20년 1회차

응력과 변형률이 정비례하는 원점 O 에서 비례한도 A 까지(OA)가 훅의 법칙이 성립하는 구간이다.

훅의 법칙은 $\sigma=E\varepsilon$로, 선도가 직선인 범위에서만 성립한다. 그림에서 직선이 끝나는 점이 A(비례한도)이다.

• AB 구간은 하중을 제거하면 원상태로 돌아오는 탄성 구간이지만 응력과 변형률이 더 이상 비례하지 않는다.
• CD 구간은 상항복점에서 하항복점으로 넘어가는 항복 구간으로, 응력이 거의 늘지 않고 변형이 진행된다.
• EF 구간은 인장강도 이후 단면이 국부적으로 줄어드는 네킹 구간으로 파단에 이른다.

단판 브레이크의 제동토크는 마찰력 × 평균반지름으로 구하며 50 N·m이다.

마찰력: $F=\mu P=0.5\times400=200\,\mathrm{N}$
평균반지름: $r=\dfrac{D}{2}=\dfrac{0.5}{2}=0.25\,\mathrm{m}$
제동토크: $T=F r=200\times0.25=50\,\mathrm{N\cdot m}$

• 평균지름 0.5 m를 반지름 대신 곱하면 두 배인 100 N·m가 나온다.
• 마찰계수를 빼먹으면 400 N에 반지름을 곱한 100 N·m가 나와 오답이 된다.
• 30·40·60은 식에 맞는 대입으로 나오지 않는 값이다.

나사골에 강구를 넣어 볼의 구름 접촉으로 운동하는 것은 둥근나사가 아니라 볼나사이므로 이 설명이 옳지 않다.

둥근나사는 나사산과 골을 둥글게 만든 나사로, 먼지·모래가 끼기 쉬운 곳이나 전구 소켓 등에 쓰인다.

• 미터나사는 결합용 나사이며 기호 M과 호칭지름(mm)으로 나타낸다 — 옳다.
• 유니파이나사는 1인치당 나사산 수로 피치를 나타낸다 — 옳다.
• 사다리꼴나사는 운동용 나사로 공작기계의 이송 나사에 쓰인다 — 옳다.

리벳 이음 판의 효율은 구멍 뚫린 판의 강도 ÷ 구멍 없는 판의 강도이므로 피치가 2p이면 $\eta=\dfrac{2p-d}{2p}$이다.

한 피치 폭에서 판이 견디는 단면은 피치 − 리벳지름만큼 남으므로
$\eta=\dfrac{(p'-d)\,t\,\sigma_t}{p'\,t\,\sigma_t}=\dfrac{p'-d}{p'}$, 여기에 $p'=2p$를 대입한다.

• 분자·분모를 p로 쓴 식은 피치를 2p가 아닌 p로 본 경우다.
• 분자는 2p−d인데 분모를 p로 둔 식은 효율이 1을 넘을 수 있어 성립하지 않는다.
• 분자를 d−2p로 둔 식은 음수가 되어 효율이 될 수 없다.

볼 베어링 수명은 하중계수를 곱한 하중으로 정격수명을 구해 시간으로 환산하면 500시간이다.

하중비: $\dfrac{C}{f_w P}=\dfrac{900}{1.5\times200}=3$
정격수명(볼 베어링 지수 3): $L_n=3^3\times10^6=27\times10^6\,\mathrm{rev}$
시간 환산: $L_h=\dfrac{27\times10^6}{60\times900}=500\,\mathrm{h}$

• 하중계수를 빼면 하중비가 4.5가 되어 훨씬 큰 수명이 나온다.
• 1,000·1,500·2,000시간은 지수나 하중계수 적용을 잘못했을 때의 값으로 식과 맞지 않는다.

같은 재료·같은 바깥지름이면 토크비는 $\dfrac{65}{81}$이다.

허용전단응력이 같을 때 전달 토크는 극단면계수에 비례하며, 중공축은 $T=\tau\dfrac{\pi(d^4-d_i^4)}{16d}$, 중실축은 $T=\tau\dfrac{\pi d^3}{16}$이다.

