 온도 구배는 열확산(소레 효과)을 일으킨다.
ㄴ: 압력 구배는 압력 확산을 일으키며, 초원심분리가 대표적이다.
ㄷ: 중력 같은 외력장은 성분별로 다르게 작용해 강제 확산을 일으킨다.

피스톤 B 1개에는 힘 $0.1F$가 작용하고 이동거리는 $2.5L$이다.
파스칼 원리로 압력 $P=\dfrac{F}{A_A}$가 모든 실린더에 같게 전달되므로 B 1개의 힘은 $P\cdot\dfrac{A_A}{10}=0.1F$이다.
비압축성 유체의 부피 보존에서 $A_A L=4\cdot\dfrac{A_A}{10}\cdot x$이므로 $x=\dfrac{10L}{4}=2.5L$이다.
힘 $10F$, 이동거리 $0.025L$: 단면적이 작은 쪽에서 힘이 커진다고 본 역전된 결과이다.
힘 $10F$, 이동거리 $0.1L$: 힘의 비가 거꾸로이고 B가 4개로 나뉘는 점도 빠졌다.
힘 $0.1F$, 이동거리 $10L$: 힘은 맞지만 배출된 부피가 B 4개에 나뉜다는 점을 빠뜨렸다.

최대 가능 열전달률은 열용량률이 작은 쪽(공기)이 최대 온도차만큼 변할 때로, 175 kW이다.
열용량률: 공기 $C_h=2.5\times1.0=2.5\,\mathrm{kW\,K^{-1}}$, 냉수 $C_c=1.5\times4.2=6.3\,\mathrm{kW\,K^{-1}}$
$q_{max}=C_{min}(T_{h,in}-T_{c,in})=2.5\times(90-20)=175\,\mathrm{kW}$
냉수 열용량률로 계산한 441 kW는 공기가 20 °C보다 더 식어야 가능한 값이라 성립하지 않는다.

뉴턴 유체의 벽면 전단응력은 벽면에서의 속도구배로 구하며 약 $0.21\,\mathrm{kg_f\,m^{-2}}$이다.
$\tau_w=\mu\left.\dfrac{du}{dy}\right|_{y=0}=\mu(A+2By)_{y=0}=\mu A$
$\tau_w=0.070\times30=2.1\,\mathrm{Pa}$
$2.1\div9.8\approx0.21\,\mathrm{kg_f\,m^{-2}}$
2.1을 그대로 고르면 $1\,\mathrm{kg_f}=9.8\,\mathrm{N}$ 환산을 빠뜨린 것이다.

물체 밀도가 액체보다 작아 떠오르며, 스톡스 식으로 구한 점도비는 약 2,200으로 1,000 이상이다.
밀도: $V=\dfrac{\pi}{6}d^3=\dfrac{3}{6}\times2^3=4\,\mathrm{cm^3}$, $\rho_s=\dfrac{4}{4}=1.0\,\mathrm{g\,cm^{-3}}<1.1$
스톡스 종말속도: $v_t=\dfrac{|\rho_f-\rho_s|gd^2}{18\mu}\;\Rightarrow\;\mu=\dfrac{100\times10\times0.02^2}{18\times0.01}\approx2.2\,\mathrm{Pa\,s}$
점도비: $\dfrac{2.2}{0.001}\approx2200$
떠오르되 점도비가 1,000 미만이라는 조합은 계산된 점도비(약 2,200)와 맞지 않는다.
가라앉으며 점도비가 1,000 이상이라는 조합은 물체 밀도가 액체보다 작다는 점을 놓쳤다.
가라앉으며 점도비가 1,000 미만이라는 조합은 운동 방향과 점도비가 모두 틀렸다.

층류 완전발달 원관 흐름이므로 하겐–푸아죄유 식을 쓰며, 압력손실은 $9.60\times10^4\,\mathrm{N\,m^{-2}}$이다.
유량 $Q=14.4\,\mathrm{L\,min^{-1}}=2.4\times10^{-4}\,\mathrm{m^3\,s^{-1}}$, 평균속도 $\bar v=\dfrac{2.4\times10^{-4}}{3\times(0.01)^2}=0.8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$
$\mathrm{Re}=\dfrac{1120\times0.8\times0.02}{0.05}\approx358$으로 층류다.
$\Delta P=\dfrac{128\mu LQ}{\pi D^4}=\dfrac{128\times0.05\times30\times2.4\times10^{-4}}{3\times1.6\times10^{-7}}=9.6\times10^4\,\mathrm{Pa}$
점도 환산 $0.500\,\mathrm{g\,cm^{-1}\,s^{-1}}=0.05\,\mathrm{Pa\,s}$에 주의한다.

