정규모집단 N(μ, σ2)으로 부터 추출한 크기 n의 임의표본 X1, … | [사회조사분석사 2급 필기] 21년 1회차 기출문제 상세 페이지

정규모집단에서 카이제곱분포를 따르는 것은 $(n-1)s^2$ 자체가 아니라 모분산으로 나눈 $\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$이므로, 모분산으로 나누지 않은 채 카이제곱분포를 따른다고 한 설명이 틀렸다.
$(n-1)s^2$은 측정 단위의 제곱을 그대로 지닌 양이어서 σ가 커지면 분포 전체가 늘어난다. 반면 카이제곱분포는 자유도 하나만으로 모양이 정해지는 분포이므로, 척도에 따라 변하는 양이 이를 따를 수는 없다.
함께 정리해 둘 정규모집단의 표본분포 성질은 다음과 같다.
표본평균과 불편분산이 확률적으로 독립인 것은 정규모집단에서만 성립하는 특징이다.
표본평균은 정규분포를 따르며 평균은 μ, 분산은 $\sigma^2/n$이다(모분산 σ2이 아니라 표본크기로 나눈 값이다).
모분산 대신 s를 넣어 스튜던트화한 $\dfrac{\overline{X}-\mu}{s/\sqrt{n}}$는 자유도 n−1의 t분포를 따른다.