두 식을 나누면
$\dfrac{T_h}{T_s}=1-\left(\dfrac{d_i}{d}\right)^4=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^4=1-\dfrac{16}{81}=\dfrac{65}{81}$

• $\dfrac{16}{81}$은 안지름이 차지하던 몫으로, 중공축이 잃은 토크 비율이다.
• $\dfrac{15}{16}$은 지름비를 $\dfrac{1}{2}$로 잡은 경우의 값이다.
• $\dfrac{16}{15}$은 1보다 커서 속이 빈 축이 더 큰 토크를 전달한다는 뜻이 되므로 성립하지 않는다.

브레이크 패드가 받는 압력은 $1.0\,\mathrm{N/mm^2}$이다.

블록 브레이크의 압력은 하중을 블록 접촉면의 투영면적(현의 길이 × 폭)으로 나눠 구한다. 접촉중심각이 θ이면 현의 길이는 $2r\sin\dfrac{\theta}{2}$이다.

$e=2\times50\times\sin30^\circ=50\,\mathrm{mm}$
$A=e\,b=50\times20=1\,000\,\mathrm{mm^2}$
$p=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{1\,000}{1\,000}=1.0\,\mathrm{N/mm^2}$

• 0.8 은 접촉 길이를 62.5 mm 로 현의 길이보다 길게 잡아야 나오는 값이다.
• 1.2 는 접촉 길이를 약 41.7 mm 로 짧게 잡아야 나오는 값이다.
• 1.4 는 접촉 길이를 약 35.7 mm 로 더 짧게 잡아야 나오는 값으로, 현의 길이 50 mm 와 맞지 않는다.

소선 단면에는 비틀림 전단과 직접 전단이 함께 작용하므로 최대전단응력은 $\dfrac{4F}{\pi d^2}+\dfrac{8FD}{\pi d^3}$이다.

하중 F 는 소선 단면에 비틀림모멘트 $T=F\dfrac{D}{2}$를 만들고, 동시에 단면을 그대로 미는 직접 전단력 F 도 준다.
$\tau_1=\dfrac{16T}{\pi d^3}=\dfrac{8FD}{\pi d^3}$
$\tau_2=\dfrac{F}{\pi d^2/4}=\dfrac{4F}{\pi d^2}$

코일 안쪽 면에서 두 응력의 방향이 같아 그대로 더해진다.

• $\dfrac{4F}{\pi d^2}$만 쓴 식은 직접 전단만 고려하고 비틀림을 빠뜨렸다.
• $\dfrac{8FD}{\pi d^3}$만 쓴 식은 비틀림 성분만 본 근사식으로 직접 전단이 빠졌다.
• $\dfrac{16FD}{\pi d^3}$은 비틀림모멘트를 $FD$로 잡아 반지름 대신 지름을 곱한 값이다.

길이방향 하중은 원통 끝면(뚜껑) 면적에 압력을 곱한 값이므로 $\dfrac{\pi pD^2}{400}$이어야 하며, 두께 t 가 들어간 식이 옳지 않다.

압력 단위가 $\mathrm{N/cm^2}$이고 길이는 mm 이므로 $p/100$을 $\mathrm{N/mm^2}$로 바꿔 쓴다. 길이방향 하중은
$W_z=\dfrac{p}{100}\times\dfrac{\pi D^2}{4}=\dfrac{\pi pD^2}{400}$

• 원주방향 하중: 길이 l 인 원통을 축 단면으로 자른 투영면적 $Dl$에 압력을 곱해 $\dfrac{pDl}{100}$으로 옳다.
• 길이방향 인장응력: 하중 $\dfrac{\pi pD^2}{400}$을 단면적 $\pi Dt$로 나누면 $\dfrac{Dp}{400t}$로 옳다.
• 용기 두께: 원주응력 $\dfrac{pD}{200t}$를 $\sigma_a\eta$로 놓고 부식 여유 C 를 더한 $\dfrac{Dp}{200\sigma_a\eta}+C$로 옳다.

순수 비틀림이므로 Von Mises 응력은 전단응력의 $\sqrt{3}$배인 $\dfrac{160\sqrt{3}}{\pi^2}\,\mathrm{MPa}$이다.

