단순선형회귀모형 Y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + … | [7급 국가직 통계학] 21년 1회차 기출문제 상세 페이지

단순선형회귀모형 $Y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i,\ i = 1, 2, \cdots, n$에서 $\beta_0$와 $\beta_1$의 최소제곱추정량을 각각 $\hat{\beta}_0$와 $\hat{\beta}_1$이라 하고 잔차 $e_i$를 $Y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 x_i$이라 할 때, 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고른 것은? (단, $\epsilon_i$는 $N(0, \sigma^2)$을 따르고 서로 독립이다)
ㄱ. $e_i$와 $x_i$의 곱의 합은 0이다.
ㄴ. $\hat{\beta}_1$의 부호는 설명변수와 반응변수 간의 표본상관계수의 부호와 같다.
ㄷ. 결정계수의 부호와 $\hat{\beta}_1$의 부호는 같다.
ㄹ. 결정계수의 부호는 설명변수와 반응변수 간의 표본 상관계수의 부호와 같다.

ㄱ, ㄴ

ㄱ, ㄷ

ㄴ, ㄹ

ㄷ, ㄹ

옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
최소제곱 정규방정식에서 $\sum e_i=0$, $\sum x_ie_i=0$이 성립하고, $\hat{\beta}_1=r\dfrac{s_y}{s_x}$이므로 기울기와 상관계수의 부호가 같다.
ㄱ: 정규방정식에 의해 $\sum x_ie_i=0$이므로 옳다.
ㄴ: 표준편차가 양수이므로 기울기 추정량과 표본상관계수의 부호가 같아 옳다.
ㄷ: 결정계수는 $0\le R^2\le 1$로 항상 음이 아니므로 기울기가 음수일 때 부호가 다르다.
ㄹ: 결정계수는 상관계수의 제곱이라 음이 아니므로 상관계수가 음수일 때 부호가 다르다.