[9급 서울시 수학] 23년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

부등식 $|x|+|x-2| \le 5$의 해가 $a \le x \le b$일 때, $a+b$의 값은?

$-1$

$0$

$1$

$2$

방정식 $(\log\sqrt{x})^{2}-\log x^{2}+3=0$의 서로 다른 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 할 때, $\alpha\beta$의 값은?

$10^{6}$

$10^{7}$

$10^{8}$

$10^{9}$

주사위 한 개를 두 번 던져서 처음에 나온 눈의 수를 $m$, 나중에 나온 눈의 수를 $n$이라고 하자. $m+n$이 짝수일 때, $m$이 3의 배수일 확률은?

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{2}{3}$

양의 실수 $x$에 대하여 $x+\frac{2}{x}$는 $x=a$에서 최솟값 $b$를 가질 때, $\frac{b}{a}$의 값은? (단, $a$, $b$는 상수)

$2$

$4$

$6$

$8$

함수 $f(x)=\cos^{2}(x+\frac{\pi}{2})+4\cos x+5$가 $x=a$에서 최솟값 $b$를 가질 때, $\sin a+b$의 값은? (단, $0 < x < 2\pi$)

$-1$

$0$

$1$

$2$

수열 $\{a_{n}\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_{n}$이라 하자. 모든 자연수 $n$에 대하여 $S_{n}=n^{2}+1$을 만족시킬 때, $\sum_{k=1}^{50}a_{2k-1}$의 값은?

$4950$

$4951$

$4952$

$4953$

좌표평면 위에서 두 직선 $l_{1}:x+y-2=0$, $l_{2}:ax+by-1=0$의 교점이 $(1, 1)$이며, 직선 $l_{1}$과 $l_{2}$가 이루는 각을 $\theta(0 \le \theta \le \frac{\pi}{2})$라 할 때, $\cos\theta=\frac{1}{5\sqrt{2}}$이다. $|a-b|$의 값은?

$4$

$5$

$6$

$7$

$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2n}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+4n}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+6n}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2n^{2}}}\right)$의 값은?

$\sqrt{3}-1$

$2\sqrt{3}-1$

$2$

$2\sqrt{3}-2$

좌표평면 위의 두 점 A(2, 1), B(4, 2)에 대해 선분 AB를 빗변으로 하는 직각 삼각형의 넓이의 최댓값은?

$1$

$\frac{5}{4}$

$2$

$\frac{5}{2}$

집합 $X=\{1, 2, 3, 4, 5\}$에 대하여 〈보기〉의 조건을 만족시키는 $X$에서 $X$로 가는 함수 $f$의 개수는?
〈보기〉
• 집합 $X$의 임의의 두 원소 $x_{1}$, $x_{2}$에 대하여 $x_{1} < x_{2}$이면 $f(x_{1}) \le f(x_{2})$이다.
• $f(3) \ge 3$

$59$

$65$

$78$

$81$

직선 $y=x+b$를 $y=x$에 대하여 대칭이동하면 원 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$과 접한다. 이때 $b$의 값이 될 수 있는 것은?

$2-\sqrt{2}$

$2$

$4-\sqrt{2}$

$4+\sqrt{2}$

다항식 $f(x)=x^{4}+ax^{3}+2ax+5$를 $x+1$로 나눈 나머지와 $f(x)$를 $x^{2}+2$로 나눈 나머지가 같을 때, 상수 $a$의 값은?

$-2$

$-1$

$1$

$2$

함수 $f(x)=(a+1)x^{2}+2(1-a)x+a-2$의 그래프가 $a$의 값에 관계없이 항상 지나는 점을 P라 하자. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 P에서의 접선의 $y$절편은?

$-3$

$-2$

$2$

$3$

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$, $y$에 대하여
$f(x+y)=f(x)+f(y)+x^{2}y+xy^{2},\quad f'(0)=1$
을 만족할 때, $f(1)$의 값은?

$\frac{1}{2}$

$1$

$\frac{4}{3}$

$2$

좌표공간의 두 점 A(2, 1, 1), B(3, 2, 2)와 $xy$평면 위를 움직이는 점 P에 대하여 $\overline{\text{AP}}+\overline{\text{BP}}$의 최솟값은?

$2\sqrt{3}$

$\sqrt{11}$

$\sqrt{10}$

$3$

함수 $f(x)=2x+\int_{0}^{3}f(t^{2})dt$에 대하여 $f(10)$의 값은?

$9$

$10$

$11$

$12$

두 곡선 $y=-x^{2}+4$와 $y=x^{2}-2x$로 둘러싸인 부분의 넓이는?

$6$

$7$

$8$

$9$

삼차함수 $f(x)=\int_{0}^{x}(t^{2}-4t+a)dt$가 모든 실수 $x$에 대하여 항상 증가하는 함수가 되도록 하는 실수 $a$의 최솟값은?

$1$

$2$

$3$

$4$

이차방정식 $x^{2}+ax+b=0$의 두 실근을 $\alpha$, $\beta(\alpha < \beta)$라 할 때, $\frac{1}{\alpha}$, $a$, $\frac{1}{\beta}$이 이 순서로 등비수열을 이루고, $\alpha$, $4b$, $\beta$가 이 순서로 등차수열을 이룬다. $\beta-\alpha$의 값은?

$\sqrt{3}$

$2$

$\sqrt{5}$

$2\sqrt{2}$

다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x^{2}+x-2}=1$, $\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x^{2}+x-2}=-3$을 만족시킬 때, $f(0)$의 값은?

$6$

$8$

$10$

$12$