22년 1회차

유리창을 통한 열손실은 푸리에 전도로 구하며, 단위면적당 $7500\,\mathrm{W\,m^{-2}}$이다.

정상상태 평판 전도: $q=k\dfrac{\Delta T}{L}$

대입: $q=1\times\dfrac{25-(-5)}{0.004}=\dfrac{30}{0.004}=7500\,\mathrm{W\,m^{-2}}$

두께는 반드시 m 단위($4\,\mathrm{mm}=0.004\,\mathrm{m}$)로, 온도차는 영하 부호를 살려 30 K로 잡는다.

대류 열전달계수는 뉴턴 냉각 법칙으로 구하며 $800\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}$이다.

정상상태에서 주울 발열이 모두 대류로 빠져나간다: $Q=hA(T_s-T_\infty)$

면적 환산: $A=25\,\mathrm{cm^2}=2.5\times10^{-3}\,\mathrm{m^2}$
$h=\dfrac{100}{2.5\times10^{-3}\times(350-300)}=\dfrac{100}{0.125}=800$

면적을 $\mathrm{cm^2}$ 수치 그대로 넣으면 0.08이 나오므로 SI 환산에 주의한다.

흑체 복사 플럭스는 절대온도의 네제곱에 비례하므로 16배가 된다.

스테판–볼츠만 법칙: $E_b=\sigma T^4$
온도가 2배이면 $\dfrac{E_b^{\prime}}{E_b}=2^4=16$

• 2배는 온도에 정비례한다고 본 경우로, 복사는 선형 관계가 아니다.
• 4배는 온도의 제곱에 비례한다고 착각한 경우다.
• 8배는 온도의 세제곱에 비례한다고 착각한 경우다.

박테리아의 레이놀즈 수는 $2.4\times10^{-5}$로, 점성력이 압도하는 크리핑 흐름 영역이다.

정의: $\mathrm{Re}=\dfrac{\rho vD}{\mu}$ (구의 지름을 대표 길이로 사용)

대입: $\mathrm{Re}=\dfrac{1000\times(18\times10^{-6})\times(1.2\times10^{-6})}{9.0\times10^{-4}}=\dfrac{2.16\times10^{-8}}{9.0\times10^{-4}}=2.4\times10^{-5}$

점 A의 압력은 $P_A=\rho_M g d_2-\rho_T g d_1+P_{atm}$이다.

마노미터 액면 B는 대기 개방 액면보다 $d_2$만큼 아래이므로 $P_B=P_{atm}+\rho_M g d_2$이다.
점 A는 탱크 액체 안에서 B보다 $d_1$만큼 위에 있으므로 $P_A=P_B-\rho_T g d_1$이다.

두 식을 합치면 마노미터 액주는 더하고 탱크 액주는 뺀 형태가 된다.

• $\rho_T g d_1-\rho_M g d_2+P_{atm}$: 두 액주의 부호가 모두 반대로 되어 있다.
• $\rho_T g d_2-\rho_M g d_1+P_{atm}$: 밀도와 높이 짝이 바뀌고 부호도 반대이다.
• $\rho_M g d_1-\rho_T g d_2+P_{atm}$: 부호는 맞지만 각 밀도에 대응하는 높이가 서로 바뀌었다.

옳은 것은 ㄱ(Pr)과 ㄴ(Nu)이고, ㄷ은 Stanton 수가 아니라 Schmidt 수의 정의다.

Pr는 $\nu/\alpha$이고, Nu는 $\dfrac{hL}{k}=\dfrac{L/k}{1/h}$로 전도 저항 대 대류 저항의 비다.

• ㄱ: 프란틀 수는 운동량 확산도와 열 확산도의 비이므로 옳다.
• ㄴ: 너셀 수는 유체층의 전도 열저항을 대류 열저항으로 나눈 값과 같으므로 옳다.
• ㄷ: 운동량 확산도/물질 확산도는 $\mathrm{Sc}=\nu/D_{AB}$이며, 스탠턴 수는 $\mathrm{St}=\dfrac{h}{\rho C_pv}=\dfrac{\mathrm{Nu}}{\mathrm{Re\,Pr}}$이므로 틀리다.

