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1[7급 국가직 전기자기학] 22년 1회차

그림과 같이 자유공간에 양전하  $Q$  [C]가 원점에 놓여 있고 도체 껍질(shell)이 전하를 감싸고 있다. 도체 껍질의 내부와 외부 반지름이 각각  $a$  [m]와  $b$  [m]일 때, 도체 껍질 바깥 점  $C$ 와 도체 껍질 안쪽 점  $D$  사이의 전위차[V]는? (단, 원점으로부터 점  $C$ 와 점  $D$ 까지 거리는 각각  $c$  [m]와  $d$  [m]이고, 자유공간의 유전율은  $\varepsilon_0$ 이다)

 $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{1}{d}-\frac{1}{c}\right]$

 $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right]$

 $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{1}{b}-\frac{1}{c}+\frac{1}{d}-\frac{1}{a}\right]$

 $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{1}{c}-\frac{1}{a}+\frac{1}{d}-\frac{1}{b}\right]$

해설

두 점 사이 전위차는  $\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}-\dfrac{1}{a}\right]$ 이다.
도체 껍질 내부(a에서 b)는 전계가 0이어서 전위가 일정하므로, 전위차는 전계가 있는 구간만 적분한다.
껍질 바깥(b에서 c):  $\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)$ 
안쪽 공동(d에서 a):  $\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{d}-\dfrac{1}{a}\right)$ 
두 값을 더한 것이 D와 C 사이 전위차이다.
 $\frac{1}{d}-\frac{1}{c}$ 만 남긴 식은 전계가 0인 도체 껍질 구간까지 점전하 전계로 적분한 값이다.
 $\frac{1}{b}-\frac{1}{c}$ 만 남긴 식은 공동 내부 구간의 전위차를 빠뜨렸다.
 $\frac{1}{c}-\frac{1}{a}+\frac{1}{d}-\frac{1}{b}$  식은 적분 구간 경계를 잘못 짝지어 바깥 구간의 부호가 뒤집혔다.

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