X_1, X_2, \cdots, X_{10}을 N(\mu, 1)으로부터… | [7급 국가직 통계학] 21년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[7급 국가직 통계학] 21년 1회차

 $X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 을  $N(\mu, 1)$ 으로부터의 확률표본이라고 하자. 가설  $H_0 : \mu = 5$  대  $H_1 : \mu \ne 5$ 를 유의수준  $\alpha$ 에서 검정할 때,  $\mu = 4$ 에서의 검정력은? (단,  $z_\alpha$ 와  $\Phi(x)$ 는 각각 표준정규분포의 제 $100 \times (1-\alpha)$  백분위수와 누적분포함수를 나타낸다)

 $\Phi\left(\sqrt{10} - z_{\alpha/2}\right)$

 $1 - \Phi\left(\sqrt{10} - z_{\alpha/2}\right)$

 $\Phi\left(\sqrt{10} + z_{\alpha/2}\right) + \Phi\left(\sqrt{10} - z_{\alpha/2}\right)$

 $1 - \Phi\left(\sqrt{10} + z_{\alpha/2}\right) + \Phi\left(\sqrt{10} - z_{\alpha/2}\right)$

해설

 $\mu=4$ 에서의 검정력은 양쪽 기각역 확률의 합  $1-\Phi(\sqrt{10}+z_{\alpha/2})+\Phi(\sqrt{10}-z_{\alpha/2})$ 이다.
검정통계량  $Z_0=\sqrt{10}(\overline{X}-5)$ , 기각역은  $|Z_0|\ge z_{\alpha/2}$ 이다.
 $\mu=4$ 이면  $Z_0=Z-\sqrt{10}$  ( $Z\sim N(0,1)$ )이다.
오른쪽:  $P(Z\ge \sqrt{10}+z_{\alpha/2})=1-\Phi(\sqrt{10}+z_{\alpha/2})$ 
왼쪽:  $P(Z\le \sqrt{10}-z_{\alpha/2})=\Phi(\sqrt{10}-z_{\alpha/2})$ 
두 확률을 더한 것이 검정력이다.
 $\Phi(\sqrt{10}-z_{\alpha/2})$ 만 쓴 표현: 왼쪽 기각역만 반영해 양측검정의 오른쪽 기각역을 빠뜨렸다.
 $1-\Phi(\sqrt{10}-z_{\alpha/2})$ : 왼쪽 기각역의 여사건으로, 검정력이 아니다.
 $\Phi(\sqrt{10}+z_{\alpha/2})+\Phi(\sqrt{10}-z_{\alpha/2})$ : 오른쪽 기각역 확률을  $1-\Phi$ 가 아닌  $\Phi$ 로 잘못 썼다.

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