[9급 지방직 기계설계] 20년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

응력과 변형률이 정비례하는 원점 O 에서 비례한도 A 까지(OA)가 훅의 법칙이 성립하는 구간이다.
훅의 법칙은 $\sigma=E\varepsilon$로, 선도가 직선인 범위에서만 성립한다. 그림에서 직선이 끝나는 점이 A(비례한도)이다.
AB 구간은 하중을 제거하면 원상태로 돌아오는 탄성 구간이지만 응력과 변형률이 더 이상 비례하지 않는다.
CD 구간은 상항복점에서 하항복점으로 넘어가는 항복 구간으로, 응력이 거의 늘지 않고 변형이 진행된다.
EF 구간은 인장강도 이후 단면이 국부적으로 줄어드는 네킹 구간으로 파단에 이른다.

단판 브레이크의 제동토크는 마찰력 × 평균반지름으로 구하며 50 N·m이다.
마찰력: $F=\mu P=0.5\times400=200\,\mathrm{N}$
평균반지름: $r=\dfrac{D}{2}=\dfrac{0.5}{2}=0.25\,\mathrm{m}$
제동토크: $T=F r=200\times0.25=50\,\mathrm{N\cdot m}$
평균지름 0.5 m를 반지름 대신 곱하면 두 배인 100 N·m가 나온다.
마찰계수를 빼먹으면 400 N에 반지름을 곱한 100 N·m가 나와 오답이 된다.
30·40·60은 식에 맞는 대입으로 나오지 않는 값이다.

나사골에 강구를 넣어 볼의 구름 접촉으로 운동하는 것은 둥근나사가 아니라 볼나사이므로 이 설명이 옳지 않다.
둥근나사는 나사산과 골을 둥글게 만든 나사로, 먼지·모래가 끼기 쉬운 곳이나 전구 소켓 등에 쓰인다.
미터나사는 결합용 나사이며 기호 M과 호칭지름(mm)으로 나타낸다 — 옳다.
유니파이나사는 1인치당 나사산 수로 피치를 나타낸다 — 옳다.
사다리꼴나사는 운동용 나사로 공작기계의 이송 나사에 쓰인다 — 옳다.

리벳 이음 판의 효율은 구멍 뚫린 판의 강도 ÷ 구멍 없는 판의 강도이므로 피치가 2p이면 $\eta=\dfrac{2p-d}{2p}$이다.
한 피치 폭에서 판이 견디는 단면은 피치 − 리벳지름만큼 남으므로
$\eta=\dfrac{(p'-d)\,t\,\sigma_t}{p'\,t\,\sigma_t}=\dfrac{p'-d}{p'}$, 여기에 $p'=2p$를 대입한다.
분자·분모를 p로 쓴 식은 피치를 2p가 아닌 p로 본 경우다.
분자는 2p−d인데 분모를 p로 둔 식은 효율이 1을 넘을 수 있어 성립하지 않는다.
분자를 d−2p로 둔 식은 음수가 되어 효율이 될 수 없다.

볼 베어링 수명은 하중계수를 곱한 하중으로 정격수명을 구해 시간으로 환산하면 500시간이다.
하중비: $\dfrac{C}{f_w P}=\dfrac{900}{1.5\times200}=3$
정격수명(볼 베어링 지수 3): $L_n=3^3\times10^6=27\times10^6\,\mathrm{rev}$
시간 환산: $L_h=\dfrac{27\times10^6}{60\times900}=500\,\mathrm{h}$
하중계수를 빼면 하중비가 4.5가 되어 훨씬 큰 수명이 나온다.
1,000·1,500·2,000시간은 지수나 하중계수 적용을 잘못했을 때의 값으로 식과 맞지 않는다.

같은 재료·같은 바깥지름이면 토크비는 $\dfrac{65}{81}$이다.
허용전단응력이 같을 때 전달 토크는 극단면계수에 비례하며, 중공축은 $T=\tau\dfrac{\pi(d^4-d_i^4)}{16d}$, 중실축은 $T=\tau\dfrac{\pi d^3}{16}$이다.
두 식을 나누면
$\dfrac{T_h}{T_s}=1-\left(\dfrac{d_i}{d}\right)^4=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^4=1-\dfrac{16}{81}=\dfrac{65}{81}$
$\dfrac{16}{81}$은 안지름이 차지하던 몫으로, 중공축이 잃은 토크 비율이다.
$\dfrac{15}{16}$은 지름비를 $\dfrac{1}{2}$로 잡은 경우의 값이다.
$\dfrac{16}{15}$은 1보다 커서 속이 빈 축이 더 큰 토크를 전달한다는 뜻이 되므로 성립하지 않는다.

