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1[경찰간부후보생 통계학] 26년 1회차

두 확률변수  $X$ 와  $Y$ 에 대해  $\mathrm{Var} ( 3 X + 2 Y ) = 16$ 이고,  $\mathrm{Var} ( 3 X - 2 Y ) = 9$ 일 때,  $3 X$ 와  $2 Y$ 의 공분산  $\mathrm{Cov} ( 3 X , \, 2 Y )$ 의 값은?

 $\frac{3}{4}$

 $\frac{5}{4}$

 $\frac{3}{2}$

 $\frac{7}{4}$

해설

공분산  $\mathrm{Cov}(3X,\,2Y)$ 의 값은  $\dfrac{7}{4}$ 이다.
 $U=3X,\;V=2Y$ 로 두고 합과 차의 분산을 전개한다.
 $\mathrm{Var}(U+V)=\mathrm{Var}(U)+\mathrm{Var}(V)+2\mathrm{Cov}(U,V)$ 
 $\mathrm{Var}(U-V)=\mathrm{Var}(U)+\mathrm{Var}(V)-2\mathrm{Cov}(U,V)$ 
두 식을 빼면 공분산만 남는다.
 $4\mathrm{Cov}(U,V)=16-9=7$ 
 $\mathrm{Cov}(U,V)=\dfrac{7}{4}$

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