연속형 확률변수 X와 Y의 결합확률밀도함수가 다음과 같을 때 P\left(Y \frac{1}{2}\right)의 값은? f_{X,Y}(x,y)=\begin{cases}12xy(1-x),\ 0<x<1,\ 0<y<1\\ 0, \qquad \text{그 외}\end{cases}

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연속형 확률변수 X와 Y의 결합확률밀도함수가 다음과 같을 때P\left… | [7급 국가직 통계학] 23년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[7급 국가직 통계학] 23년 1회차

연속형 확률변수  $X$ 와  $Y$ 의 결합확률밀도함수가 다음과 같을 때
 $P\left(Y<\frac{1}{2}\mid X>\frac{1}{2}\right)$ 의 값은? $f_{X,Y}(x,y)=\begin{cases}12xy(1-x),\ 0<x<1,\ 0<y<1\\ 0, \qquad \text{그 외}\end{cases}$

 $\frac{1}{8}$

 $\frac{1}{4}$

 $\frac{1}{2}$

해설

결합밀도가 곱으로 분해되어  $X$ 와  $Y$ 가 독립이므로 조건부확률은  $P\left(Y\lt \dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}$ 이다.
 $12xy(1-x)=6x(1-x)\cdot 2y$ 로,  $f_X(x)=6x(1-x)$ ,  $f_Y(y)=2y$ 의 곱이고 지지집합도 직사각형이다.
따라서  $X$ 에 대한 조건은 무관하다.
 $P\left(Y\lt \dfrac{1}{2}\right)=\int_0^{1/2}2y\,dy=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$ 
독립성을 먼저 확인하면 조건부 계산을 생략할 수 있다.

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