[9급 서울시 수학(지적)] 16년 2회차 기출문제 정답·해설 페이지

공간 $\mathbb{R}^{3}$의 점 $A(1,\ 0,\ -1)$, $B(2,\ 1,\ -1)$, $C(1,\ 2,\ 1)$에 대해 $\angle BAC$는?

$\frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{2}$

$\frac{2}{3}\pi$

$-1 \le x \le 3$인 범위에서 이차함수 $y=x^{2}-4x+2$의 최솟값과 최댓값의 차이는?

6

7

8

9

이차함수 $f(x)=x^{2}-4x+a$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $-5$만큼 평행이동시킨 그래프가 $x$축에 접할 때, 상수 $a$의 값은?

6

7

8

9

$x$, $y$에 대한 연립방정식
$\begin{pmatrix} a & -1 \\ a-1 & a+3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$에서
$x=0,\ y=0$ 이외의 해를 갖게 하는 실수 $a$의 값을 모두 구했을 때, 이들의 합은?

$-1$

$-2$

$-3$

$-4$

방정식 $4^{x}-9\cdot 2^{x}+20=0$의 두 실근을 $\alpha$, $\beta$라 할 때, $2^{\alpha+\beta}$의 값은?

18

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21

$x$에 관한 10차 다항식 $\sum_{n=0}^{10} a_{n}x^{n}$을 $x-1$로 나눈 나머지는 7이고, $x+1$로 나눈 나머지는 3이다. 홀수차 항의 계수의 합인 $a_{1}+a_{3}+a_{5}+a_{7}+a_{9}$의 값은?

1

2

3

4

좌표평면에서 점$(x,\ y)$가 부등식 $2x^{2} \le y \le x+1$의 영역을 움직일 때, $x+y$의 최댓값과 최솟값의 합은?

$\frac{17}{8}$

$\frac{19}{8}$

$\frac{21}{8}$

$\frac{23}{8}$

세 수 $A=\sqrt{39}$, $B=10^{\frac{5}{6}}$, $C=\frac{11}{4-\sqrt{5}}$의 대소 관계로 옳은 것은?

$A \lt B \lt C$

$A \lt C \lt B$

$C \lt A \lt B$

$C \lt B \lt A$

$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{1}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\cdots+\sqrt{2n-1}}{n\sqrt{n}}$의 값은?

$\frac{1}{3}\sqrt{2}$

$\frac{2}{3}\sqrt{2}$

$\sqrt{2}$

$\frac{4}{3}\sqrt{2}$

곡선 $y=\sqrt{x-1}$과 $x$축 및 직선 $x=2$에 둘러싸인 도형을 $y$축의 둘레로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피는?

$\frac{29}{15}\pi$

$\frac{31}{15}\pi$

$\frac{32}{15}\pi$

$\frac{34}{15}\pi$

다음과 같이 정의된 수열 $\{a_{n}\}$이 있다.
$a_{1}=4,\ a_{n+1}+a_{n}=10\,(n=1,\ 2,\ 3,\cdots)$
이때, $\sum_{k=1}^{100} a_{k}$의 값은?

250

300

500

1000

원 $x^{2}+y^{2}=4$와 직선 $x+y=1$의 두 교점을 A와 B라 할 때, 점 A와 점 B 사이의 거리는? (단, $x$와 $y$는 실수이다.)

$\sqrt{14}$

4

$3\sqrt{2}$

$2\sqrt{5}$

수열 $\{a_{n}\}$에 대하여 $a_{n}$이
$a_{n}=\frac{n+1}{2n-1}-\frac{n+2}{2n+1}\,(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
일 때, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$의 값은?

1

$\frac{3}{2}$

2

$\frac{5}{2}$

$1 \lt a \lt 10$인 자연수 $a$와 자연수 $m$이 다음 식 $(a-1)\cdot 10^{m} \lt 3\cdot 2^{100} \lt a\cdot 10^{m}$을 만족할 때, $a+m$의 값은? (단, $\log_{10}2=0.3010$, $\log_{10}3=0.4771$로 계산한다.)

30

32

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삼차함수 $f(x)=5x^{3}+3x^{2}+ax+b$에 대하여 두 등식 $\int_{-1}^{1} f(x)dx=-2$, $\int_{-1}^{1} xf(x)dx=2$가 성립할 때, 실수 $a$와 $b$의 합 $a+b$의 값은?

$-2$

$-1$

0

1

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $f(x)=x^{3}+f'(1)x^{2}+x$를 만족시킬 때, $f(-1)$의 값은?

$-3$

$-4$

$-5$

$-6$

$\frac{3}{2}\pi \lt \theta \lt 2\pi$이고 $6\sin^{2}\theta=5\cos\theta$가 성립할 때, $\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$의 대소 관계로 옳은 것은?

$\sin\theta \lt \cos\theta \lt \tan\theta$

$\sin\theta \lt \tan\theta \lt \cos\theta$

$\tan\theta \lt \sin\theta \lt \cos\theta$

$\tan\theta \lt \cos\theta \lt \sin\theta$

$\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+a}-3}{x^{2}-4x+3}=b$를 만족시키는 실수인 두 상수 $a$와 $b$의 곱 $ab$의 값은?

$-\frac{1}{2}$

$-\frac{2}{3}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{2}{3}$

구간 $[-1,\ 1]$에서 정의된 확률변수 $X$의 확률밀도함수 $f(x)$가 $f(x)=\frac{1}{2}x^{2}+a$ 일 때, $\mathrm{P}(0 \le X \le 3a)$의 값은? (단, $a$는 상수이다.)

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{5}$

어느 자격시험에 응시한 사람들의 점수는 평균 620점, 표준편차 50점인 정규분포를 따르고, 이 시험에 합격하기 위해서는 660점 이상의 점수를 얻어야 한다고 한다. 이 시험에 응시한 사람이 660점 이상의 점수를 받을 확률은? (단, 오른쪽 표준정규분포표를 이용한다.)
[표준정규분포표]
$z$
$\mathrm{P}(0 \le Z \le z)$
0.5
0.19
0.8
0.29

0.21

0.31

0.48

0.58