확률밀도함수가 다음과 같은 임의표본 X_1, X_2, X_3의 중앙값을… | [7급 국가직 통계학] 23년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[7급 국가직 통계학] 23년 1회차

확률밀도함수가 다음과 같은 임의표본  $X_1,$   $X_2,$   $X_3$ 의 중앙값을
 $M$ 이라 할 때,  $P\left(M<\frac{1}{2}\right)$ 의 값은? $f(x)=\begin{cases}2-2x,\ 0<x<1\\ 0, \qquad \text{그 외}\end{cases}$

 $\frac{5}{32}$

 $\frac{7}{16}$

 $\frac{9}{16}$

 $\frac{27}{32}$

해설

세 표본 중 2개 이상이  $\dfrac{1}{2}$ 보다 작으면 중앙값이  $\dfrac{1}{2}$ 보다 작으므로 확률은  $\dfrac{27}{32}$ 이다.
누적분포  $F(x)=1-(1-x)^2$ 에서  $p=F\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{4}$ 이다.
 $P\left(M\lt \dfrac{1}{2}\right)=3p^2(1-p)+p^3$ 
 $=3\cdot\dfrac{9}{16}\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{27}{64}=\dfrac{54}{64}=\dfrac{27}{32}$ 
중앙값 사건을 이항분포로 바꾸는 것이 핵심이다.

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