브레이크 패드가 받는 압력은 $1.0\,\mathrm{N/mm^2}$이다.
블록 브레이크의 압력은 하중을 블록 접촉면의 투영면적(현의 길이 × 폭)으로 나눠 구한다. 접촉중심각이 θ이면 현의 길이는 $2r\sin\dfrac{\theta}{2}$이다.
$e=2\times50\times\sin30^\circ=50\,\mathrm{mm}$
$A=e\,b=50\times20=1\,000\,\mathrm{mm^2}$
$p=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{1\,000}{1\,000}=1.0\,\mathrm{N/mm^2}$
0.8 은 접촉 길이를 62.5 mm 로 현의 길이보다 길게 잡아야 나오는 값이다.
1.2 는 접촉 길이를 약 41.7 mm 로 짧게 잡아야 나오는 값이다.
1.4 는 접촉 길이를 약 35.7 mm 로 더 짧게 잡아야 나오는 값으로, 현의 길이 50 mm 와 맞지 않는다.

소선 단면에는 비틀림 전단과 직접 전단이 함께 작용하므로 최대전단응력은 $\dfrac{4F}{\pi d^2}+\dfrac{8FD}{\pi d^3}$이다.
하중 F 는 소선 단면에 비틀림모멘트 $T=F\dfrac{D}{2}$를 만들고, 동시에 단면을 그대로 미는 직접 전단력 F 도 준다.
$\tau_1=\dfrac{16T}{\pi d^3}=\dfrac{8FD}{\pi d^3}$
$\tau_2=\dfrac{F}{\pi d^2/4}=\dfrac{4F}{\pi d^2}$
코일 안쪽 면에서 두 응력의 방향이 같아 그대로 더해진다.
$\dfrac{4F}{\pi d^2}$만 쓴 식은 직접 전단만 고려하고 비틀림을 빠뜨렸다.
$\dfrac{8FD}{\pi d^3}$만 쓴 식은 비틀림 성분만 본 근사식으로 직접 전단이 빠졌다.
$\dfrac{16FD}{\pi d^3}$은 비틀림모멘트를 $FD$로 잡아 반지름 대신 지름을 곱한 값이다.

길이방향 하중은 원통 끝면(뚜껑) 면적에 압력을 곱한 값이므로 $\dfrac{\pi pD^2}{400}$이어야 하며, 두께 t 가 들어간 식이 옳지 않다.
압력 단위가 $\mathrm{N/cm^2}$이고 길이는 mm 이므로 $p/100$을 $\mathrm{N/mm^2}$로 바꿔 쓴다. 길이방향 하중은
$W_z=\dfrac{p}{100}\times\dfrac{\pi D^2}{4}=\dfrac{\pi pD^2}{400}$
원주방향 하중: 길이 l 인 원통을 축 단면으로 자른 투영면적 $Dl$에 압력을 곱해 $\dfrac{pDl}{100}$으로 옳다.
길이방향 인장응력: 하중 $\dfrac{\pi pD^2}{400}$을 단면적 $\pi Dt$로 나누면 $\dfrac{Dp}{400t}$로 옳다.
용기 두께: 원주응력 $\dfrac{pD}{200t}$를 $\sigma_a\eta$로 놓고 부식 여유 C 를 더한 $\dfrac{Dp}{200\sigma_a\eta}+C$로 옳다.

