[9급 서울시 수학(지적)] 22년 2회차 기출문제 정답·해설 페이지

곡선 $y=g(x)$의 그래프는 유리함수 $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $a$만큼, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동한 것이다. $(g\circ f)(x)=x$일 때, $a+b$의 값은?

$-2$

$-1$

$0$

$1$

실수 $x$, $y$에 대하여 $18^x=9$, $4^y=3$일 때, $\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{2y}$의 값은?

$1$

$2$

$3$

$4$

이차방정식 $x^2-px+p=0$의 두 근이 $\sin\theta$, $\cos\theta$일 때, $p^2-2p$의 값은?

$1$

$2$

$-1$

$-2$

방정식 $x^2+y^2+2mx+2(m+1)y+4m^2+10m+7=0$이 원을 나타내기 위한 실수 $m$에 대하여 이 원의 반지름의 최댓값은?

$1$

$\sqrt{2}$

$2$

$\sqrt{3}$

이차방정식 $x^2+x+1=0$의 한 근을 $\omega$라고 할 때, $\dfrac{\omega^{4k}+1}{\omega^{8k}}+1=0$을 만족하는 100 이하의 자연수 $k$의 개수는?

$63$

$65$

$67$

$71$

등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10}2^{a_k}=\frac{1}{1024}$, $\displaystyle\sum_{k=11}^{20}2^{a_k}=\frac{1}{512}$일 때, $\displaystyle\sum_{k=1}^{30}2^{a_k}$의 값은?

$\dfrac{5}{1024}$

$\dfrac{3}{512}$

$\dfrac{7}{1024}$

$\dfrac{1}{128}$

두 함수 $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$과 $g(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1} & (x\neq 1)\\ 2 & (x=1)\end{cases}$에 대한 설명으로 가장 옳은 것은?

두 함수 모두 $x=1$에서 연속이다.

두 함수 모두 $x=1$에서 불연속이다.

$x=1$에서 $f(x)$는 연속이고, $g(x)$는 불연속이다.

$x=1$에서 $f(x)$는 불연속이고, $g(x)$는 연속이다.

다항식 $x^{22}+2x+5$를 $(x-1)^2$으로 나누었을 때, 나머지는 $ax+b$이다. $b$의 값은?

$-16$

$-14$

$-12$

$-10$

점 $(0,\ 2)$와 직선 $y=-3$에서 같은 거리에 있는 점의 자취의 방정식을 $f(x)$라 하자. 함수 $f(x)$의 $x=5$에서 접선의 기울기 값은?

$-2$

$1$

$2$

$3$

이차함수 $y=ax^2-2ax+a+1\ (a\gt 0)$의 그래프와 직선 $y=k$는 서로 다른 두 점에서 만나며 그 두 교점을 각각 $A$, $B$라 하고, 주어진 이차함수의 그래프의 꼭짓점을 $C$라 하자. 세 점 $A$, $B$, $C$를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 정삼각형일 때, $a(k-1)$의 값은?

$0$

$1$

$2$

$3$

다항식 $f(x)$가 임의의 실수 $x$에 대하여
$\displaystyle\int_1^x(x^2-t^2)f'(t)dt=x^4+2ax^3+bx^2$
일 때, $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1-h)}{h}$의 값은?

$-2$

$-1$

$1$

$2$

연속확률변수 $X$는 함숫값을 $[0,\ 12]$에서 갖는다. $P(a\le X\le b)$는 $(b-a)$에 비례하고, 비례상수를 $k$라 하자. 이때 옳은 것을 〈보기〉에서 모두 고른 것은? (단, $0\le a\le b\le 12$)
〈보기〉
ㄱ. 비례상수 $k$는 모든 실숫값을 취할 수 있다.
ㄴ. $P(a\le X\le b)$는 구간 $[a,\ b]$에서 상수함수 $f(x)=k$의 그래프와 $x$축 사이의 넓이이다.
ㄷ. 전체구간 $[0,\ 12]$에서 상수함수 $f(x)=k$의 그래프와 $x$축 사이의 넓이는 1이다.

ㄱ

ㄷ

ㄱ, ㄴ

ㄴ, ㄷ

곡선 $y=\dfrac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}\ (0\le x\le 2)$의 길이는?

$\dfrac{10}{3}$

$\dfrac{11}{3}$

$\dfrac{13}{3}$

$\dfrac{14}{3}$

확률변수 $X$가 이항분포 $B(n,\ p)$를 따를 때, $E(X(X-1))$의 값은?

$n^2p$

$np^2$

$n^2p^2$

$n(n-1)p^2$

극한 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=2}^{n}\left(\frac{n+2(k+3)}{n}\right)^3$의 값은?

$\dfrac{1}{4}$

$10$

$\dfrac{65}{4}$

$20$

두 수열 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$에 대하여 수열 $\{b_n\}$은 공비가 $\sqrt[4]{3}$인 등비수열이고, $b_n=a_n+a_{n+1}+1$을 만족한다. 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제20항까지의 합이 232일 때, $b_1$의 값은?

$\sqrt[4]{3}-1$

$\sqrt{3}-1$

$\sqrt[4]{3}+1$

$\sqrt{3}$

실수 $t$에 대하여 곡선 $y=\dfrac{1}{3}x^3-tx^2+tx+1$에 접하는 직선의 기울기가 최소가 될 때, 이 접선의 $y$절편을 $f(t)$라고 하자. $f'(1)+f(1)$의 값은? (단, $f'$은 $f$의 도함수이다.)

$1$

$\dfrac{5}{3}$

$\dfrac{7}{4}$

$\dfrac{7}{3}$

이차부등식 $x^2+2ax+b\lt 0$의 해가 존재하지 않을 때, 실수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 최솟값은?

$-\dfrac{1}{7}$

$-\dfrac{1}{6}$

$-\dfrac{1}{5}$

$-\dfrac{1}{4}$

두 사건 $A$, $B$에 대하여 $P(A)=\dfrac{2}{5}$, $P(A|B)=\dfrac{1}{3}$, $P(A^c\cap B^c)=\dfrac{2}{5}$일 때, $P(B|A)$의 값은? (단, $A^c$는 $A$의 여사건이다.)

$\dfrac{3}{20}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{3}{10}$

1부터 3000까지의 자연수 중에서 3000과 서로소인 자연수는 몇 개인가?

750

800

830

910