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1[7급 국가직 전달현상] 23년 1회차

원통형 관 내부에 유체가 흐르고 온도는  $T_{\mathrm{a}}$ 로 일정하게 유지된다. 관의 내부반지름이  $r_{\mathrm{a}}$ , 외부반지름이  $r_{\mathrm{b}}$ 이다. 원통형관 내부에서 외부로 정상상태의 전도열전달이 발생한다. 빗금 친 영역에서의 거리와 온도가 각각  $r_0$ ,  $T_0$ 일 때,  $T_{\mathrm{a}}-T_0$ 에 비례하는 것은? (단,  $r_{\mathrm{a}}<r_0<r_{\mathrm{b}}$ 와  $T_0<T_{\mathrm{a}}$ 이고, 전 영역에서 유체의 온도와 열유량의 크기는 일정하다)

 $r_0-r_{\mathrm{a}}$

 $\frac{1}{r_0-r_{\mathrm{a}}}$

 $\ln\frac{r_0}{r_{\mathrm{a}}}$

 $\ln(r_0-r_{\mathrm{a}})$

해설

 $T_{\mathrm{a}}-T_0$ 는  $\ln(r_0/r_{\mathrm{a}})$ 에 비례한다.
원통 벽 정상상태 전도에서는 전열량  $Q=-k(2\pi rL)\dfrac{dT}{dr}$ 가 반지름에 무관하게 일정하므로, 적분하면 온도가 로그 분포를 따른다.
 $T_{\mathrm{a}}-T_0=\dfrac{Q}{2\pi kL}\ln\dfrac{r_0}{r_{\mathrm{a}}}$ 
반지름 차에 단순 비례하는 형태는 평판(직교좌표) 전도의 선형 분포로, 전열 면적이 반지름에 따라 커지는 원통에는 맞지 않는다.
반지름 차의 역수 형태는 거리가 멀어질수록 온도차가 줄어드는 꼴이라 물리적으로 반대다.
반지름 차에 로그를 취한 형태는 적분 결과를 잘못 정리한 것으로, 차원도 성립하지 않는다.

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