상태방정식 \dot{\mathrm{x}}(t)=A\mathrm{x}(t… | [7급 국가직 자동제어] 26년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[7급 국가직 자동제어] 26년 1회차

상태방정식  $\dot{\mathrm{x}}(t)=A\mathrm{x}(t)$ 를 만족하는 상태천이행렬  $\varPhi_A(t)$ 에 대한
설명으로 옳지 않은 것은? (단,  $A\in R^{n\times n}$ 인 상수행렬이다)

 ${\varPhi_A}^{-1}(t)$ 은  $\varPhi_A(-t)$ 이다.

 $\varPhi_A(t_0-t_1)\cdot\varPhi_A(t_1-t_2)$ 은  $\varPhi_A(t_2-t_0)$ 이다.

양의 정수  $m$ 에 대해  $[\varPhi_A(t)]^m$ 은  $\varPhi_A(mt)$ 이다.

 $\begin{bmatrix}1&e^{-t}\\0&1-e^{-t}\end{bmatrix}$ 은 행렬  $A\in R^{2\times 2}$ 의 상태천이행렬  $\varPhi_A(t)$ 가 될 수 없다.

해설

옳지 않은 것은  $\varPhi_A(t_0-t_1)\varPhi_A(t_1-t_2)=\varPhi_A(t_2-t_0)$ 라는 설명이다.
 $\varPhi_A(t)=e^{At}$ 이므로 곱은 지수의 합이 된다.
 $e^{A(t_0-t_1)}e^{A(t_1-t_2)}=e^{A(t_0-t_2)}=\varPhi_A(t_0-t_2)$ 
이는  $\varPhi_A(t_2-t_0)$ 의 역행렬이다.
역행렬:  $e^{At}e^{-At}=I$ 이므로  ${\varPhi_A}^{-1}(t)=\varPhi_A(-t)$ 는 옳다.
거듭제곱:  $(e^{At})^m=e^{Amt}=\varPhi_A(mt)$ 로 옳다.
주어진 행렬:  $t=0$ 에서  $\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}\neq I$ 이므로  $\varPhi_A(0)=I$ 를 만족하지 못해 상태천이행렬이 될 수 없다는 설명은 옳다.

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