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1[7급 국가직 통계학] 26년 1회차

다음과 같은 산점도를 갖는 자료  $(x_i,y_i)$ 에 단순선형회귀모형  $y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\epsilon_i$ 를 최소제곱법으로 적합하여 얻은 추정 회귀직선이  $\hat{y}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x$ 일 때, 다음 값 중 가장 큰 것은? (단,  $\epsilon_i$ 는  $N(0,\sigma^2)$ 을 따르고 서로 독립이다)

추정 회귀직선의 기울기( $\hat{\beta}_1$ )

 $x$ 와  $y$ 의 표본상관계수

 $x$ 와  $\hat{y}$ 의 표본상관계수

 $y$ 와  $\hat{y}$ 의 표본상관계수

해설

네 값 가운데 가장 큰 것은  $y$ 와  $\hat{y}$ 의 표본상관계수로, 유일하게 양수이다.
산점도는  $x$ 가 커질수록  $y$ 가 뚜렷하게 줄어드는 음의 선형관계를 보이므로  $\hat{\beta}_1\lt 0$ 이고  $r_{xy}\lt 0$ 이다.
적합값은  $x$ 의 일차변환이므로  $r_{x\hat{y}}=\operatorname{sign}(\hat{\beta}_1)=-1$ 이고, 단순회귀에서  $r_{y\hat{y}}=|r_{xy}|$ 이므로  $0\lt r_{y\hat{y}}\le 1$ 이다.
추정 회귀직선의 기울기: 산점도가 우하향하므로 음수이다.
 $x$ 와  $y$ 의 표본상관계수: 강한 음의 상관으로  $-1$ 에 가까운 음수이다.
 $x$ 와  $\hat{y}$ 의 표본상관계수:  $\hat{y}$ 가  $x$ 에 대해 감소하는 일차식이므로 정확히  $-1$ 로 가장 작다.

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