탈기에 의한 농도 감소는 1차 지수 감소를 따르므로 20분 후 농도는 $4\,\mathrm{mg\,L^{-1}}$이다.

균일 혼합 회분계 물질수지(물질전달 계수와 계면적을 묶은 상수 $K$): $\dfrac{dC}{dt}=-KC\;\Rightarrow\;C=C_0e^{-Kt}$

10분마다 같은 비율 $\tfrac{1}{5}$로 줄므로
$C(20)=100\times\left(\dfrac{1}{5}\right)^2=4$

선형 감소로 가정하면 20분에 0이 되지만, 농도(구동력)가 줄수록 제거 속도도 줄어든다.

원료선 기울기는 $\dfrac{q}{q-1}$이고 액체 분율 0.6을 넣으면 $-1.5$이다.

q선: $y=\dfrac{q}{q-1}x-\dfrac{x_F}{q-1}$, 여기서 q는 공급물 중 액체 분율이다.

대입: $\dfrac{0.6}{0.6-1}=\dfrac{0.6}{-0.4}=-1.5$

• $-0.67$은 q 대신 기체 분율 0.4를 넣어 $\dfrac{0.4}{-0.6}$으로 계산한 값이다.
• $0.67$은 기체 분율을 쓰고 부호까지 뒤집은 값이다.
• $1.5$는 분모 부호를 뒤집은 값으로, $0\lt q\lt 1$인 부분 기화 공급의 q선 기울기는 항상 음수다.

크누센 확산계수는 세공 지름과 $\sqrt{T/M}$에 비례하므로 비는 0.4이다.

$D_K=\dfrac{d}{3}\sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M}}\propto d\sqrt{T}$ (같은 산소이므로 분자량 동일)

$\dfrac{D_{K,2}}{D_{K,1}}=\dfrac{0.06}{0.2}\times\sqrt{\dfrac{512}{288}}=0.3\times\dfrac{4}{3}=0.4$

투과측 압력을 무시할 수 있는 이상 조건에서 투과측 조성은 선택도 × 공급측 몰비로 정해지며, 최대 산소 농도는 약 51.5 mol%이다.

최대 분리 조건: $\dfrac{y}{1-y}=\alpha\dfrac{x}{1-x}$

대입: $\dfrac{y}{1-y}=4\times\dfrac{21}{79}=\dfrac{84}{79}\;\Rightarrow\;y=\dfrac{84}{163}\approx0.515$

질소도 함께 투과하므로 산소 농도에 선택도를 단순히 곱하지 않고 몰비 관계로 풀어야 한다.

스톡스–아인슈타인 식은 액체 중 확산계수로 압력과 무관하므로, 전체 압력에 반비례한다는 설명이 옳지 않다.

$D_{AB}=\dfrac{k_BT}{6\pi\mu R_A}$로 온도·용매 점도·용질 반지름만 포함한다. 압력 반비례는 기체 확산계수의 특징이다.

• 분자에 절대온도가 있으므로 온도에 비례한다는 설명은 옳다.
• 분모에 용매 점도가 있으므로 점도에 반비례한다는 설명은 옳다.
• 분모에 용질 반지름이 있으므로 용질 크기에 반비례한다는 설명은 옳다.

벽 안의 온도가 $T_1$으로 일정한 수평 분포를 보인 뒤 외기 쪽 경계층에서 $T_0$로 떨어지는 (나)가 알맞다.

$\dfrac{k}{hd}\rightarrow\infty$는 비오 수 $Bi=\dfrac{hd}{k}\rightarrow 0$을 뜻하며, 벽의 전도 저항이 대류 저항에 비해 무시할 만큼 작다.

