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1[7급 국가직 반응공학] 23년 1회차

다음 복합반응에서 반응물 A가 분해되어 1개의 목적 생성물 D와 3개의 비목적 생성물 X, Y, Z가 생성된다. X, Y, Z에 대한 D의 순간 선택도( $S_{\mathrm{D/XYZ}}$ )가 최대가 될 때, 반응물 A의 농도는? (단,  $r_j$ 는  $j$ 의 생성속도,  $k_j$ 는  $j$ 의 생성반응에 대한 반응속도상수,  $C_{\mathrm{A}}$ 는 A의 농도,  $S_{\mathrm{D/XYZ}} = \dfrac{r_{\mathrm{D}}}{r_{\mathrm{X}} + r_{\mathrm{Y}} + r_{\mathrm{Z}}}$ 이다)A → D     $r_{\mathrm{D}} = k_{\mathrm{D}}C_{\mathrm{A}}^2$ 
A → X     $r_{\mathrm{X}} = k_{\mathrm{X}}C_{\mathrm{A}}$ 
A → Y     $r_{\mathrm{Y}} = k_{\mathrm{Y}}C_{\mathrm{A}}$ 
A → Z     $r_{\mathrm{Z}} = k_{\mathrm{Z}}C_{\mathrm{A}}^3$

 $\sqrt{\dfrac{k_{\mathrm{Z}}}{k_{\mathrm{D}}}}$

 $\sqrt{\dfrac{k_{\mathrm{X}} + k_{\mathrm{Y}}}{k_{\mathrm{Z}}}}$

 $\sqrt{\dfrac{k_{\mathrm{D}}}{k_{\mathrm{X}} + k_{\mathrm{Y}} + k_{\mathrm{Z}}}}$

 $\sqrt{\dfrac{k_{\mathrm{X}} + k_{\mathrm{Y}} + k_{\mathrm{Z}}}{k_{\mathrm{D}}}}$

해설

선택도를  $C_{\mathrm{A}}$ 로 미분해 0으로 두면 최대점은  $C_{\mathrm{A}} = \sqrt{\dfrac{k_{\mathrm{X}} + k_{\mathrm{Y}}}{k_{\mathrm{Z}}}}$ 이다.
순간 선택도:  $S = \dfrac{k_{\mathrm{D}}C_{\mathrm{A}}^2}{(k_{\mathrm{X}} + k_{\mathrm{Y}})C_{\mathrm{A}} + k_{\mathrm{Z}}C_{\mathrm{A}}^3} = \dfrac{k_{\mathrm{D}}C_{\mathrm{A}}}{(k_{\mathrm{X}} + k_{\mathrm{Y}}) + k_{\mathrm{Z}}C_{\mathrm{A}}^2}$ 
미분:  $\dfrac{dS}{dC_{\mathrm{A}}} \propto (k_{\mathrm{X}} + k_{\mathrm{Y}}) + k_{\mathrm{Z}}C_{\mathrm{A}}^2 - 2k_{\mathrm{Z}}C_{\mathrm{A}}^2 = 0$ 
→  $k_{\mathrm{Z}}C_{\mathrm{A}}^2 = k_{\mathrm{X}} + k_{\mathrm{Y}}$ 
농도가 낮으면 1차 부반응(X·Y)이, 높으면 3차 부반응(Z)이 우세하므로 중간 농도에서 최대가 된다.

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