층류 마찰계수는 $f=16/\mathrm{Re}$로 레이놀즈 수만의 함수이므로 상대 거칠기의 영향을 받지 않는다.
난류에서는 마찰계수가 Re와 상대 거칠기 모두에 의존하며(무디 선도), 거칠기가 클수록 커진다.
마찰계수가 Re에 비례한다는 설명은 틀리다. 층류에서는 Re에 반비례하고 난류에서도 Re 증가에 따라 감소하거나 일정해진다.
난류 마찰계수가 거칠기 증가에 따라 감소한다는 설명은 틀리다. 거칠기가 클수록 마찰계수는 증가한다.
매끈한 관에서 층류의 마찰계수가 더 작다는 설명은 틀리다. 층류는 Re가 작을수록 마찰계수가 커서 $\mathrm{Re}<10^3$ 층류가 $\mathrm{Re}>10^5$ 난류보다 크다.

A·B는 표면으로, D는 반대 방향으로 같은 몰수만큼 확산하므로 총 몰 플럭스가 $N_A$와 같아져 $N_A=-\dfrac{cD_{AM}}{1-y_A}\dfrac{\partial y_A}{\partial z}$이다.
양론 관계: $N_B=N_A,\ N_D=-N_A\;\Rightarrow\;N_A+N_B+N_D=N_A$
픽 법칙: $N_A=-cD_{AM}\dfrac{\partial y_A}{\partial z}+y_AN_A$
정리: $N_A(1-y_A)=-cD_{AM}\dfrac{\partial y_A}{\partial z}$
분모가 없는 형태는 총 플럭스가 0인 등몰 상호확산일 때의 식이다.
분모가 $1+y_A$인 형태는 총 플럭스가 $-N_A$인 경우에 해당한다.
분모가 $1-2y_A$인 형태는 총 플럭스가 $2N_A$, 즉 기체 생성물 없이 A·B만 표면으로 확산할 때에 해당한다.

냉각수의 평균질량유량은 $0.28\ \mathrm{kg\ s^{-1}}$이다.
열손실이 없으므로 액체가 잃은 열 = 냉각수가 얻은 열이다.
$Q=\dot{m}\hat{C}_P\Delta T=0.14\times 2.1\times(80-40)=11.76\ \mathrm{kW}$
$\dot{m}'=\dfrac{Q}{\hat{C}_P'\Delta T'}=\dfrac{11.76}{4.2\times(30-20)}=0.28\ \mathrm{kg\ s^{-1}}$
0.18은 열량 수지를 만족하지 않아 냉각수 출구온도가 30 °C보다 높아지는 값이다.
0.38은 유량이 과대해 냉각수 온도 상승이 10 °C보다 작아지므로 출구온도가 30 °C에 못 미친다.
0.48도 과대 유량으로 냉각수 온도 상승이 10 °C보다 작아진다.

열 플럭스는 온도 기울기의 반대 방향($\mathbf{q}=-k\nabla T$)이므로 (－20, －13, －12) 방향이다.
$\nabla\left(\dfrac{T}{T_0}\right)=(2x+yz^2,\ 2y+xz^2,\ 2xyz)$
점 (1, 2, 3) 대입: $(2+18,\ 4+9,\ 12)=(20,\ 13,\ 12)$, 기준온도가 양수이므로 $\mathbf{q}\propto-(20,\ 13,\ 12)$
(－20, 13, －6)은 y성분 부호와 z성분 크기가 모두 틀리다.
(－20, 13, －12)는 y성분에도 음의 부호가 붙어야 하는데 양수다.
(－20, －13, －6)은 z성분 $2xyz=12$의 절반 값이다.

피복 두께가 늘수록 열전달률(가)은 극대를 지나 감소하고, 경계면 온도(나)는 극소를 지나 증가하는 그래프가 알맞다.
원통 피복의 총괄 저항은 $R=\dfrac{\ln(r_o/r_i)}{2\pi kL}+\dfrac{1}{2\pi r_o hL}$로, 두께가 늘면 전도 저항은 커지고 대류 저항은 작아져 임계 반지름 $r_o=k/h$에서 최소가 된다.
경계면 온도가 일정하면 $q=\Delta T/R$가 R 최소점에서 극대이고, 열전달률이 일정하면 경계면 온도 $T_i=T_\infty+qR$가 같은 점에서 극소이다.
열전달률과 온도가 모두 극대를 지나 감소하는 그래프는 온도 곡선의 경향이 반대이다.
열전달률이 극소, 온도가 극대를 갖는 그래프는 두 곡선이 모두 뒤집혀 있다.
열전달률과 온도가 모두 극소를 지나 증가하는 그래프는 열전달률 곡선의 경향이 반대이다.

질소와 산소의 몰 플럭스가 크기는 같고 방향이 반대이므로 총 몰 플럭스가 0이 되어 몰-평균 속도는 0이다.
몰 플럭스: $N_{N_2}=\dfrac{28}{28}=1\,\mathrm{kmol\,m^{-2}\,s^{-1}}$, $N_{O_2}=-\dfrac{32}{32}=-1\,\mathrm{kmol\,m^{-2}\,s^{-1}}$
$v^*=\dfrac{N_{N_2}+N_{O_2}}{c}=0$
질량 기준으로는 순 질량 플럭스가 $-4\,\mathrm{kg\,m^{-2}\,s^{-1}}$로 0이 아니므로, 질량평균 속도와 혼동하지 않는다.