[9급 서울시 수학(지적)] 21년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

A, B 두 사람이 동전을 던져 <보기>와 같이 승부를 결정할 때, A가 이길 확률은?
<보기>
한 개의 동전을 여러 회 던져 뒷면이 먼저 2회 나오면 A가 이기고, 앞면이 먼저 4회 나오면 B가 이기는 것으로 한다.

$\frac{9}{16}$

$\frac{11}{16}$

$\frac{13}{16}$

$\frac{15}{16}$

$\lim_{n\to\infty}\frac{3}{n}\left\{\left(\frac{2}{n}+1\right)^3+\left(\frac{4}{n}+1\right)^3+\left(\frac{6}{n}+1\right)^3+\cdots+\left(\frac{2n}{n}+1\right)^3\right\}$의 값은?

10

20

30

40

$a>1$일 때, $8a+\frac{2}{a-1}$의 최솟값은?

14

15

16

17

$\frac{996^3-3\times996-2}{996\times998+1}$의 값은?

992

994

996

998

좌표 평면 위에서 두 직선 $l_1:x+y+3=0$, $l_2:4x-3y+1=0$이 이루는 각을 $\theta(0\le\theta\le\pi)$라 할 때, $\sin\theta$의 값은?

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{3\sqrt{2}}{5}$

$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\frac{7\sqrt{2}}{10}$

공차가 정수인 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $a_1=1$, $a_5<30$, $a_9>50$일 때, $a_n=190$을 만족시키는 $n$의 값은?

26

27

28

29

다항식 $x^4-1$을 $x-2$로 나누었을 때, 몫이 $a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$이다. $a_0+9a_2$의 값은?

23

24

25

26

자연수를 원소로 갖는 두 집합 $A=\{a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4\}$, $B=\{\sqrt{a_1},\ \sqrt{a_2},\ \sqrt{a_3},\ \sqrt{a_4}\}$가 <보기>의 조건을 모두 만족시킬 때, $a_4-a_1$의 값은?
<보기>
(가) $a_1<a_2<a_3<a_4$이고 $a_1+a_2=13$
(나) $A\cap B=\{a_1,\ a_2\}$

77

79

81

83

다항식 $(1+x)^4(2x+3)$의 전개식에서 $x^3$의 계수는?

24

25

26

27

실수 $a$, $b$에 대하여 이차방정식 $x^2+ax+b=0$의 한 근이 $\alpha=1+i$일 때 다른 한 근을 $\beta$라 하자. $\left(\frac{1}{\alpha}\right)^3+\left(\frac{1}{\beta}\right)^3$의 값은? (단, $i=\sqrt{-1}$)

$-\frac{1}{2}$

0

$\frac{1}{2}$

1

함수 $g(x)$가 $g(x)=\begin{cases}4x-1 & (x\le1)\\2+2x & (x>1)\end{cases}$이고 다항함수 $f(x)$가
$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x^2-2x}=2,\ \lim_{x\to3}\frac{f(x)}{2x-6}=m$
을 만족시킨다. 함수 $h(x)=f(x)g(x)$가 $x=1$에서 연속이 되도록 하는 상수 $m$의 값은?

$-1$

0

1

2

수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여
$(2a_1+3)+(2a_2+3)+\cdots+(2a_n+3)=3n^2+2n$
을 만족시킬 때, $\sum_{n=1}^{5}\frac{1}{a_na_{n+1}}$의 값은?

$\frac{3}{16}$

$\frac{5}{16}$

$\frac{7}{16}$

$\frac{9}{16}$

다항식 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여
$f(x-2)+f(x)+f(x+2)=x^3+2x^2+7x+8$
을 만족시킬 때, $\int_{-3}^{3}f(x)dx$의 값은?

$\frac{52}{3}$

$\frac{53}{3}$

$\frac{55}{3}$

$\frac{56}{3}$

$\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$일 때, $\sin^4\theta+\cos^4\theta+3\sin\theta\cos\theta$의 값은?

$\frac{1}{8}$

$\frac{1}{4}$

$\frac{3}{8}$

$\frac{1}{2}$

쌍곡선 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$의 두 초점을 F, F′이라 하자. 쌍곡선 위의 한 점 P에 대하여 삼각형 PFF′의 둘레의 길이가 14일 때, $\left|\overline{\mathrm{PF}}^2-\overline{\mathrm{PF'}}^2\right|$의 값은?

30

32

34

36

이산확률변수 $X$의 확률분포표가 <보기>와 같다. $E(X)=3$일 때, $X$의 분산은? (단, $a$, $p$는 상수이다.)
<보기>
$X$
$a$
4
6
합계
$P(X=x)$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}$
$p$
1

4

$\frac{9}{2}$

5

$\frac{11}{2}$

방정식 $x^4-2x^3+1=0$의 서로 다른 실근의 개수는?

1

2

3

4

빗변의 길이가 2이고 한 각이 15°인 직각삼각형의 넓이는?

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sqrt{3}$

포물선 $y^2=8x$와 직선 $y=8x-2$로 둘러싸인 영역의 넓이는?

$\frac{9}{16}$

$\frac{9}{8}$

$\frac{21}{16}$

$\frac{21}{8}$

연이율 2%일 때, 1,000,000원을 정기예금에 예치하면 $a$년 후에 2,000,000원이 된다. $a$의 값은? (단, $\log_{10}2=0.3010$, $\log_{10}1.02=0.0086$이고, 이자는 매년마다 복리로 계산한다.)

20

25

30

35