변수 X와 Y의 자료 (x_i,y_i)\ (i=1,2,\ \cdots,… | [7급 국가직 통계학] 23년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[7급 국가직 통계학] 23년 1회차

변수  $X$ 와  $Y$ 의 자료  $(x_i,y_i)\ (i=1,2,\ \cdots,20)$ 에서  $X$ 의 표본평균은
1이고 표본분산은 3이다. 이 자료에 단순선형회귀모형  $Y_i=\beta x_i+\epsilon_i$ 를
적합시킨  $\beta$ 의 최소제곱추정량의 분산은? (단,  $\epsilon_i$ 는  $N(0,1)$ 을 따르고
서로 독립이다)

 $\frac{1}{57}$

 $\frac{1}{60}$

 $\frac{1}{77}$

 $\frac{1}{80}$

해설

절편 없는 회귀에서  $Var(\hat{\beta})=\dfrac{\sigma^2}{\sum x_i^2}$ 이므로 값은  $\dfrac{1}{77}$ 이다.
 $\hat{\beta}=\dfrac{\sum x_iY_i}{\sum x_i^2}$ 이고  $\sigma^2=1$ 이다.
표본분산 3은  $n-1=19$ 로 나눈 값이므로  $\sum(x_i-\bar{x})^2=57$ 이다.
 $\sum x_i^2=\sum(x_i-\bar{x})^2+n\bar{x}^2=57+20=77$ 
 $\dfrac{1}{57}$ 은 절편 있는 모형처럼 편차제곱합만 쓴 값이다.
 $\dfrac{1}{80}$ 은 표본분산을  $n$ 으로 나눈 것으로 잘못 본 값이다.
 $\dfrac{1}{60}$ 은 표본분산을  $n$ 으로 나눈 것으로 보고  $n\bar{x}^2$  항까지 빠뜨린 값이다.

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