순수 비틀림이므로 Von Mises 응력은 전단응력의 $\sqrt{3}$배인 $\dfrac{160\sqrt{3}}{\pi^2}\,\mathrm{MPa}$이다.
50 Hz 는 초당 50 회전이므로 각속도는 $\omega=2\pi\times50=100\pi\,\mathrm{rad/s}$이다.
$T=\dfrac{P}{\omega}=\dfrac{1\,000}{100\pi}=\dfrac{10}{\pi}\,\mathrm{N\cdot m}=\dfrac{10\,000}{\pi}\,\mathrm{N\cdot mm}$
$\tau=\dfrac{16T}{\pi d^3}=\dfrac{16\times10\,000}{\pi\times\pi\times10^3}=\dfrac{160}{\pi^2}\,\mathrm{MPa}$
$\sigma_{vm}=\sqrt{3}\,\tau=\dfrac{160\sqrt{3}}{\pi^2}\,\mathrm{MPa}$
$\dfrac{160}{\pi^2}$은 최대 전단응력 자체로, 유효응력 환산이 빠졌다.
$\dfrac{320}{\pi^2}$은 전단응력을 2배 한 값으로 Tresca 기준의 상당응력에 해당한다.
$\dfrac{320\sqrt{3}}{\pi^2}$은 토크를 2배로 잡아야 나오는 값이다.

평행축에 맞물리는 헬리컬기어 한 쌍은 비틀림 방향이 서로 반대(오른쪽–왼쪽)여야 하므로, 같은 방향을 한 쌍으로 쓴다는 설명이 옳지 않다.
축직각 모듈과 치직각 모듈은 $m_s=\dfrac{m_n}{\cos\beta}$ 관계이므로 축직각 모듈이 더 크다.
축직각 모듈이 치직각 모듈보다 크다 — 옳다.
이가 점진적으로 물려 탄성변형이 적고 진동·소음이 작다 — 옳다.
축방향 추력을 상쇄하려고 이중 헬리컬기어(헤링본기어)를 쓴다 — 옳다.

축하중만 받는 볼트는 골지름 단면으로 인장응력을 견뎌야 하며, 계산한 바깥지름보다 큰 최소 규격은 M16이다.
골지름: $d_1=\sqrt{\dfrac{4W}{\pi\sigma_a}}=\sqrt{\dfrac{4\times9600}{\pi\times100}}\approx11.06\,\mathrm{mm}$
바깥지름: $d=\dfrac{d_1}{0.8}\approx13.8\,\mathrm{mm}$
M8·M12는 필요한 바깥지름 약 13.8 mm보다 작아 허용응력을 넘는다.
M20은 견딜 수 있지만 가장 작은 지름이 아니다.

잇수비로 큰 기어 잇수를 구한 뒤 이끝원 지름 $D_o=m(z+2)$를 적용하면 110 mm, 310 mm이다.
큰 기어 잇수: $z_2=z_1\dfrac{N_1}{N_2}=20\times\dfrac{300}{100}=60$
작은 기어: $D_{o1}=5\times(20+2)=110\,\mathrm{mm}$
큰 기어: $D_{o2}=5\times(60+2)=310\,\mathrm{mm}$
105는 이끝높이를 한쪽(모듈 1배)만 더한 값으로, 이끝원은 양쪽 이끝높이 2m을 더해야 한다.
305는 큰 기어에서 같은 실수를 한 값이다.

노치가 있으면 응력집중이 생기므로 노치가 없을 때보다 안전율을 크게 잡아야 한다. 따라서 작게 한다는 설명이 옳지 않다.
안전율은 $S=\dfrac{\sigma_{s}}{\sigma_a}$(기준강도/허용응력)로, 불확실성과 위험 요인이 클수록 크게 정한다.
기준강도를 허용응력으로 나눈 값으로 나타낸다 — 옳다.
안전율이 지나치게 크면 재료·중량이 늘어 경제성이 떨어진다 — 옳다.
가공정밀도가 낮을수록 불확실성이 커지므로 정밀도에 따라 안전율을 달리한다 — 옳다.

목두께는 판 두께 $t_1$로 보므로 굽힘응력은 $20\,\mathrm{N/mm^2}$이다.
그림에서 $t_2$는 덧살(보강 비드)까지 포함한 높이이고, 맞대기 용접의 목두께는 덧살을 뺀 판 두께 $t_1$이다. 폭 b 인 직사각형 단면의 굽힘응력은
$\sigma=\dfrac{6M}{bt_1^2}=\dfrac{6\times20\,000}{60\times10^2}=20\,\mathrm{N/mm^2}$
$\dfrac{125}{9}$는 덧살 높이 $t_2=12\,\mathrm{mm}$를 목두께로 잘못 넣은 값이다.
$\dfrac{250}{9}$는 20 보다 커서 목두께를 판 두께보다 얇게 본 결과가 되므로 맞지 않는다.
30 은 20 의 1.5배로, 단면계수를 $\dfrac{bt_1^2}{6}$보다 작게 잡은 값이다.

