[9급 서울시 수학] 19년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

연립방정식 $\begin{cases}7-xy=x^{2}\\2x+2y=7\end{cases}$을 만족하는 실수 $x$, $y$에 대하여 $x-y$의 값은?

$\frac{1}{2}$

$1$

$\frac{3}{2}$

$2$

함수 $f(x)=\begin{cases}-x+1 & (x\ge -1)\\x^{2}+2x+3 & (x\lt -1)\end{cases}$에 대하여
$f^{-1}(6)+f(6)$의 값은?

$-6$

$-8$

$-10$

$-12$

확률변수 $X$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
$X$
$-1$
$0$
$1$
$2$
$3$
계
$\mathrm{P}(X=x)$
$a$
$\frac{1}{12}$
$b$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{6}$
$1$
$\mathrm{E}(X)=1$일 때, $\mathrm{V}(X)$의 값은?

$1$

$2$

$3$

$4$

수열 $\{a_{n}\}$이 $\sum_{k=1}^{2019}ka_{k+1}=26$, $\sum_{k=1}^{2019}(k+1)a_{k}=47$,
$a_{2020}=\frac{1}{2019}$을 만족시킬 때, $\sum_{k=1}^{2019}a_{k}$의 값은?

$10$

$11$

$12$

$13$

$0\le a\le b\lt c\lt 12$를 만족하는 정수 $a$, $b$, $c$의 순서쌍 $(a,\ b,\ c)$의 개수는?

$120$

$165$

$220$

$286$

실수 $x$에 대하여 두 조건 $p$, $q$가 <보기>와 같다.
<보기>
$p:x^{2}-x-12\le 0,\ q:|x-a|\le 2$
$p$는 $q$이기 위한 필요조건이 되도록 하는 실수 $a$값의 범위는?

$-2\le a\le 1$

$-1\le a\le 2$

$0\le a\le 3$

$1\le a\le 4$

함수 $f(x)=x^{3}-2x^{2}+2x+3$에 대하여
$\lim_{h\to 0}\frac{f(2+3h)-f(2-2h)}{2h}$의 값은?

$15$

$20$

$25$

$30$

일차함수 $f(x)$가 <보기> 조건을 만족시킨다.
<보기>
(가) $f(5)=2$
(나) 모든 실수 $x$에 대하여 $(f\circ f)(x)=x$이다.
$f(a)=13$을 만족시키는 $a$의 값은?

$-3$

$-4$

$-5$

$-6$

함수 $f(x)=x^{3}-2x^{2}$에 대하여
$F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$라 할 때, 구간 $[0,3]$에서 함수 $F(x)$는
최댓값 $M$, 최솟값 $m$을 갖는다. 이때 $Mm$의 값은?

$-1$

$-2$

$-3$

$-4$

수직선 위의 원점에 있는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t(t\gt 0)$에서의 속도가 다음과 같다.
$v(t)=\begin{cases}t & (0\lt t\le 2)\\t^{2}-6t+10 & (t\gt 2)\end{cases}$
<보기> 중 점 $\mathrm{P}$에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고른 것은?
<보기>
ㄱ. $0\lt t\lt 2$에서 속도가 증가한다.
ㄴ. $t=2$에서 운동 방향이 바뀐다.
ㄷ. $t=3$에서 가속도가 0이다.

ㄱ

ㄱ, ㄷ

ㄴ, ㄷ

ㄱ, ㄴ, ㄷ

1이 아닌 두 양수 $a$, $b$에 대하여 $\log_{a}16=\frac{1}{3}$,
$\log_{8}b=\frac{4}{9}$일 때, $\log_{\sqrt{b}}a^{2}$의 값은?

$30$

$32$

$34$

$36$

이차함수 $y=-x^{2}+2x+3$의 그래프와 직선 $y=x+2$가 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라 하자. 선분 $\mathrm{PQ}$의 길이는?

$2\sqrt{2}$

$\sqrt{10}$

$2\sqrt{3}$

$\sqrt{14}$

$0\le x\le 2$일 때, 이차함수 $f(x)=2x^{2}-4ax+2a$의 최솟값이 $-12$가 되게 하는 실수 $a$의 값의 합은?

$-\frac{2}{3}$

$-\frac{5}{3}$

$-\frac{8}{3}$

$-\frac{11}{3}$

좌표평면에서 두 점 $\mathrm{A}(-1,\ 4)$, $\mathrm{B}(a,\ -5)$를 이은 선분 $\mathrm{AB}$를 $2:1$로 내분하는 점이 원 $x^{2}+y^{2}=13$의 둘레 및 내부에 있을 때, 정수 $a$의 개수는?

$10$

$13$

$15$

$17$

실수 전체 집합에서 정의된 함수 $f(x)=|x|-1$에 대하여 $g(x)=(f\circ f)(x)$라 하자.
$\int_{0}^{t}g(x)dx=0$을 만족하는 양수 $t$의 값은?

$2-\sqrt{2}$

$2-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$2+\frac{\sqrt{2}}{2}$

$2+\sqrt{2}$

전체집합 $U=\{x\,|\,x\text{는 50 이하의 자연수}\}$의 두 부분집합 $A$, $B$에 대하여
$A=\{x|x\text{는 3의 배수}\}$,
$B=\{x|x\text{는 4의 배수}\}$
일 때, 집합 $A\cap B^{C}$의 모든 원소의 합은?
(단, $B^{C}$는 $B$의 여집합이다.)

$268$

$278$

$288$

$298$

공차가 3인 등차수열 $\{a_{n}\}$이 ${a_{7}}^{2}-{a_{1}}^{2}=36$을 만족시킬 때, $\sum_{k=1}^{7}a_{k}$의 값은?

$7$

$8$

$9$

$10$

어느 체험학습장은 사전 인터넷 예약을 통해서만 입장할 수 있다. 예약한 사람 중 임의로 뽑은 900명 중에서 600명이 체험학습장에 입장하였을 때 전체 예약자 중 체험학습장에 입장한 사람의 비율 $p$에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간이 $a\le p\le b$라 하자. 이때 $b^{2}-a^{2}$의 값은? (단, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $P(0\le Z\le 2.5)=0.495$로 계산한다.)

$\frac{2\sqrt{2}}{27}$

$\frac{\sqrt{2}}{9}$

$\frac{4\sqrt{2}}{27}$

$\frac{5\sqrt{2}}{27}$

함수 $f(x)=x^{2}$에 대하여
$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{2k}{n^{2}}f\left(1+\frac{2k}{n}\right)$의 값은?

$\frac{17}{6}$

$\frac{17}{3}$

$\frac{17}{2}$

$\frac{34}{3}$

자연수 $n$에 대하여 $4^{n}$의 일의 자리 수를 $a_{n}$이라 하자. $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{2n-1}}{2^{2n-1}}+\frac{a_{2n}}{3^{2n}}\right)=\frac{q}{p}$를 만족시키는 서로소인 두 자연수 $p$, $q$에 대하여 $p+q$의 값은?

$50$

$51$

$52$

$53$