벽면으로부터 일정한 열 플럭스(heat flux)가 입사되는 원형관 내… | [7급 국가직 전달현상] 24년 1회차 기출문제 상세 페이지

벽면으로부터 일정한 열 플럭스(heat flux)가 입사되는 원형관 내부에 유체가 관 단면에 걸쳐 균일한 속도($v_r = 0,\ v_\theta = 0,\ v_z = U_0$)로 흐른다. 원형관의 반경은 $r_0$, 유체의 열 확산도는 $\alpha$, 관 표면 온도는 $T_\mathrm{s}(z)$이다. 원형관 내부의 에너지 방정식이 다음과 같을 때, 관 내부의 열적으로 완전발달된 유체의 온도 분포 $T(r, z)$를 나타낸 식은? (단, 유체는 비점성, 비압축성 정상흐름이고, 유체의 물성은 온도에 따라 변하지 않으며, $\frac{\partial T}{\partial z} = C$($C$는 상수)이다)
$\frac{\partial T}{\partial t} + v_r\frac{\partial T}{\partial r} + \frac{v_\theta}{r}\frac{\partial T}{\partial \theta} + v_z\frac{\partial T}{\partial z} = \alpha\left\{\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 T}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}\right\}$
$t$는 시간, ($r$, $\theta$, $z$)는 원통형 좌표임

$T_\mathrm{s}(z) - \frac{U_0 C}{2\alpha}\left(r_0^2 - r^2\right)$

$T_\mathrm{s}(z) - \frac{U_0 C}{4\alpha}\left(r_0^2 - r^2\right)$

$T_\mathrm{s}(z) - \frac{U_0 C}{8\alpha}\left(r_0^2 - r^2\right)$

$T_\mathrm{s}(z) - \frac{U_0 C}{16\alpha}\left(r_0^2 - r^2\right)$

균일 속도 흐름의 에너지 방정식을 적분하면 온도 분포는 $T_\mathrm{s}(z) - \dfrac{U_0 C}{4\alpha}(r_0^2 - r^2)$이다.
정상·축대칭이고 $v_r = v_\theta = 0$, 축방향 전도 $\partial^2 T/\partial z^2 = 0$이므로
$U_0 C = \dfrac{\alpha}{r}\dfrac{d}{dr}\left(r\dfrac{dT}{dr}\right)$
한 번 적분: $r\dfrac{dT}{dr} = \dfrac{U_0 C}{2\alpha}r^2$ (중심 유한 조건으로 적분상수 0)
두 번 적분: $T = \dfrac{U_0 C}{4\alpha}r^2 + K$, 벽면 $T(r_0) = T_\mathrm{s}$를 대입하면 위 식이 된다. 계수는 4α다.
분모가 $2\alpha$인 식은 두 번째 적분의 1/2을 빠뜨린 것이다.
분모가 $8\alpha$인 식은 적분 계수를 한 번 더 나눈 것이다.
분모가 $16\alpha$인 식은 포물선 속도 분포(층류) 계열 계수와 혼동한 것이다.