코일 스프링 처짐식을 유효감김수에 대해 풀면 2.5이다.
처짐식: $\delta=\dfrac{8nPD^3}{Gd^4}=\dfrac{8nPC^3}{Gd}$ ($C=D/d$)
정리: $n=\dfrac{\delta G d}{8PC^3}$
대입: $n=\dfrac{50\times80\,000\times15}{8\times3000\times10^3}=\dfrac{6\times10^7}{2.4\times10^7}=2.5$
스프링지수를 세제곱하지 않거나 전단탄성계수를 $\mathrm{MPa}$로 바꾸지 않으면 2.5에서 크게 어긋난다.
처짐식의 지름 세제곱/소선지름 네제곱 관계를 그대로 써야 한다.

허용 긴장측 장력과 유효장력으로 동력을 구하면 2.8 kW이다.
긴장측 장력: $T_t=\sigma_a b t\eta=2.5\times70\times5\times0.8=700\,\mathrm{N}$
유효장력(장력비 2): $T_e=T_t\left(1-\dfrac{1}{2}\right)=350\,\mathrm{N}$
동력: $H=T_e v=350\times8=2800\,\mathrm{W}=2.8\,\mathrm{kW}$
이음 효율을 빼먹으면 3.5 kW가 나온다.
2 kW·2.4 kW는 장력비나 효율을 잘못 적용한 값이다.

원주응력과 길이방향 응력의 차를 2로 나눈 면내 최대 전단응력은 12 $N/mm^{2}$이다.
원주응력: $\sigma_t=\dfrac{pD}{2t}=\dfrac{1.6\times600}{2\times10}=48\,\mathrm{N/mm^2}$
길이방향 응력: $\sigma_z=\dfrac{pD}{4t}=24\,\mathrm{N/mm^2}$
최대 전단응력: $\tau=\dfrac{\sigma_t-\sigma_z}{2}=\dfrac{48-24}{2}=12\,\mathrm{N/mm^2}$
48은 원주응력, 24는 길이방향 응력 자체다.
6은 응력 차를 한 번 더 나누는 등 식을 잘못 적용한 값이다.

벨트 두께를 풀리 지름에 더하고 미끄럼 2%를 반영하면 종동풀리 회전속도는 약 974.8 rpm이다.
속도비(두께 고려): $N_2=N_1\dfrac{D_1+t}{D_2+t}=600\times\dfrac{756}{456}\approx994.7\,\mathrm{rpm}$
미끄럼 반영: $N_2'=994.7\times0.98\approx974.8\,\mathrm{rpm}$
994.7 rpm은 미끄럼 감소를 빼먹은 값이다.
1,000 rpm은 두께와 미끄럼을 모두 무시한 단순 지름비 값이다.
980 rpm은 두께를 무시하고 미끄럼만 반영한 값이다.

축의 최대허용토크를 키의 압축 항복으로 전달하려면 키 길이는 최소 $\dfrac{\pi d}{\sqrt{3}}$이어야 한다.
축의 최대허용토크는 주어진 허용전단강도 $\dfrac{\sigma_Y}{\sqrt{3}}$를 축 단면에 적용해 구한다.
$T=\dfrac{\sigma_Y}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\pi d^3}{16}$
축 표면에서 키가 받는 힘은 $F=\dfrac{2T}{d}$이고, 압축을 받는 면은 그림처럼 축 밖으로 나온 높이 $\dfrac{d}{8}$ × 길이 L이다.
$\sigma_Y=\dfrac{F}{L\cdot d/8}=\dfrac{16T}{Ld^2}\;\Rightarrow\;L=\dfrac{16T}{\sigma_Y d^2}=\dfrac{\pi d}{\sqrt{3}}$
$\dfrac{\pi d}{2\sqrt{3}}$은 압축 면 높이를 $\dfrac{d}{4}$(키 너비)로 잘못 잡은 값이다.
$\dfrac{\pi d}{3\sqrt{3}}$은 압축 면 높이를 $\dfrac{3d}{8}$로 잡아야 나오는 값으로 그림의 치수와 맞지 않는다.
$\dfrac{\pi d}{4\sqrt{3}}$은 압축 면 높이를 $\dfrac{d}{2}$로 잡아야 나오는 값이다.