[9급 서울시 수학(지적)] 22년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

다항함수 $f(x)$가
$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)-3x^2}{x}=2,\ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+2x-3}{(x-1)f(x)}=1$
을 만족시킬 때, $f(0)$의 값은?

$-2$

$-1$

$1$

$2$

$\frac{x-y}{2}=\frac{2x+y}{7}=k$와 $\frac{x^3-3y^2}{x+y}=1$을 만족하는 $k$값의 개수는?

$1$

$2$

$3$

$4$

정적분 $\int_0^1 xe^x dx$의 값은?

$\frac{1}{3}$

$\frac{2}{3}$

$1$

$\frac{4}{3}$

한 개의 동전을 3번 던져서 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 $X$라고 한다. 확률변수 $Y=aX+b$에 대하여 $\mathrm{E}(Y)=0$, $\mathrm{V}(Y)=3$을 만족시킬 때, $a+b$의 최댓값은? (단, $a$, $b$는 상수이고, $\mathrm{E}(Y)$, $\mathrm{V}(Y)$는 각각 $Y$의 평균과 분산이다.)

$1$

$2$

$3$

$4$

함수
$f(x)=\begin{cases}-2x+a & (x\le 2)\\ \dfrac{x+b}{\sqrt{x+7}-3} & (x>2)\end{cases}$
가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $a+b$의 값은?

$2$

$4$

$6$

$8$

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 임의의 실수 $x$에 대하여
$\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\{f(2x-2h)-f(2x+h)\}=4x^2-4x-5$
를 만족시킬 때, $f'(1)$의 값은?

$-6$

$-2$

$2$

$6$

이차방정식 $x^2+ax+3=0$의 두 근 $\alpha$, $\beta$가 $(\alpha^2-1)(\beta^2-1)=12$를 만족시킬 때, 양수 $a$의 값은?

$1$

$2$

$3$

$4$

모든 실수 $x$에 대하여 $(a-1)x^2+ax+a\le 0$을 만족하고 $x$에 관한 방정식 $x^2-ax+a^2-3=0$이 서로 다른 두 실근을 갖게 하는 정수 $a$의 개수는?

$1$

$2$

$3$

$4$

곡선 $y=-x^2+4x$와 직선 $y=2x$로 둘러싸인 부분의 넓이는?

$\frac{2}{3}$

$1$

$\frac{4}{3}$

$\frac{5}{3}$

양수 $a$에 대하여 곡선 $y=x^3-2x^2+a$에 접하고 직선 $y=4x+1$에 평행인 직선의 방정식이 $y=mx+3a$일 때, $\frac{5m}{a}$의 값은? (단, $m$은 상수)

$3$

$9$

$27$

$81$

$0\le x<2\pi$일 때, 방정식 $\sin^2 x=\cos^2 x-\cos x$의 모든 해의 합은?

$2\pi$

$\frac{5}{2}\pi$

$3\pi$

$\frac{7}{2}\pi$

같은 종류의 구슬 10개를 같은 종류의 유리병 5개에 나누어 넣을 때, 빈 유리병이 없도록 넣는 경우의 수는?

$5$

$6$

$7$

$8$

수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t(t\ge 0)$에서의 속도 $v(t)=2t-4$이다. 점 $P$가 시각 $t=2$에서 $t=k(k>2)$까지 움직인 거리가 49일 때, 상수 $k$의 값은?

$6$

$7$

$8$

$9$

함수 $f(x)=x^3+ax^2+9x+1$이 $x=\alpha$와 $x=\alpha+2(\alpha>0)$에서 극값을 가질 때, $a$의 값은?

$-6$

$-3$

$2$

$4$

방정식 $x^4+3x^3+9x^2+11x+12=0$의 근 중 하나가 $\frac{-1+\sqrt{15}\,i}{2}$일 때, 이 방정식의 근이 되는 것은?

$-1+\sqrt{2}\,i$

$1-\sqrt{2}\,i$

$-1+\sqrt{3}\,i$

$1-\sqrt{3}\,i$

전체집합 $U$의 두 부분집합 $A$, $B$에 대하여
$A=\{4x,\ x+1\},\ B=\{2,\ x^2-5\},$
$\{(A\cap B)^c\cap(B-A)\}=\{2\}$
일 때, 집합 $A\cap B$의 원소가 될 수 없는 것은? (단, $A^c$는 $A$의 여집합)

$-8$

$-1$

$4$

$20$

직선 $y=x+a$가 원 $x^2+y^2-2x+4y+3=0$과 두 점에서 만나고 직선 $y=x+a$와 점$(1,\ -1)$과의 거리가 $\sqrt{2}$보다 클 때, 가능한 $a$의 값은?

$-6$

$-\frac{11}{2}$

$-5$

$-\frac{9}{2}$

좌표평면에서 두 직선 $x+1=\frac{y-2}{3}$와 $\frac{x-1}{2}=y+5$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\cos^2\theta$의 값은?

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{3}{4}$

$1$

$25^x=9,\ \sqrt{10^y}=3,\ \left(\frac{16}{9}\right)^z=9$를 만족시키는 세 실수 $x$, $y$, $z$에 대하여 $\frac{2}{x}-\frac{4}{y}+\frac{1}{z}$의 값은?

$-2$

$-1$

$1$

$2$

등차수열 $\{a_n\}$에 대하여
$a_1+a_3+a_5=111,\ a_2+a_4+a_6=102$
일 때, 등차수열 $\{a_n\}$이 제$k$항부터 처음으로 음이 된다고 한다. 이때 $k$의 값은?

$13$

$14$

$15$

$16$