[9급 서울시 수학(지적)] 19년 2회차 기출문제 정답·해설 페이지

$\alpha=\sqrt{8+2\sqrt{15}}$이고 $\beta=\sqrt{8-2\sqrt{15}}$일 때 $\alpha^{3}+\beta^{3}$의 값은?

$14\sqrt{5}$

$14\sqrt{3}$

$28\sqrt{5}$

$28\sqrt{3}$

방정식 $x^{2}-3x+1=\sqrt{(x-2)^{2}}$을 만족하는 모든 실수 $x$의 합은?

5

6

$4-\sqrt{2}$

$2-\sqrt{2}$

$\left(x^{2}+\frac{k}{x}\right)^{5}$의 전개식에서 $\frac{1}{x^{2}}$의 계수가 80일 때, 자연수 $k$의 값은?

1

2

3

4

$f(x)=3x^{2}+1$일 때 $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(1+\frac{2k}{n})\frac{1}{n}$의 값은?

14

28

29

58

복소수 $z=1+\sqrt{5}\,i$일 때, $z^{4}-2z^{3}+8z^{2}-4z+20$의 값은?

2

4

6

8

$\mathrm{N}$을 자연수의 집합, $A=\{a\in\mathrm{N}\,|\,a^{2}-36\le 0\}$, 그리고
$B=\{a\in\mathrm{N}\mid$ 세 직선 $y=x$, $y=0$, $x=a$로 둘러싸인 영역의 면적이 10보다 작거나 같다$\}$라고 하자.
집합 $A\cap B^{c}$의 원소의 개수는?

2

3

4

5

이차함수 $f(x)=x^{2}-4x+8$의 그래프 위의 점$(a,\ f(a))$에서 접선의 방정식이 $y$축과 만나는 점을 $P(a)$라 하자.
$1\le a\le 5$일 때, $P(a)$의 자취의 길이는?

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$f(x)=x^{10}+1$일 때 $\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)+h-2}{2h}$의 값은?

$\frac{9}{2}$

5

$\frac{11}{2}$

6

함수 $f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{3x^{2n+2}+a}{x^{2n}+2}$에 대하여, 함수 $f(x)$가 $x=1$에서 극한값을 가지기 위한 실수 $a$의 값은?

2

4

6

8

<보기>의 조건을 만족시키는 집합 $A$, $B$의
순서쌍$(A,\ B)$의 개수는?
<보기>
• $A\cup B=\{1,\ 2,\ 3,\ 4\}$
• $A\ne\varnothing,\ B\ne\varnothing$
• $1,\ 2\notin A\cap B$

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수열 $\{a_{n}\}$이 $a_{1}=1$과 $a_{n+1}=2a_{n}+1$,
$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$을 만족할 때, $\sum_{k=1}^{100}a_{k}$의 값은?

$2^{100}-100$

$2^{100}-101$

$2^{101}-101$

$2^{101}-102$

수열 $\{a_{n}\}$이 $a_{1}=2$이고, 임의의 자연수 $n$에 대하여
$a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=2^{n^{2}}$을 만족시킨다.
$\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{\log_{2}a_{n}\times\log_{2}a_{n+1}}$의 값이 $\frac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값은?
(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

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이차방정식 $x^{2}-2kx+k+2=0$의 근 중 적어도 하나가 절댓값이 1 이하가 되도록 하는 100 이하 자연수 $k$의 개수는?

83

88

93

98

모든 실수에서 미분 가능한 함수 $f(x)$에 대하여
$f'(x)=x+|x-1|$를 만족시킨다. $f(0)=3$일 때,
$f(-1)+f(2)$의 값은?

6

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한 점에서 만나는 두 직선 $l_{1}:x=2+t,\ y=1+t,\ z=2-t$와 $l_{2}:x=3+t,\ y=2+2t,\ z=1+2t$ 사이의 각을 $\theta$라 할 때 $\cos\theta$는? (단, $0^{\circ}\lt\theta\lt 90^{\circ}$)

$\frac{1}{3\sqrt{3}}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\frac{1}{3}$

$\sqrt{3}$

좌표평면 위의 원점을 지나는 직선이 곡선
$y=x^{4}+x^{2}+2$에 접할 때, 접점의 $y$좌표는?

$\frac{28}{9}$

$\frac{32}{9}$

4

$\frac{40}{9}$

실수 $x$에 대해 $10^{3\log(2+\sin x)}+\cos^{2}x$의 최댓값은?
(단, log는 상용로그이다.)

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$f(0)=0$을 만족시키는 이차함수 $f(x)$에 대하여
$g(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$로 정의한다. 함수 $g(x)$가 $x=2$에서 최솟값을 가지고 $g(6)=108$을 만족시킬 때, $f(4)$의 값은?

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확률변수 $X$는 0, 1 또는 2의 값을 가진다. 확률변수 $2X+3$의 평균이 6이고 분산이 2일 때, $X=2$일 확률은 $\frac{q}{p}$이다. $p+q$의 값은?
(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

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$\triangle\mathrm{ABC}$에서 $\angle\mathrm{A}=30^{\circ}$, $\overline{\mathrm{AB}}=1$, $\overline{\mathrm{AC}}=2$이다.
$\angle\mathrm{A}$의 이등분선이 $\overline{\mathrm{BC}}$와 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 할 때,
$\overline{\mathrm{BD}}$ 길이의 제곱은?

$\frac{1}{9}(5+2\sqrt{3})$

$\frac{1}{9}(5-2\sqrt{3})$

$\frac{1}{3}(5+2\sqrt{3})$

$\frac{1}{3}(5-2\sqrt{3})$