따라서 온도 강하는 거의 모두 외부 대류 경계층에서 일어나고, 벽 외면 온도는 내면 온도 $T_1$과 같아진다.

• 벽 외면 온도가 $T_1$보다 높아지는 분포(가)는 $T_1>T_0$인 정상상태 열흐름에서 불가능하다.
• 벽 안에서 완만하게 감소하는 분포(다)는 전도·대류 저항이 비슷한 유한한 비오 수의 경우이다.
• 벽 안에서 크게 감소하는 분포(라)는 전도 저항이 지배적인 $Bi\gg 1$의 경우이다.

비압축성 연속 방정식 $\dfrac{\partial v_x}{\partial x}+\dfrac{\partial v_y}{\partial y}=0$을 만족하는 것은 $v_x=\cos x,\ v_y=y\sin x$이다.

이 분포는 $-\sin x+\sin x=0$으로 발산이 0이 된다.

• $v_x=x-y,\ v_y=xy$는 $1+x\neq0$이므로 만족하지 않는다.
• $v_x=xy+x^2,\ v_y=xy^2$는 $y+2x+2xy\neq0$이므로 만족하지 않는다.
• $v_x=1,\ v_y=y-1$는 $0+1\neq0$이므로 만족하지 않는다.

온도차·압력차·중력 모두 화학퍼텐셜 구배를 만들 수 있으므로 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 해당한다.

화학퍼텐셜은 조성뿐 아니라 온도·압력에 의존하고, 외력장이 있으면 퍼텐셜 에너지 항이 더해진다. 그래서 농도 확산 외에 열확산·압력 확산·강제 확산이 존재한다.

• ㄱ: 온도 구배는 열확산(소레 효과)을 일으킨다.
• ㄴ: 압력 구배는 압력 확산을 일으키며, 초원심분리가 대표적이다.
• ㄷ: 중력 같은 외력장은 성분별로 다르게 작용해 강제 확산을 일으킨다.

피스톤 B 1개에는 힘 $0.1F$가 작용하고 이동거리는 $2.5L$이다.

파스칼 원리로 압력 $P=\dfrac{F}{A_A}$가 모든 실린더에 같게 전달되므로 B 1개의 힘은 $P\cdot\dfrac{A_A}{10}=0.1F$이다.

비압축성 유체의 부피 보존에서 $A_A L=4\cdot\dfrac{A_A}{10}\cdot x$이므로 $x=\dfrac{10L}{4}=2.5L$이다.

• 힘 $10F$, 이동거리 $0.025L$: 단면적이 작은 쪽에서 힘이 커진다고 본 역전된 결과이다.
• 힘 $10F$, 이동거리 $0.1L$: 힘의 비가 거꾸로이고 B가 4개로 나뉘는 점도 빠졌다.
• 힘 $0.1F$, 이동거리 $10L$: 힘은 맞지만 배출된 부피가 B 4개에 나뉜다는 점을 빠뜨렸다.

최대 가능 열전달률은 열용량률이 작은 쪽(공기)이 최대 온도차만큼 변할 때로, 175 kW이다.

열용량률: 공기 $C_h=2.5\times1.0=2.5\,\mathrm{kW\,K^{-1}}$, 냉수 $C_c=1.5\times4.2=6.3\,\mathrm{kW\,K^{-1}}$

$q_{max}=C_{min}(T_{h,in}-T_{c,in})=2.5\times(90-20)=175\,\mathrm{kW}$

냉수 열용량률로 계산한 441 kW는 공기가 20 °C보다 더 식어야 가능한 값이라 성립하지 않는다.

뉴턴 유체의 벽면 전단응력은 벽면에서의 속도구배로 구하며 약 $0.21\,\mathrm{kg_f\,m^{-2}}$이다.

$\tau_w=\mu\left.\dfrac{du}{dy}\right|_{y=0}=\mu(A+2By)_{y=0}=\mu A$

$\tau_w=0.070\times30=2.1\,\mathrm{Pa}$
$2.1\div9.8\approx0.21\,\mathrm{kg_f\,m^{-2}}$

2.1을 그대로 고르면 $1\,\mathrm{kg_f}=9.8\,\mathrm{N}$ 환산을 빠뜨린 것이다.