50 Hz 는 초당 50 회전이므로 각속도는 $\omega=2\pi\times50=100\pi\,\mathrm{rad/s}$이다.
$T=\dfrac{P}{\omega}=\dfrac{1\,000}{100\pi}=\dfrac{10}{\pi}\,\mathrm{N\cdot m}=\dfrac{10\,000}{\pi}\,\mathrm{N\cdot mm}$

$\tau=\dfrac{16T}{\pi d^3}=\dfrac{16\times10\,000}{\pi\times\pi\times10^3}=\dfrac{160}{\pi^2}\,\mathrm{MPa}$
$\sigma_{vm}=\sqrt{3}\,\tau=\dfrac{160\sqrt{3}}{\pi^2}\,\mathrm{MPa}$

• $\dfrac{160}{\pi^2}$은 최대 전단응력 자체로, 유효응력 환산이 빠졌다.
• $\dfrac{320}{\pi^2}$은 전단응력을 2배 한 값으로 Tresca 기준의 상당응력에 해당한다.
• $\dfrac{320\sqrt{3}}{\pi^2}$은 토크를 2배로 잡아야 나오는 값이다.

평행축에 맞물리는 헬리컬기어 한 쌍은 비틀림 방향이 서로 반대(오른쪽–왼쪽)여야 하므로, 같은 방향을 한 쌍으로 쓴다는 설명이 옳지 않다.

축직각 모듈과 치직각 모듈은 $m_s=\dfrac{m_n}{\cos\beta}$ 관계이므로 축직각 모듈이 더 크다.

• 축직각 모듈이 치직각 모듈보다 크다 — 옳다.
• 이가 점진적으로 물려 탄성변형이 적고 진동·소음이 작다 — 옳다.
• 축방향 추력을 상쇄하려고 이중 헬리컬기어(헤링본기어)를 쓴다 — 옳다.

축하중만 받는 볼트는 골지름 단면으로 인장응력을 견뎌야 하며, 계산한 바깥지름보다 큰 최소 규격은 M16이다.

골지름: $d_1=\sqrt{\dfrac{4W}{\pi\sigma_a}}=\sqrt{\dfrac{4\times9600}{\pi\times100}}\approx11.06\,\mathrm{mm}$
바깥지름: $d=\dfrac{d_1}{0.8}\approx13.8\,\mathrm{mm}$

• M8·M12는 필요한 바깥지름 약 13.8 mm보다 작아 허용응력을 넘는다.
• M20은 견딜 수 있지만 가장 작은 지름이 아니다.

잇수비로 큰 기어 잇수를 구한 뒤 이끝원 지름 $D_o=m(z+2)$를 적용하면 110 mm, 310 mm이다.

큰 기어 잇수: $z_2=z_1\dfrac{N_1}{N_2}=20\times\dfrac{300}{100}=60$
작은 기어: $D_{o1}=5\times(20+2)=110\,\mathrm{mm}$
큰 기어: $D_{o2}=5\times(60+2)=310\,\mathrm{mm}$

• 105는 이끝높이를 한쪽(모듈 1배)만 더한 값으로, 이끝원은 양쪽 이끝높이 2m을 더해야 한다.
• 305는 큰 기어에서 같은 실수를 한 값이다.

노치가 있으면 응력집중이 생기므로 노치가 없을 때보다 안전율을 크게 잡아야 한다. 따라서 작게 한다는 설명이 옳지 않다.

안전율은 $S=\dfrac{\sigma_{s}}{\sigma_a}$(기준강도/허용응력)로, 불확실성과 위험 요인이 클수록 크게 정한다.

• 기준강도를 허용응력으로 나눈 값으로 나타낸다 — 옳다.
• 안전율이 지나치게 크면 재료·중량이 늘어 경제성이 떨어진다 — 옳다.
• 가공정밀도가 낮을수록 불확실성이 커지므로 정밀도에 따라 안전율을 달리한다 — 옳다.

목두께는 판 두께 $t_1$로 보므로 굽힘응력은 $20\,\mathrm{N/mm^2}$이다.

그림에서 $t_2$는 덧살(보강 비드)까지 포함한 높이이고, 맞대기 용접의 목두께는 덧살을 뺀 판 두께 $t_1$이다. 폭 b 인 직사각형 단면의 굽힘응력은
$\sigma=\dfrac{6M}{bt_1^2}=\dfrac{6\times20\,000}{60\times10^2}=20\,\mathrm{N/mm^2}$

• $\dfrac{125}{9}$는 덧살 높이 $t_2=12\,\mathrm{mm}$를 목두께로 잘못 넣은 값이다.
• $\dfrac{250}{9}$는 20 보다 커서 목두께를 판 두께보다 얇게 본 결과가 되므로 맞지 않는다.
• 30 은 20 의 1.5배로, 단면계수를 $\dfrac{bt_1^2}{6}$보다 작게 잡은 값이다.

