두 개의 랜덤 변수 X와 Y의 결합 확률 밀도 함수를 f_{X , Y}… | [경찰간부후보생 통신이론] 23년 1회차 기출문제 상세 페이지

두 개의 랜덤 변수 $X$와 $Y$의 결합 확률 밀도 함수를 $f_{X , Y} ( x , y )$라 할 때, $A$의 값은? ($\int_{- \infty}^{\infty} {f_{X} ( x ) dx = 1}$이다.)
$f_{X , Y} ( x , y ) = {\begin{cases}Ae^{- ( 2 x + y )} , & \quad x , \, y \ge 0 \\ 0 , & \quad otherwise\end{cases}}$

$\frac{1}{2}$

1

2

$\frac{5}{2}$

결합 확률 밀도 함수의 전체 적분이 1이어야 하므로 A = 2이다.
$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}Ae^{-2x}e^{-y}\,dx\,dy=A\times\dfrac{1}{2}\times1=1$
따라서 $A=2$이다. 지수 적분 $\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-ax}dx=\dfrac{1}{a}$를 각 변수별로 적용한다.