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1[소방간부후보생 물리학개론] 26년 1회차

그림은 점 O를 중심으로 하는 속이 꽉 찬 구형 도체 A와 속이 빈 구형 도체 B로 이루어진 구형 축전기를 나타낸 것이다. A의 반지름은  $a$ 이고, B의 안쪽 반지름은  $b$ 이며,  $b > a$ 이다.

이 축전기의 전기용량은? (단, 두 도체 사이는 진공이며, 진공의 유전율은  $\varepsilon_0$ 이다)

 $\frac{2\pi\varepsilon_0 ab}{b-a}$

 $\frac{2\pi\varepsilon_0 a}{\ln(b/a)}$

 $\frac{4\pi\varepsilon_0 ab}{b-a}$

 $\frac{4\pi\varepsilon_0 a}{\ln(b/a)}$

 $\frac{4\pi\varepsilon_0 ab}{b+a}$

해설

구형 축전기의 전기용량은  $\dfrac{4\pi\varepsilon_0ab}{b-a}$ 이다.
A에 전하  $Q$ 를 주면 두 도체 사이의 전기장은  $E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}$ 이고, 이를 적분한 전위차는  $V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{Q(b-a)}{4\pi\varepsilon_0ab}$ 이다.
 $C=\dfrac{Q}{V}=\dfrac{4\pi\varepsilon_0ab}{b-a}$ 
 $\dfrac{2\pi\varepsilon_0ab}{b-a}$  — 계수가 절반으로, 구 대칭의  $4\pi$ 가 아니다.
 $\dfrac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln(b/a)}$  — 로그가 나오는 것은 원통형 축전기의 꼴이다.
 $\dfrac{4\pi\varepsilon_0a}{\ln(b/a)}$  — 역시 로그 꼴로, 구형에서는  $\dfrac{1}{r^2}$  적분에 로그가 생기지 않는다.
 $\dfrac{4\pi\varepsilon_0ab}{b+a}$  — 전위차가  $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$ 이므로 분모는 합이 아니라 차이다.

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