당뇨병 환자 중 임의로 15명(집단 A)과 10명(집단 B)을 선택하여… | [7급 국가직 통계학] 23년 1회차 기출문제 상세 페이지

당뇨병 환자 중 임의로 15명(집단 $A$)과 10명(집단 $B$)을 선택하여
집단 $A$에게 신약을 처방한 후에 얻은 혈당 개선 효과 자료
$\{x_1,x_2,\ \cdots,x_{15}\}$와 집단 $B$에게 위약을 처방한 후에 얻은 혈당
개선 효과 자료 $\{y_1,y_2,\ \cdots,y_{10}\}$을 다음과 같이 요약하였다.
○ $\overline{x}=\frac{1}{15}\sum_{i=1}^{15}x_i$
○ $\overline{y}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}y_i$
○ $s_P=\sqrt{\frac{1}{23}\left(\sum_{i=1}^{15}(x_i-\overline{x})^2+\sum_{i=1}^{10}(y_i-\overline{y})^2\right)}$
집단 $A$와 $B$의 평균 혈당 개선 효과 $\mu_A$와 $\mu_B$에 대한 가설
$H_0:\mu_A=\mu_B$ 대 $H_1:\mu_A>\mu_B$를 유의수준 $\alpha$에서 검정하고자 한다.
이에 대한 설명으로 옳은 것은? (단, 집단 $A$와 $B$의 혈당 개선 효과는
분산이 동일한 정규분포를 따르고, $t_\alpha(k)$는 자유도가 $k$인 $t$ 분포의
제$100\times(1-\alpha)$ 백분위수이며, $s_P>0$이다)

$\frac{\sqrt{6}\,(\overline{x}-\overline{y})}{s_P^2}$가 $t_\alpha(23)$보다 크면 귀무가설을 기각한다.

$\frac{\sqrt{6}\,(\overline{x}-\overline{y})}{s_P^2}$가 $-t_\alpha(23)$보다 작으면 귀무가설을 기각한다.

$\frac{\sqrt{6}\,(\overline{x}-\overline{y})}{s_P}$가 $t_\alpha(23)$보다 크면 귀무가설을 기각한다.

$\frac{\sqrt{6}\,(\overline{x}-\overline{y})}{s_P}$가 $-t_\alpha(23)$보다 작으면 귀무가설을 기각한다.

합동분산 $t$검정통계량 $\dfrac{\sqrt{6}(\bar{x}-\bar{y})}{s_P}$가 $t_\alpha(23)$보다 크면 기각한다.
$t=\dfrac{\bar{x}-\bar{y}}{s_P\sqrt{\frac{1}{15}+\frac{1}{10}}}$이고 $\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{6}$이므로 $t=\dfrac{\sqrt{6}(\bar{x}-\bar{y})}{s_P}$, 자유도 $15+10-2=23$이다.
분모에 $s_P^2$을 쓴 통계량은 표준편차 대신 분산으로 나눠 틀리다.
대립가설이 $\mu_A\gt \mu_B$인 우측검정이므로 $-t_\alpha(23)$보다 작을 때 기각하는 규칙은 틀리다.