코일 스프링 처짐식을 유효감김수에 대해 풀면 2.5이다.

처짐식: $\delta=\dfrac{8nPD^3}{Gd^4}=\dfrac{8nPC^3}{Gd}$ ($C=D/d$)
정리: $n=\dfrac{\delta G d}{8PC^3}$
대입: $n=\dfrac{50\times80\,000\times15}{8\times3000\times10^3}=\dfrac{6\times10^7}{2.4\times10^7}=2.5$

• 스프링지수를 세제곱하지 않거나 전단탄성계수를 $\mathrm{MPa}$로 바꾸지 않으면 2.5에서 크게 어긋난다.
• 처짐식의 지름 세제곱/소선지름 네제곱 관계를 그대로 써야 한다.

허용 긴장측 장력과 유효장력으로 동력을 구하면 2.8 kW이다.

긴장측 장력: $T_t=\sigma_a b t\eta=2.5\times70\times5\times0.8=700\,\mathrm{N}$
유효장력(장력비 2): $T_e=T_t\left(1-\dfrac{1}{2}\right)=350\,\mathrm{N}$
동력: $H=T_e v=350\times8=2800\,\mathrm{W}=2.8\,\mathrm{kW}$

• 이음 효율을 빼먹으면 3.5 kW가 나온다.
• 2 kW·2.4 kW는 장력비나 효율을 잘못 적용한 값이다.

원주응력과 길이방향 응력의 차를 2로 나눈 면내 최대 전단응력은 12 $N/mm^{2}$이다.

원주응력: $\sigma_t=\dfrac{pD}{2t}=\dfrac{1.6\times600}{2\times10}=48\,\mathrm{N/mm^2}$
길이방향 응력: $\sigma_z=\dfrac{pD}{4t}=24\,\mathrm{N/mm^2}$
최대 전단응력: $\tau=\dfrac{\sigma_t-\sigma_z}{2}=\dfrac{48-24}{2}=12\,\mathrm{N/mm^2}$

• 48은 원주응력, 24는 길이방향 응력 자체다.
• 6은 응력 차를 한 번 더 나누는 등 식을 잘못 적용한 값이다.

벨트 두께를 풀리 지름에 더하고 미끄럼 2%를 반영하면 종동풀리 회전속도는 약 974.8 rpm이다.

속도비(두께 고려): $N_2=N_1\dfrac{D_1+t}{D_2+t}=600\times\dfrac{756}{456}\approx994.7\,\mathrm{rpm}$
미끄럼 반영: $N_2'=994.7\times0.98\approx974.8\,\mathrm{rpm}$

• 994.7 rpm은 미끄럼 감소를 빼먹은 값이다.
• 1,000 rpm은 두께와 미끄럼을 모두 무시한 단순 지름비 값이다.
• 980 rpm은 두께를 무시하고 미끄럼만 반영한 값이다.

축의 최대허용토크를 키의 압축 항복으로 전달하려면 키 길이는 최소 $\dfrac{\pi d}{\sqrt{3}}$이어야 한다.

축의 최대허용토크는 주어진 허용전단강도 $\dfrac{\sigma_Y}{\sqrt{3}}$를 축 단면에 적용해 구한다.
$T=\dfrac{\sigma_Y}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\pi d^3}{16}$

축 표면에서 키가 받는 힘은 $F=\dfrac{2T}{d}$이고, 압축을 받는 면은 그림처럼 축 밖으로 나온 높이 $\dfrac{d}{8}$ × 길이 L이다.
$\sigma_Y=\dfrac{F}{L\cdot d/8}=\dfrac{16T}{Ld^2}\;\Rightarrow\;L=\dfrac{16T}{\sigma_Y d^2}=\dfrac{\pi d}{\sqrt{3}}$

• $\dfrac{\pi d}{2\sqrt{3}}$은 압축 면 높이를 $\dfrac{d}{4}$(키 너비)로 잘못 잡은 값이다.
• $\dfrac{\pi d}{3\sqrt{3}}$은 압축 면 높이를 $\dfrac{3d}{8}$로 잡아야 나오는 값으로 그림의 치수와 맞지 않는다.
• $\dfrac{\pi d}{4\sqrt{3}}$은 압축 면 높이를 $\dfrac{d}{2}$로 잡아야 나오는 값이다.