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1[7급 국가직 자동제어] 26년 1회차

다음 미분방정식을 상태방정식으로 변환한 것으로 옳은 것은? (단,
 $x(t)$ 는 상태변수,  $u(t)$ 는 입력변수이며,  $x_1(t)=x(t)$ ,  $x_2(t)=\dot{x}(t)$ ,
 $x_3(t)=\ddot{x}(t)$ 이다)
 $\dddot{x}(t)+2\ddot{x}(t)-3\dot{x}(t)+4x(t)=5u(t)$

 $\begin{bmatrix}\dot{x}_1(t)\\\dot{x}_2(t)\\\dot{x}_3(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\\x_3(t)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\0\\5\end{bmatrix}u(t)$

 $\begin{bmatrix}\dot{x}_1(t)\\\dot{x}_2(t)\\\dot{x}_3(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-4&3&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\\x_3(t)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\0\\5\end{bmatrix}u(t)$

 $\begin{bmatrix}\dot{x}_1(t)\\\dot{x}_2(t)\\\dot{x}_3(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-4&3&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\\x_3(t)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5\\0\\0\end{bmatrix}u(t)$

 $\begin{bmatrix}\dot{x}_1(t)\\\dot{x}_2(t)\\\dot{x}_3(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4&-3&2\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\\x_3(t)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5\\0\\0\end{bmatrix}u(t)$

해설

옳은 변환은 계수행렬 마지막 행이  $[-4\ \ 3\ \ -2]$ , 입력행렬이  $[0\ \ 0\ \ 5]^T$ 인 것이다.
최고차항에 대해 정리한다.
 $\dddot{x}=-4x+3\dot{x}-2\ddot{x}+5u$ 
 $\dot{x}_1=x_2,\ \dot{x}_2=x_3,\ \dot{x}_3=-4x_1+3x_2-2x_3+5u$ 
마지막 행이  $[4\ \ -3\ \ 2]$ 인 것: 항을 우변으로 옮길 때 부호를 바꾸지 않았다.
계수행렬은 맞고 입력행렬이  $[5\ \ 0\ \ 0]^T$ 인 것: 입력은  $\dot{x}_3$  식에만 들어가야 한다.
계수 행을 첫째 행에 둔 것:  $\dot{x}_1=x_2$ ,  $\dot{x}_2=x_3$  관계를 만족하지 않고 부호와 입력 위치도 틀렸다.

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