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1[7급 국가직 자동제어] 26년 1회차

다음 상태방정식으로 표현된 시스템의 단위계단응답  $y(t)$ 는? (단,
 $\mathrm{x}(t)$ 는 상태변수행렬,  $\mathrm{u}(t)$ 는 입력변수행렬이고,  $t\ge 0$ 이다)
 $\dot{\mathrm{x}}(t)=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}\mathrm{x}(t)+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\mathrm{u}(t)$ 
 $y(t)=[1\ \ 0]\mathrm{x}(t)$

 $\frac{1}{2}-e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-2t}$

 $\frac{1}{2}-e^{-t}+\quad e^{-2t}$

 $\frac{1}{2}+e^{-t}+2\,e^{-2t}$

 $1-e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-2t}$

해설

단위계단응답은  $y(t)=\dfrac{1}{2}-e^{-t}+\dfrac{1}{2}e^{-2t}$ 이다.
가제어 표준형이므로 전달함수는 다음과 같다.
 $G(s)=C(sI-A)^{-1}B=\dfrac{1}{s^2+3s+2}=\dfrac{1}{(s+1)(s+2)}$ 
부분분수로 전개한다.
 $Y(s)=\dfrac{1}{s(s+1)(s+2)}=\dfrac{1/2}{s}-\dfrac{1}{s+1}+\dfrac{1/2}{s+2}$ 
역변환하면 위 결과가 된다.
 $\frac{1}{2}-e^{-t}+e^{-2t}$ :  $e^{-2t}$ 의 계수  $\frac{1}{(-2)(-1)}=\frac{1}{2}$ 를 1로 잘못 썼고, 초기값도 0이 아니다.
 $\frac{1}{2}+e^{-t}+2e^{-2t}$ :  $y(0)=\frac{7}{2}$ 가 되어 초기값 0에 어긋난다.
 $1-e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-2t}$ : 최종값은  $G(0)=\frac{1}{2}$ 이어야 하는데 1이다.

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