물체 밀도가 액체보다 작아 떠오르며, 스톡스 식으로 구한 점도비는 약 2,200으로 1,000 이상이다.

밀도: $V=\dfrac{\pi}{6}d^3=\dfrac{3}{6}\times2^3=4\,\mathrm{cm^3}$, $\rho_s=\dfrac{4}{4}=1.0\,\mathrm{g\,cm^{-3}}<1.1$

스톡스 종말속도: $v_t=\dfrac{|\rho_f-\rho_s|gd^2}{18\mu}\;\Rightarrow\;\mu=\dfrac{100\times10\times0.02^2}{18\times0.01}\approx2.2\,\mathrm{Pa\,s}$
점도비: $\dfrac{2.2}{0.001}\approx2200$

• 떠오르되 점도비가 1,000 미만이라는 조합은 계산된 점도비(약 2,200)와 맞지 않는다.
• 가라앉으며 점도비가 1,000 이상이라는 조합은 물체 밀도가 액체보다 작다는 점을 놓쳤다.
• 가라앉으며 점도비가 1,000 미만이라는 조합은 운동 방향과 점도비가 모두 틀렸다.

층류 완전발달 원관 흐름이므로 하겐–푸아죄유 식을 쓰며, 압력손실은 $9.60\times10^4\,\mathrm{N\,m^{-2}}$이다.

유량 $Q=14.4\,\mathrm{L\,min^{-1}}=2.4\times10^{-4}\,\mathrm{m^3\,s^{-1}}$, 평균속도 $\bar v=\dfrac{2.4\times10^{-4}}{3\times(0.01)^2}=0.8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$
$\mathrm{Re}=\dfrac{1120\times0.8\times0.02}{0.05}\approx358$으로 층류다.

$\Delta P=\dfrac{128\mu LQ}{\pi D^4}=\dfrac{128\times0.05\times30\times2.4\times10^{-4}}{3\times1.6\times10^{-7}}=9.6\times10^4\,\mathrm{Pa}$

점도 환산 $0.500\,\mathrm{g\,cm^{-1}\,s^{-1}}=0.05\,\mathrm{Pa\,s}$에 주의한다.

층류 마찰계수는 $f=16/\mathrm{Re}$로 레이놀즈 수만의 함수이므로 상대 거칠기의 영향을 받지 않는다.

난류에서는 마찰계수가 Re와 상대 거칠기 모두에 의존하며(무디 선도), 거칠기가 클수록 커진다.

• 마찰계수가 Re에 비례한다는 설명은 틀리다. 층류에서는 Re에 반비례하고 난류에서도 Re 증가에 따라 감소하거나 일정해진다.
• 난류 마찰계수가 거칠기 증가에 따라 감소한다는 설명은 틀리다. 거칠기가 클수록 마찰계수는 증가한다.
• 매끈한 관에서 층류의 마찰계수가 더 작다는 설명은 틀리다. 층류는 Re가 작을수록 마찰계수가 커서 $\mathrm{Re}<10^3$ 층류가 $\mathrm{Re}>10^5$ 난류보다 크다.

A·B는 표면으로, D는 반대 방향으로 같은 몰수만큼 확산하므로 총 몰 플럭스가 $N_A$와 같아져 $N_A=-\dfrac{cD_{AM}}{1-y_A}\dfrac{\partial y_A}{\partial z}$이다.

양론 관계: $N_B=N_A,\ N_D=-N_A\;\Rightarrow\;N_A+N_B+N_D=N_A$

픽 법칙: $N_A=-cD_{AM}\dfrac{\partial y_A}{\partial z}+y_AN_A$
정리: $N_A(1-y_A)=-cD_{AM}\dfrac{\partial y_A}{\partial z}$

• 분모가 없는 형태는 총 플럭스가 0인 등몰 상호확산일 때의 식이다.
• 분모가 $1+y_A$인 형태는 총 플럭스가 $-N_A$인 경우에 해당한다.
• 분모가 $1-2y_A$인 형태는 총 플럭스가 $2N_A$, 즉 기체 생성물 없이 A·B만 표면으로 확산할 때에 해당한다.

