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1[7급 국가직 전기자기학] 25년 1회차

권선수  $N$ [회], 반지름  $b$ [m]의 원형 도체 루프가  $z=0$  평면상에 놓여 있고, 이 원형 도체 루프의 중심은 각주파수  $\omega$ [rad/s]인 자속밀도  $\overrightarrow{B}=B_0\cos\left(\frac{\pi r}{2b}\right)\sin\omega t\,\overrightarrow{a_z}$  [T]의 자기장 원점에 놓여 있다. 이 도체 루프에 유도되는 기전력  $V$ [V]는? (단,  $B_0$ 는 0이 아닌 상수이다)

 $-4N\omega^2B_0b\left(1-\frac{2}{\pi}\right)\cos\omega t$

 $-4N\omega^2B_0b\left(1-\frac{2}{\pi}\right)\sin\omega t$

 $-4N\omega B_0b^2\left(1-\frac{2}{\pi}\right)\cos\omega t$

 $-4N\omega B_0b^2\left(1-\frac{2}{\pi}\right)\sin\omega t$

해설

유도 기전력은  $V=-4N\omega B_0b^2\left(1-\dfrac{2}{\pi}\right)\cos\omega t$ 이다.
자속밀도가 반지름에 따라 변하므로 고리 면적소  $2\pi r\,dr$ 로 적분한다.
 $\Phi=B_0\sin\omega t\int_0^b\cos\left(\dfrac{\pi r}{2b}\right)2\pi r\,dr$ 
부분적분:  $\int_0^b r\cos\left(\dfrac{\pi r}{2b}\right)dr=\dfrac{2b^2}{\pi}-\dfrac{4b^2}{\pi^2}$ 
 $\Phi=4B_0b^2\left(1-\dfrac{2}{\pi}\right)\sin\omega t$ 
 $V=-N\dfrac{d\Phi}{dt}=-4N\omega B_0b^2\left(1-\dfrac{2}{\pi}\right)\cos\omega t$ 
 $-4N\omega^2B_0b\left(1-\dfrac{2}{\pi}\right)\cos\omega t$ : 시간 미분은  $\omega$ 를 한 번만 내보내고 면적 적분은  $b^2$ 를 주므로 차원이 맞지 않는다.
 $-4N\omega^2B_0b\left(1-\dfrac{2}{\pi}\right)\sin\omega t$ : 차원 오류에 더해 사인을 미분하면 코사인이 된다는 점도 어긋난다.
 $-4N\omega B_0b^2\left(1-\dfrac{2}{\pi}\right)\sin\omega t$ : 크기는 맞지만 미분 후 위상이 사인으로 남아 틀리다.

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