자료 (x_i,y_i)(i=1,2,\cdots,n)에 단순선형회귀모형 … | [7급 국가직 통계학] 26년 1회차 기출문제 상세 페이지

자료 $(x_i,y_i)(i=1,2,\cdots,n)$에 단순선형회귀모형 $y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\epsilon_i$를 최소제곱법으로 적합하여 얻은 $\beta_0$의 추정값, 회귀제곱합, 잔차평균제곱을 각각 $\hat{\beta}_0$, $SSR$, $MSE$라 하자. 설명변수를 $x_i^*=2x_i$로 변환한 자료 $(x_i^*,y_i)(i=1,2,\cdots,n)$에 단순선형회귀모형 $y_i=\beta_0^*+\beta_1^*x_i^*+\epsilon_i^*$를 최소제곱법으로 적합하여 얻은 $\beta_0^*$의 추정값, 회귀제곱합, 잔차평균제곱을 각각 $\widehat{\beta_0^*}$, $SSR^*$, $MSE^*$라 하자. 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, $\epsilon_i$, $\epsilon_i^*$는 각각 $N(0,\sigma^2)$, $N(0,(\sigma^*)^2)$을 따르고 서로 독립이다)
ㄱ. $\hat{\beta}_0=\widehat{\beta_0^*}$
ㄴ. $SSR=SSR^*$
ㄷ. $MSE=MSE^*$

ㄱ

ㄱ, ㄴ

ㄴ, ㄷ

ㄱ, ㄴ, ㄷ

ㄱ, ㄴ, ㄷ이 모두 옳다 — 설명변수를 상수배해도 적합값 $\hat{y}_i$가 그대로이기 때문이다.
$\widehat{\beta_1^*}=\frac{\hat{\beta}_1}{2}$이므로 $\widehat{\beta_1^*}x_i^*=\hat{\beta}_1x_i$이고, 절편도 $\bar{y}-\widehat{\beta_1^*}\bar{x}^*=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}$로 변하지 않는다.
ㄱ: 위 식에서 절편 추정값이 같다. 옳다.
ㄴ: 적합값이 같으므로 $SSR=\sum(\hat{y}_i-\bar{y})^2$도 같다. 옳다.
ㄷ: 잔차와 자유도 $n-2$가 같으므로 잔차평균제곱도 같다. 옳다.