[9급 서울시 수학] 17년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

이차함수 $f(x)=x^2-2x(x\ge 0)$에 대하여, $0\le x\le t$에서 $f(x)$의 최솟값을 $g(t)$라 할 때, $g(2)+g'\left(\frac{1}{2}\right)$의 값은?

$-4$

$-2$

$0$

$2$

$f(x)=x^2+x+1$일 때, $\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left\{\frac{f(1+h)-f(1)}{h}-f'(1)\right\}$의 값은?

$1$

$2$

$3$

$4$

수열 $\{a_n\}$이 $\sum_{k=1}^{10}a_k=\sum_{k=1}^{9}(a_k+2)$를 만족시킬 때, $a_{10}$의 값은?

$16$

$18$

$20$

$22$

1보다 큰 실수 전체의 집합 $A$에서 $A$로의 함수 $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$, $g(x)=\sqrt{2x-1}$일 때, $(f\circ(g\circ f)^{-1}\circ f)(3)$의 값은?

$\frac{3}{2}$

$2$

$\frac{5}{2}$

$3$

A공장에서 생산되는 볼펜의 무게는 평균이 60g, 표준편차가 6g인 정규분포를 따른다고 한다. 무게가 549g 이상이 되면 경고음을 내도록 설계되어 있는 저울에 A공장에서 생산된 볼펜 중 임의추출한 9개를 저울에 올렸을 때, 경고음이 울릴 확률은?
$z$
$\mathrm{P}(0\le Z\le z)$
0.5
0.1915
1.0
0.3413
1.5
0.4332

0.1587

0.1915

0.3085

0.3413

이차부등식 $x^2+kx+2k\lt 0$의 해가 존재하지 않을 때, 정수 $k$의 개수는?

$8$

$9$

$10$

$11$

이차방정식 $x^2-2x+2=0$의 한 허근을 $z$라 할 때, $z^3+(\overline{z})^3$의 값은? ($\overline{z}$는 $z$의 켤레복소수)

$-4$

$-2$

$0$

$2$

미분가능한 함수 $f(x)$가 $\lim_{x\to 1}\frac{f(x+2)-3}{x^2-1}=1$을 만족시킬 때, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(3,\ f(3))$에서의 접선의 방정식은 $y=ax+b$이다. 이때, 두 상수 $a$, $b$에 대하여 $2a+b$의 값은?

$1$

$2$

$3$

$4$

$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2n+1}}$의 값은?

$\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$1$

두 사건 $A$, $B$가 서로 독립이고, $P(A\cup B)=0.8$, $P(A)=2P(A\cap B)$일 때, $P(A)$의 값은? (단, $P(A)\ne 0$)

$0.3$

$0.4$

$0.5$

$0.6$

양수 $x$에 대하여 $\sqrt{(x-3)^2+4}+\sqrt{(x-4)^2+1}$의 최솟값은?

$3$

$\sqrt{10}$

$\sqrt{11}$

$2\sqrt{3}$

$x$가 정수일 때, $p:(x-1)(x-9)\gt 0$에 대하여 조건 $\sim p$의 진리집합의 원소의 개수는?

$6$

$7$

$8$

$9$

$x$에 대한 연립부등식 $\begin{cases}x^2-x-6\le 0\\|x-k|\lt 5\end{cases}$에서 정수인 근이 3개일 때, 양수 $k$의 최솟값은?

$1$

$3$

$5$

$7$

확률변수 $X$는 이항분포 $\mathrm{B}(10,\ p)$를 따르고 $P(X=4)=\frac{1}{3}P(X=5)$일 때, $E(14X)$의 값은? (단, $0\lt p\lt 1$)

$50$

$75$

$100$

$125$

두 실수 $a$, $b$에 대하여 유리함수 $y=\frac{2x+b}{x+a}$의 그래프와 그 역함수의 그래프가 일치할 때, $a$의 값은? (단, $b\ne 2a$)

$-8$

$-6$

$-4$

$-2$

1이 아닌 양수 $a$에 대하여 $\sqrt[8]{a^{5k}}=\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a^2\sqrt{a^5}}}$일 때 상수 $k$의 값은?

$\frac{1}{5}$

$\frac{3}{5}$

$1$

$\frac{7}{5}$

부등식 $(x^2+y^2-1)(x^2+y^2-k)\le 0$이 나타내는 영역의 넓이가 $8\pi$일 때, 상수 $k$의 값은? (단, $k\gt 1$)

$9$

$10$

$11$

$12$

이차방정식 $x^2+5x+4=0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 할 때, $(\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta})^2$을 구하면?

$-3$

$-5$

$-7$

$-9$

중심의 좌표가 $(1,\ 1)$이고 반지름의 길이가 1인 원과 직선 $y=mx-1$이 서로 다른 두 점에서 만날 때, 실수 $m$의 값의 범위는?

$m\lt -\frac{3}{4}$

$m\lt 0$

$0\le m\lt \frac{3}{4}$

$m\gt \frac{3}{4}$

실수 전체의 집합에서 정의된 연속함수 $y=f(x)$와 $f(x)$의 도함수 $y=f'(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $f(0)=0$
(나) $f'(x)=\begin{cases}1 & (x\lt 0)\\x^2-2 & (x\gt 0)\end{cases}$
이때 $\int_{-1}^{1}f(x)dx$의 값은?

$-\frac{2}{3}$

$-\frac{11}{12}$

$-\frac{7}{6}$

$-\frac{17}{12}$