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1[7급 국가직 자동제어] 24년 1회차

전달함수  $G(s)=\frac{6}{s^2+3\sqrt{3}s+10}$ 인 시스템에서 정현파 입력  $\sin\omega t$ 에 대한 정상상태 출력이  $0.5\sin(\omega t+\phi)$ 일 때, 주파수  $\omega$ [rad/sec]와 위상  $\phi$ [rad]는? (단,  $\omega \gt 0$ 이다)

 $\omega=2$ ,  $\phi=-\frac{\pi}{3}$

 $\omega=2$ ,  $\phi=-\frac{\pi}{4}$

 $\omega=3$ ,  $\phi=-\frac{2\pi}{3}$

 $\omega=3$ ,  $\phi=-\frac{\pi}{2}$

해설

출력 크기가 0.5가 되는 주파수는  $\omega=2$ 이고, 그때 위상은  $\phi=-\dfrac{\pi}{3}$ 이다.
 $G(j\omega)=\dfrac{6}{(10-\omega^2)+j3\sqrt{3}\,\omega}$ 
 $\omega=2$ 일 때 분모  $=6+j6\sqrt{3}$ , 크기  $\sqrt{36+108}=12$ ,  $|G|=\dfrac{6}{12}=0.5$ 
 $\phi=-\tan^{-1}\dfrac{6\sqrt{3}}{6}=-\tan^{-1}\sqrt{3}=-\dfrac{\pi}{3}$ 
 $\omega=2$ 에서 위상  $-\dfrac{\pi}{4}$ 는 분모의 실수부와 허수부가 같아야 나오는데, 실제 허수부는 실수부의  $\sqrt{3}$ 배이다.
 $\omega=3$ 이면 분모  $=1+j9\sqrt{3}$ , 크기  $\sqrt{244}\approx15.6$ 으로  $|G|\approx0.38$ 이 되어 위상  $-\dfrac{2\pi}{3}$ 와 짝지어도 성립하지 않는다.
 $\omega=3$ ,  $\phi=-\dfrac{\pi}{2}$ 도 크기가 0.5가 아니고, 위상  $-\dfrac{\pi}{2}$ 는 실수부가 0인  $\omega=\sqrt{10}$ 에서 나온다.

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