냉각수의 평균질량유량은 $0.28\ \mathrm{kg\ s^{-1}}$이다.

열손실이 없으므로 액체가 잃은 열 = 냉각수가 얻은 열이다.
$Q=\dot{m}\hat{C}_P\Delta T=0.14\times 2.1\times(80-40)=11.76\ \mathrm{kW}$

$\dot{m}'=\dfrac{Q}{\hat{C}_P'\Delta T'}=\dfrac{11.76}{4.2\times(30-20)}=0.28\ \mathrm{kg\ s^{-1}}$

• 0.18은 열량 수지를 만족하지 않아 냉각수 출구온도가 30 °C보다 높아지는 값이다.
• 0.38은 유량이 과대해 냉각수 온도 상승이 10 °C보다 작아지므로 출구온도가 30 °C에 못 미친다.
• 0.48도 과대 유량으로 냉각수 온도 상승이 10 °C보다 작아진다.

열 플럭스는 온도 기울기의 반대 방향($\mathbf{q}=-k\nabla T$)이므로 (－20, －13, －12) 방향이다.

$\nabla\left(\dfrac{T}{T_0}\right)=(2x+yz^2,\ 2y+xz^2,\ 2xyz)$

점 (1, 2, 3) 대입: $(2+18,\ 4+9,\ 12)=(20,\ 13,\ 12)$, 기준온도가 양수이므로 $\mathbf{q}\propto-(20,\ 13,\ 12)$

• (－20, 13, －6)은 y성분 부호와 z성분 크기가 모두 틀리다.
• (－20, 13, －12)는 y성분에도 음의 부호가 붙어야 하는데 양수다.
• (－20, －13, －6)은 z성분 $2xyz=12$의 절반 값이다.

피복 두께가 늘수록 열전달률(가)은 극대를 지나 감소하고, 경계면 온도(나)는 극소를 지나 증가하는 그래프가 알맞다.

원통 피복의 총괄 저항은 $R=\dfrac{\ln(r_o/r_i)}{2\pi kL}+\dfrac{1}{2\pi r_o hL}$로, 두께가 늘면 전도 저항은 커지고 대류 저항은 작아져 임계 반지름 $r_o=k/h$에서 최소가 된다.

경계면 온도가 일정하면 $q=\Delta T/R$가 R 최소점에서 극대이고, 열전달률이 일정하면 경계면 온도 $T_i=T_\infty+qR$가 같은 점에서 극소이다.

• 열전달률과 온도가 모두 극대를 지나 감소하는 그래프는 온도 곡선의 경향이 반대이다.
• 열전달률이 극소, 온도가 극대를 갖는 그래프는 두 곡선이 모두 뒤집혀 있다.
• 열전달률과 온도가 모두 극소를 지나 증가하는 그래프는 열전달률 곡선의 경향이 반대이다.

질소와 산소의 몰 플럭스가 크기는 같고 방향이 반대이므로 총 몰 플럭스가 0이 되어 몰-평균 속도는 0이다.

몰 플럭스: $N_{N_2}=\dfrac{28}{28}=1\,\mathrm{kmol\,m^{-2}\,s^{-1}}$, $N_{O_2}=-\dfrac{32}{32}=-1\,\mathrm{kmol\,m^{-2}\,s^{-1}}$

$v^*=\dfrac{N_{N_2}+N_{O_2}}{c}=0$

질량 기준으로는 순 질량 플럭스가 $-4\,\mathrm{kg\,m^{-2}\,s^{-1}}$로 0이 아니므로, 질량평균 속도와 혼동하지 않는다.